在“多層次探究”中感悟數學思想方法

袁枚在《隨園詩話》中指出：“學如弓弩，才如箭鏃，識以領之，方能中鵠。”這里的“學”指知識，“才”指方法，“識”指觀念、見識。其中知識是基礎，方法是工具，而觀念、見識則對知識和方法應用的方向、方式作引領。在教學中我著眼于培養學生靈活運用知識的能力，加強思維訓練，使學生學會一些基本的數學思想方法。下面就是我在數學興趣小組活動過程中的一則教學片段：

一、 案例

如圖1，圖中的甲和乙都是正方形，求陰影部分的面積。（單位：厘米）

由于參加興趣小組的學生都有相當好的數學基礎，思維也比較活躍，我就放手讓學生從不同角度去看圖，然后再組織大家進行交流活動：

寧寧說：“從整體上看圖1，S陰=S正方形AEBG+S梯形AEFC－S△ABG－S△BFC=6×6+（4+6）×4÷2－6×6÷2－（4+6）×4÷2=18（平方厘米）。”

帥帥接著說：“假如換一個觀察角度，從局部看圖1，又可以得到S陰=S△ABE+S梯形AEFC－S△BFC=6×6÷2+（4+6）×4÷2－（4+6）×4÷2=18（平方厘米）。”

師：“同學們，能夠變換觀察角度很好，能不能再把原來的圖形作適當轉化呢？”

平時愛動腦筋的東東想了想，說：“如果將圖形這樣轉化，還可以得到其它的解法。比如，分別延長GA和FC相交于H點，得到一個大長方形，如圖2。第1種解法是：從整體上看，S陰=S長方形GBFH－S△ABG－S△BFC－S△AHC=（6+4）×6－6×6÷2－（4+6）×4÷2－（6－4）×4÷2=18（平方厘米）；第2種解法是：從局部看圖2，S陰=S梯形GBCH－S△ABG－S△AHC=〔（6－4）+6〕×（4+6）÷2－6×6÷2－（6－4）×4÷2=18（平方厘米）。”

在圖形轉化之后，大家都議論紛紛，思維一下子又開闊起來了。受了東東解法的啟發，慧慧也補充說：“從局部看圖2，S陰=S梯形AHFB－S△AHC－S△BFC=〔4+（6+4）〕×6÷2－（6－4）×4÷2－（4+6）×4÷2=18（平方厘米）。”

師：“從多角度觀察圖形的方法便于我們在圖形聯系中尋找解決問題的突破口。上面的解法都是利用‘整體減去部分’的思路來求得。能不能直接去求陰影部分的面積呢？”

寧寧在圖上畫了畫，十分高興地說：“直接觀察陰影部分，連接BD，將三角形ABC分成三個三角形，如圖3。S陰=S△ADB+S△ADC+S△BDC=（6－4）×6÷2+（6－4）×4÷2+4×4÷2=18（平方厘米）”。

帥帥也不甘示弱地說：“如圖4，延長CD與AB相交于H，將陰影部分分成兩個三角形，即三角形ACH和三角形BCH。因為三角形ABE是等腰直角三角形，所以∠DAH=45°，因此∠AHD=45°，即三角形ADH是等腰直角三角形。所以，AD=DH=2厘米，HC=CD+DH=4+2=6（厘米）。S陰=S△ACH+S△BHC=6×2÷2+6×4÷2=18（平方厘米）。”

正當我要表揚該位學生的時候，一位平時不善多言的姚磊卻急著說：“老師，通過剛才的討論，我發現陰影部分面積是18平方厘米，陰影部分面積可能就是大正方形面積的一半。”

面對這突如其來的猜想，熱鬧的課堂上又一下靜了下來。

師：“同學們，想一想，剛才姚磊的猜想對不對呢？”

不一會兒，帥帥說：“我們可以將所求陰影部分合理轉化，如圖1，由于S△BFC=（4+6）×4÷2，S梯形AEFC=（4+6）×4÷2。不難發現，兩者面積相等。所以，兩者同時去掉公共部分IEFC，余下部分的面積應該相等。即S△AIC=S△BEI。所以，所求的陰影部分就是S△ABE的面積，即S陰=S△ABE=6×6÷2=18（平方厘米）”

“對呀，陰影部分的面積實際上就等于三角形ABE的面積，想不到圖形轉化的作用可真大啊！”東東十分激動地說。

師：“在面積計算教學中，不僅要從不同角度去看圖、思考，而且要運用不同的策略與方法加以轉化，合理靈活地進行圖形變換。”

看著同學們這么愛觀察、愛思考，為了使學生的探究熱情能夠繼續發展下去，獲得更大的提高。我又將原例題改為圖5和圖6，這樣對原題作了進一步拓展：求陰影部分的面積，讓同學們來練一練！

師：“通過計算，你能發現了什么規律？”

帥帥說：“我發現以上兩題中右邊的正方形的邊長‘變’了，但是所求陰影部分的面積卻是‘不變’的。”

寧寧也搶著說：“我發現有這樣的規律：不論小正方形的邊長是多少，圖中陰影部分的面積總是大正方形面積的一半。”

我聽了大家的回答很滿意，最后就將大小兩個正方形反過來，作為該題的深化。如圖7，讓大家獨立思考，學生都發現了陰影部分面積就是 a2。

我最后總結說：“在面積計算中，獲得多種解法之后，同學們要加強比較，從中去探索并獲得巧妙的、富有創造性的方法，努力提升思考的層次。”

二、 反思

1.在面積計算教學中，我們要引導學生改變不同的觀察角度，使學生逐步學會多角度地觀察圖形；要引導學生對圖形進行合理的補圖、分割與轉化，靈活地進行圖形變換。從上例可以看出，合理而靈活地轉換觀察角度，往往可以使學生能夠在數形結合處尋找解決問題的突破口。同時，多角度的觀察便于弄清圖形間的相互聯系，甚至還可以發現圖形中的隱含條件。從上面案例中姚磊同學的猜想與驗證過程可以看到，“多角度觀察圖形”為我們獲取巧解提供了重要的條件。教學中要經常引導學生對圖形從不同角度去分、補、拼、移、折等，合理進行變換圖形，從中獲得不同的解題思路與方法。在全方位、多角度、多側面的圖形變換中，把握圖形之間的相互聯系，從中培養學生的觀察能力、想象能力和初步的推理能力等。

2.面積計算教學中，教師不能“就題論題”，而應當注意運用“一題多解、一題多變、一題多用、一題多思”的教學策略，發揮多種教學功能。具體來說，應該以“變化”為主線，在“習題多解、題目變化、功能發揮”上下功夫；應該以“比較”為基點，加強對比分析，同中求異，異中求同，將學生的思維逐步引向深入。同時，還要努力提升學生數學思考的水平，合理拓展與延伸，從中引導學生去探索并獲得巧妙的、富有創造性的方法，逐步地培養學生“多中選優”的意識。

3．突出“化歸思想”這個核心，不斷將學生的思維引向深入，在經歷解決問題的過程中領悟轉化等數學思想方法，培養學生的“化歸觀念”，使“化歸思想”貫穿于問題解決的全過程。

日本著名數學教育家米山國藏指出，學生對“作為知識的數學出校門不到兩年可能就忘了，惟有深深銘記在頭腦中的是數學的精神、數學的思想、研究方法和著眼點等，這些隨時隨地發生作用，使它們終身受益”。以上案例，通過靈活運用“一題多解、一題多變、一題多思”等策略，使學生由“多解”到“多思”層面發展，由“多思”到“巧解”層面拓展，由“巧解”到“創造”層面深化，在“變”與“不變”中引導學生積極探索、發現并運用規律。引導學生在解決問題的過程中運用“化歸”思想方法，嘗試運用化繁為簡、化難為易等思考策略，培養和增強學生的“化歸”意識，逐步學會正確的思維方法。在解決問題的過程中，學生對圖形進行觀察、比較、歸納或探索，看到了知識蘊涵的思想方法，在“多層次探究”過程中感悟了這些數學思想方法。

責任編輯：陳國慶