困惑與探索一：算法多樣化與算法優(yōu)化能結(jié)合嗎？

●教師的話●

算法多樣化應(yīng)從學(xué)生實(shí)際出發(fā)

李世杰（昆明市五華區(qū)蓮華小學(xué)）：提倡算法多樣化有利于拓展學(xué)生的思維空間，培養(yǎng)學(xué)生的思維能力。思維方法的培養(yǎng)、形成，有時(shí)比知識(shí)的傳授更為重要。但倡導(dǎo)算法多樣化應(yīng)遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律，充分體現(xiàn)算法多樣化的合理性、有效性。只有這樣，才能讓學(xué)生在教師引導(dǎo)下自主探究算法的多樣化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)算法的優(yōu)化。

在教學(xué)三位數(shù)乘兩位數(shù)的乘法時(shí)，當(dāng)學(xué)生弄清算理，掌握算法（乘法豎式筆算）后，我引導(dǎo)學(xué)生以一種算法為支點(diǎn)，在鞏固練習(xí)中探索多樣化算法。對(duì)于各種不同的算法，我沒(méi)有作出即時(shí)評(píng)價(jià)，而是引導(dǎo)學(xué)生在計(jì)算實(shí)踐中獨(dú)立思考，仔細(xì)比較，讓學(xué)生不斷修正算法，達(dá)到算法的優(yōu)化。如，在集體訂正匯報(bào)交流中，有學(xué)生對(duì)“18×11”提出了不同的計(jì)算方法。面對(duì)學(xué)生經(jīng)歷思考后得出的有價(jià)值的方法，我沒(méi)有即時(shí)評(píng)價(jià)，而是抓住契機(jī)，引導(dǎo)學(xué)生投入到算法多樣化的自主探究、體驗(yàn)、交流中去。請(qǐng)看“18×11”教學(xué)片段。

師：18×11，結(jié)果是多少？請(qǐng)算一算。

生：我用豎式計(jì)算，結(jié)果是198。

師：大家同意嗎？

生：我認(rèn)為直接口算更簡(jiǎn)便。我是用“拆開(kāi)兩邊，中間相加”的方法計(jì)算的。（學(xué)生板演計(jì)算過(guò)程。）

師：你是怎么發(fā)現(xiàn)這種計(jì)算方法的？

生：我在計(jì)算11×11、12×11時(shí)，發(fā)現(xiàn)了這條規(guī)律。

師：（出示：15×11、42×11、71×11）請(qǐng)其他同學(xué)也來(lái)嘗試一下這種計(jì)算方法。（學(xué)生自主探究計(jì)算。）你發(fā)現(xiàn)了什么？

生1：計(jì)算15×11、42×11、71×11，用“兩邊分開(kāi)，中間相加”的方法計(jì)算很方便準(zhǔn)確。

生2：11乘一個(gè)兩位數(shù)，用這種方法計(jì)算更簡(jiǎn)便，更好。

經(jīng)過(guò)思考，我有幾點(diǎn)認(rèn)識(shí)：

1.在計(jì)算教學(xué)中，倡導(dǎo)算法多樣化應(yīng)充分尊重學(xué)生在學(xué)習(xí)中的主體地位，一切教學(xué)的實(shí)施應(yīng)從實(shí)際出發(fā)，既要體現(xiàn)所學(xué)內(nèi)容的特點(diǎn)，又要遵循學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

2.算法多樣化進(jìn)而實(shí)現(xiàn)優(yōu)化，不能追求“一步到位”，應(yīng)遵循逐步滲透和“積沙成金”的原則。它需要學(xué)生經(jīng)歷不斷對(duì)已有知識(shí)、方法進(jìn)行篩選、整理及歸納，使之臻于完善的過(guò)程。

3.倡導(dǎo)算法多樣化及優(yōu)化應(yīng)重視其有效性、合理性，只有這樣，才能真正實(shí)現(xiàn)提高學(xué)生計(jì)算能力，訓(xùn)練思維方法的目的。

算法多樣化與最優(yōu)化

郭嫻（呈貢縣斗南鎮(zhèn)中心學(xué)校）：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)稿）》指出：“由于學(xué)生生活背景和思考的角度不同，所使用的方法必然是多樣化的，教師應(yīng)尊重學(xué)生的想法，鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立思考，提倡計(jì)算方法的多樣化。”在這種理念指導(dǎo)下，本次教研活動(dòng)著重探討如何克服計(jì)算教學(xué)“方法單一”的弊端，讓課堂中的“個(gè)性化思維”更加活躍。現(xiàn)結(jié)合我執(zhí)教的三年級(jí)計(jì)算課“去游樂(lè)場(chǎng)”談幾點(diǎn)體會(huì)。

1.算法多樣化培養(yǎng)了學(xué)生的創(chuàng)新思維。對(duì)于同一道題，由于學(xué)生有著不同的生活經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知水平，他們的思考角度必然存在差異，這就給學(xué)生獨(dú)立思考，探索不同算法提供了較大空間。學(xué)生想出的方法，有些并不完美，但卻是學(xué)生思考的結(jié)果，應(yīng)給予積極評(píng)價(jià)，并加以引導(dǎo)。如教學(xué)中我發(fā)現(xiàn)有的學(xué)生用16+16=32，再用32+32=64來(lái)計(jì)算16×4，雖然這個(gè)方法不一定好，但我還是給了他表達(dá)自己想法的機(jī)會(huì)，因?yàn)檫@畢竟是初學(xué)的內(nèi)容。還有一名學(xué)生用16×2×2來(lái)計(jì)算，滲透了乘法運(yùn)算定律，使思維得到了鍛煉。所以提倡算法多樣化，有利于培養(yǎng)學(xué)生獨(dú)立思考的習(xí)慣，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新思維。

2.算法多樣化使課程資源更豐富，教學(xué)活動(dòng)更生動(dòng)。當(dāng)同學(xué)們用自己喜歡的方法計(jì)算時(shí)，教師就不再是計(jì)算方法的“壟斷者”，而是作為學(xué)習(xí)活動(dòng)的參與者，認(rèn)真揣摩學(xué)生計(jì)算的思路，適當(dāng)加以點(diǎn)撥，幫助學(xué)生分析自己的算法，并與其他算法比較，選擇最優(yōu)算法。這樣，就能使計(jì)算教學(xué)更加生動(dòng)。

3.算法多樣化體現(xiàn)了對(duì)學(xué)生個(gè)體差異的尊重。就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言，有的學(xué)生反應(yīng)敏捷，有的學(xué)生則較遲緩；有的善于記憶，有的善于思考；有的喜歡借助直觀進(jìn)行思維，有的習(xí)慣于演繹推理。有的學(xué)生對(duì)課本所講的計(jì)算早就會(huì)了，甚至達(dá)到了脫口而出的熟練程度，有的學(xué)生計(jì)算速度較慢，需要老師教給方法。所以，教師要允許學(xué)生選擇喜歡或適合自身特點(diǎn)的方法進(jìn)行計(jì)算。這就是因材施教的教學(xué)策略。

提倡算法多樣化是不是算法越多越好呢？我認(rèn)為不是。算法多樣化是指思考策略的多樣化。我執(zhí)教“去游樂(lè)場(chǎng)”時(shí)，學(xué)生提出的幾種算法體現(xiàn)了不同的思考策略，一種是口算，把16分成10和6分別乘4，再把所得的結(jié)果相加；第二種是用加法思考；第三種是把4分成兩個(gè)2；第四種是豎式計(jì)算。只要答案正確，教師都應(yīng)給予肯定。

算法多樣化要不要進(jìn)行優(yōu)化呢？“算法多樣化”只有優(yōu)化后才有意義，否則對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)不僅加重了學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)，而且不能得到算法多樣化所帶來(lái)的好處。我認(rèn)為“算法優(yōu)化”不僅要盡可能地選擇通法、通則，使之具有一般性，而且要盡可能選擇大多數(shù)同學(xué)容易接受、理解、掌握的算法。例如16×4，大多數(shù)學(xué)生都選擇用豎式計(jì)算，說(shuō)明這個(gè)方法是最適合學(xué)生的計(jì)算方法。

在教學(xué)中怎樣處理好算法多樣化與算法最優(yōu)化的關(guān)系呢？我的做法是，備課時(shí)充分估計(jì)學(xué)生可能會(huì)想到的算法，并對(duì)這些算法進(jìn)行適當(dāng)分類和優(yōu)化分析，據(jù)此決定哪些算法需要鋪墊，怎樣鋪墊。學(xué)生交流時(shí)，適時(shí)板書(shū)（或記錄）合理的算法，以免學(xué)生重復(fù)別人說(shuō)過(guò)的算法，也便于算法的梳理。面對(duì)多樣算法，要引導(dǎo)學(xué)生分析各種算法的差異，明白不同算法的聯(lián)系與區(qū)別，并逐步學(xué)會(huì)迅速選擇最優(yōu)算法。

●專家觀點(diǎn)●

算法多樣化與算法優(yōu)化的統(tǒng)一

李家永（特級(jí)教師）：在計(jì)算教學(xué)中，如何做到既體現(xiàn)算法多樣化，又實(shí)現(xiàn)算法的優(yōu)化，一直是很多老師感到困惑的問(wèn)題。這次研討會(huì)上展示的案例表明，算法多樣化不是教學(xué)追求的目的，它的實(shí)質(zhì)是通過(guò)算法多樣化這一教學(xué)策略，讓學(xué)生充分利用已有的知識(shí)、經(jīng)驗(yàn)和方法，在獨(dú)立思考、積極探索的有效學(xué)習(xí)活動(dòng)中開(kāi)發(fā)創(chuàng)新潛能；而其含意是通過(guò)交流，尋求最簡(jiǎn)捷、最容易、最適合的算法，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維水平，做到“多中選優(yōu)，擇優(yōu)而用”。正如葉瀾教授所說(shuō)：“沒(méi)有聚焦的發(fā)散是沒(méi)有價(jià)值的，聚焦的目的是為了促進(jìn)學(xué)生發(fā)展。”由此可見(jiàn)，算法多樣化和算法優(yōu)化是一對(duì)矛盾，只有二者和諧統(tǒng)一，才能從“量”和“質(zhì)”兩個(gè)層面發(fā)展學(xué)生的思維。

1.把握算法多樣化的準(zhǔn)確定位。算法多樣化不同于“一題多解”。“一題多解”是面向個(gè)體，對(duì)同一道題實(shí)施多種算法，而“算法多樣化”是面向群體，讓每個(gè)學(xué)生探究自己理解或喜歡的算法，同時(shí)在群體中交流、評(píng)價(jià)，重新認(rèn)識(shí)自己的算法。因此，實(shí)施算法多樣化不是單純追求“量”，更不是要讓每個(gè)學(xué)生都掌握多種算法。算法多樣化追求的是尊重差異、尊重個(gè)性、尊重真實(shí)，學(xué)生自發(fā)悟出的算法才是最真實(shí)、最具本色的。因此，教學(xué)應(yīng)真實(shí)地呈現(xiàn)學(xué)生的算法，然后分析比較，適時(shí)地進(jìn)行算法的優(yōu)化。不能為了表現(xiàn)多樣化而讓學(xué)生絞盡腦汁，想出與眾不同的算法，甚至耗費(fèi)學(xué)生的學(xué)習(xí)時(shí)間和精力去尋求“低層次算法”。

一般情況下，計(jì)算總有一個(gè)最基本的算法。在算法多樣化的教學(xué)中，教師要注重引導(dǎo)學(xué)生去比較、評(píng)價(jià)，讓學(xué)生掌握最基本的算法。如一位教師教學(xué)“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”時(shí)，由生活實(shí)例引出24×12=？先讓學(xué)生獨(dú)立思考，探索多種算法，再分組交流。經(jīng)過(guò)歸納，不外乎三種算法：一是連加；二是連乘，如24×3×4，24×2×6；三是乘法分配律的應(yīng)用，如24×10+24×2。再組織學(xué)生評(píng)價(jià)，一致認(rèn)為三種算法都合理，但第一種太麻煩。最后，教師將題目改為24×13，請(qǐng)學(xué)生用自己喜歡的算法計(jì)算，結(jié)果多數(shù)學(xué)生選擇了24×10+24×3。此時(shí)，教師因勢(shì)利導(dǎo)引入了乘法豎式，并使學(xué)生體會(huì)到豎式計(jì)算的優(yōu)越性——簡(jiǎn)明、操作性強(qiáng)、具有一般性。

2.選擇算法優(yōu)化的最佳時(shí)機(jī)。算法的優(yōu)化過(guò)程，是引導(dǎo)學(xué)生在相互交流中發(fā)生思維碰撞，在碰撞中呈現(xiàn)聯(lián)系，在聯(lián)系中進(jìn)行比較，在比較中實(shí)現(xiàn)主動(dòng)建構(gòu)，自我完善，從而“悟”出屬于自己的最佳方法的過(guò)程。因此，從學(xué)生的實(shí)際出發(fā)選擇優(yōu)化的最佳時(shí)機(jī)就顯得尤為重要。如果我們過(guò)早地對(duì)各種方法進(jìn)行比較、擇優(yōu)，在一定程度上會(huì)抑制學(xué)生獨(dú)立思考和主動(dòng)探索的積極性。

首先，由于學(xué)生的知識(shí)儲(chǔ)備、認(rèn)知水平、學(xué)習(xí)內(nèi)容、所處年級(jí)和教學(xué)進(jìn)程的不同，優(yōu)化時(shí)機(jī)也不同。如對(duì)于一年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，由于他們的知識(shí)儲(chǔ)備和認(rèn)知能力有限，加上他們還沒(méi)有養(yǎng)成認(rèn)真傾聽(tīng)、認(rèn)真思考的學(xué)習(xí)習(xí)慣，因此一般不應(yīng)在新授課時(shí)優(yōu)化。隨著學(xué)生知識(shí)量的增加和接受知識(shí)的能力逐步增強(qiáng)，認(rèn)真傾聽(tīng)和思考的良好習(xí)慣逐步養(yǎng)成，學(xué)生就會(huì)主動(dòng)地聽(tīng)取他人的算法并加以分析、理解，此時(shí)就應(yīng)適時(shí)地進(jìn)行算法的優(yōu)化。

其次，選擇優(yōu)化的時(shí)機(jī)要考慮既定的教學(xué)目標(biāo)。如上例“兩位數(shù)乘兩位數(shù)”，要求學(xué)生掌握用豎式計(jì)算兩位數(shù)乘兩位數(shù)是這節(jié)課的主要目標(biāo)，新授課中就必須進(jìn)行優(yōu)化。

再次，優(yōu)化的時(shí)機(jī)要根據(jù)教學(xué)的具體內(nèi)容與算法水平層次確定。如果教學(xué)內(nèi)容難度較大，算法比較復(fù)雜，大部分學(xué)生一時(shí)難以理解他人算法，就不要急于當(dāng)堂優(yōu)化；如果遇到算法有明顯的思維層次差異，就必須及時(shí)優(yōu)化，不要無(wú)原則放任低層次思維的算法而美其名曰“尊重學(xué)生”。例如在教學(xué)“多位數(shù)乘一位數(shù)”時(shí)，教師鼓勵(lì)學(xué)生用多種方法計(jì)算12×3：①12+12+12=36；②10×3=30、2×3=6、30+6=36；③列豎式計(jì)算。對(duì)此，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生對(duì)三種算法進(jìn)行分析、比較，在質(zhì)疑、辯論中促進(jìn)低層次計(jì)算的轉(zhuǎn)化，即引入豎式計(jì)算替代用連加法計(jì)算乘法，使之提升學(xué)生數(shù)學(xué)思維的含量。

3.增強(qiáng)教師引導(dǎo)策略的有效性。教學(xué)實(shí)踐表明，如果沒(méi)有教師精當(dāng)?shù)膯l(fā)和適時(shí)的指導(dǎo)，放任學(xué)生去探究，很難將學(xué)生的思維引向深入。因此，算法多樣化與算法優(yōu)化的統(tǒng)一需要教師精心預(yù)設(shè)，進(jìn)行有效的引導(dǎo)，才可能激發(fā)出高水平的生成。例如，在進(jìn)行“兩位數(shù)減一位數(shù)”退位減的教學(xué)時(shí)，教師設(shè)計(jì)了一組練習(xí)：34-8，44-8，54-8，64-8。先讓學(xué)生計(jì)算，然后引導(dǎo)學(xué)生比較這四道題中什么沒(méi)變，什么變了，變化的規(guī)律是什么。學(xué)生發(fā)現(xiàn)：減數(shù)沒(méi)變，被減數(shù)與差變了；前一道題的被減數(shù)比后一道題的被減數(shù)多10，差也多10；每道題差的十位上的數(shù)都比被減數(shù)的十位上的數(shù)少1，而差的個(gè)位上都是6。通過(guò)引導(dǎo)比較，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)了最快的算法就是想：14-8=6，差的個(gè)位上的數(shù)都是6，十位上的數(shù)比被減數(shù)的十位上的數(shù)少1。學(xué)生在教師預(yù)設(shè)策略的引導(dǎo)下，在自我感悟的基礎(chǔ)上實(shí)現(xiàn)了算法的優(yōu)化。

在計(jì)算教學(xué)中，教師常常提出：談?wù)勀阕约鹤钕矚g哪種算法？理由是什么？打算怎樣向同學(xué)推薦你的算法？你最不喜歡的算法是哪種？為什么？這些問(wèn)題其實(shí)就是教師啟發(fā)學(xué)生對(duì)多種算法進(jìn)行“優(yōu)化”，它給學(xué)生留出自主探究的空間。

對(duì)于算法的優(yōu)化，教師應(yīng)鼓勵(lì)、引導(dǎo)，但不要強(qiáng)求。如果有的學(xué)生通過(guò)優(yōu)化掌握了好的算法，教師應(yīng)及時(shí)給予肯定和鼓勵(lì)，至于有的學(xué)生在優(yōu)化過(guò)程中一時(shí)沒(méi)能如愿，也不要急于求成，只要學(xué)生參與到優(yōu)化的過(guò)程中，其情感態(tài)度、數(shù)學(xué)思考就得到了培養(yǎng)，而這些對(duì)于學(xué)習(xí)比較困難的學(xué)生來(lái)說(shuō)，又是最重要的。