數學學習應突現探究過程的科學性

數學學科作為一門自然科學課程，其知識內容具有很強的科學性。這就使我們在實際的教學中，把數學知識作為一種科學結論傳授給學生（或者說是引導學生自主習得）時，很多老師往往對數學知識的科學性較為關注，對于引導學生探究、獲取知識的學習過程科學與否則缺乏足夠的重視。事實上，在學生進行數學學習的過程中，所采取的方式方法是否科學、恰當？教師們是否意識到“過程正確與結果正確至少同樣重要”等等是一些極其重要的問題。它往往決定著教師組織教學的過程是否真正有利于學生的數學學習，有利于促進學生數學素養的整體提高。下面結合“三角形的內角和”一課的教學實踐，談一些我們的思考。

“誤差”，無法回避的現實

引導學生通過“度量”各個角的度數，然后加起來，從而認識到“三角形的內角和是180°”是教學這節內容常用的組織教學策略。在操作時，由于操作工具及學習材料之間的差異，總會出現“誤差”，得不到“180°”這個結果。請看下面一個例子。

教師呈現兩個直角三形（如下），然后創設情境：有兩個直角三角形，它們都認為自己的內角和大。小朋友，請你們來評判一下，他們說得對不對？

氣氛被調動起來后，教師請學生動手操作，量一量到底三角形的內角和是不是180°。這一量問題出來了：

第一位學生量得三個角的度數分別是52°、38°和90°。師生共同計算得：52＋38＋90＝180°。

第二位學生量得三個角的度數分別是67°、25°和91°，內角和是183°。

第三位學生量得三個角的度數分別是68°、24°和90°，內角和是182°。

學生紛紛表示三個角的度數加起來不一定是180度。此時教師有點急了，他親自出馬去量了。終于量得三個角的度數分別是68°、22°和90°，和是180°。結果雖然得到了，但仍然有一些學生對這個結果不太服氣，在那里小聲議論。

“度量”時出現的誤差，教師是不是通過親手操作加以校正就可以了呢？或者告訴學生這是操作產生的“誤差”就可以了呢？顯然，事情并不那么簡單。那么，作為一次操作活動，我們又該賦予“度量”以怎樣的目標定位呢？經過深入思考，我們認為，“度量”作為探究三角形內角和引入環節的操作活動，其價值更應該體現在以下三個方面：首先，“度量”順應了學生的認知經驗，因為在學生經驗中，研究角的度數問題，用量角器“量”是最為常用的方法；其次，“度量”確實可以幫助學生初步感知三角形的內角和大約是180度；第三，“度量”因為有誤差，可以引導學生對原有的結論產生質疑，促使學生生成進一步研究的欲望，為導出另外的驗證方法提供可能。

基于以上思考，“度量”的目標定位不應該僅僅停留于“量”的水平。教師完全不必因為“量”產生了誤差，而急于幫助學生去校正，得到“正確”結果。“度量”應該把“量”作為引子，作為產生問題的手段，引導學生展開思維，尋找更為科學嚴謹的“驗證”方式。

尋找科學的“驗證”方式

從教材編寫的情況來看，編寫者對“度量”的目標定位還是比較清晰的。“人教版”教材在這節內容的編寫中安排了兩個活動：“度量”和“剪拼”。“度量”作為引導學生初步感知“三角形的內角和大約是180度”的操作活動安排在前。然后提出用“剪拼”的方法進行驗證：把一個三角形的三個角撕開后，拼在一起組成一個平角，由此證明：“三個內角的度數和是180°。”在教學實踐中，只要給予學生足夠的時間和相應的思維空間，學生是有想到和做到的可能。

然而課后，我們對這一操作活動再次進行了深入思考，認為這種教學策略并不是驗證“三角形內角和等于180度”的最好方式。這樣的操作活動，在肯定它科學性的同時，其可行性到底有多大？在教師沒有提示的情況下，到底有多少學生能夠想到？操作過程是否會受到操作材料及操作能力等因素的影響同樣產生誤差？另外，這樣的操作活動，目標比較單一，數學思維的含量也不高。那么，有沒有一種方式，既能合理地驗證出“三角形內角和等于180°”，又能有效調動學生的認知經驗，豐富學生的思維活動，提升學生的思維水平呢？在查閱了一定的資料后，我們覺得以下實驗活動在探究“三角形內角和等于180度”時，具有比較強的邏輯性，可以作為論證“三角形內角和等于180°”的主要方式。

實驗過程簡述：

長方形的四個角都是直角，即可知長方形的內角和等于360°。（這是學生已有的知識經驗）于是，引導學生把一個長方形剪成兩個完全一樣的直角三角形，得到每個直角三角形的內角和等于180°。得到直角三角形的內角和等于180°這個結論后，再來驗證銳角三角形、鈍角三角形的內角和也就有論證的依據了。在銳角三角形的任意一條邊上作高，即可分成兩個直角三角形，兩個直角三角形的內角和等于360°，然后減去兩個直角的度數，就得出銳角三角形原來的三個內角的和是180°了。同理可以在鈍角三角形中進行論證。

通過反復研討與深入思考后，我們嘗試著把這樣的理解落實到實踐過程中。

當學生在“度量”中出現誤差后，教師適當加以引導：在驗證直角三角形的內角和是不是180度時，我們能不能從長方形來考慮呢？結合媒體展示驗證的過程：

得出第一個結論：直角三角形的內角和等于180°。

接著研究銳角三角形和鈍角三角形的內角和。通過交流引導，最終有了以下方法：

一位學生說明銳角三角形內角和的推導方法：我畫的這條線段是這個銳角三角形一條邊上的高，這條高把這個銳角三角形分成兩個直角三角形。每個直角三角形內角和是180°，兩個就是360°。因為有兩個直角，去掉兩個90°，分成的這兩個直角三角形的四個銳角加起來是180°，這四個銳角相加正好是原來銳角三角形的內角和。

于是得出第二個結論：銳角三角形的內角和也是180°。

此時學生很容易就想到鈍角三角形內角和的推導方法了。有學生介紹：我也畫出一條邊上的高，把鈍角三角形分成兩個直角三角形，也可以用剛才的方法來說明鈍角三角形的內角和是180°。

結論：鈍角三角形的內角和也等于180°。

鈍角三角形、銳角三角形的內角和都是180°。

最后得出：三角形的內角和是180°。

實踐后的再思考

綜觀以上三種驗證“三角形內角和等于180°”的方法，在課堂教學中各自扮演著不同的角色，起到不同的作用。“度量”是淺層次的，是學生原有經驗的激發與修正。在“度量”時產生誤差，不能說明操作實驗的成功與否。“剪拼”作為一種驗證的方式，在實際教學中，學生可能用“折”來代替。“剪拼”或“折”的方法來驗證三角形內角和是否等于180°，是小學數學直觀幾何的典型體現，在小學階段有著積極的意義。它既是學生直觀經驗積累所必須經歷的，同時也是小學生數學學習特點的典型體現。但動手操作時，畢竟受到操作材料和操作能力的限制，有時會產生誤差，給學生的認識帶來一定的障礙。因此，在組織過程中教師必須作好充分的準備，以備及時調整策略，改進方法，體現操作活動的科學性。推理驗證則是數學論證的基本方式，不但在培養學生邏輯推理能力過程中有著重要的作用，而且更有利于學生了解規律或性質的形成過程，把握數學知識的真正內涵。三種方式中，推理驗證的方式也最具科學性和數學味，它既能有效達成“通過一系列的實驗、操作活動，讓學生推理歸納出三角形的內角和是180°”這一教學目標，又有利于教師在關注到結論正確的同時，也能顧及到學習過程的“正確”。

參考文獻

[1]羅星凱. 有理的科學知識被無理的“驗證”.人民教育，2007（7）:36.

[2] 課程教材研究所小學數學課程教材研究開發中心編著.義務教育課程標準實驗教科書數學四年級下冊教師教學用書.北京：人民教育出版社，2004.

[3] 曹飛羽等編.小學數學基礎理論和教法.北京：人民教育出版社，1984.