以智慧催生智慧

在數學活動課上，筆者讓學生探究一些啟迪智慧的數學問題，效果頗佳。下例就是四年級學生在活動中的一段“實錄”。

案例：

某公園對學生團體游園實行優惠，優惠票價如下表所示：

已知甲班比乙班多10人，如果兩個班合在一起買票，總共付門票費832元。問：甲、乙兩班各有多少人？

這是發生在學生身邊的一個生活問題，學生很樂意探究，可是到了動手解答的時候，絕大多數學生卻束手無策，面露難色。

師：同學們，從表面上看，題目提供的信息和所要解決的問題之間似乎沒有直接關系，能否利用隱藏著的間接關系去解決呢？

生A：我想可以先求出兩個班的總人數，再求各班的人數。

生B：我同意這種解題思路。我猜測：這兩個班總人數不可能在50人之內，因為832元門票費超過了50人應付的600元門票費。

生C：也不可能在51~100人之間，雖然832元門票費從表面上看小于100人的1000元門票費，但是，根據“總價÷票價=人數”這一數量關系，計算“832÷10”時出現的商是小數，人數應該是整數，不可能是小數，與實際不相符。所以，我判斷總人數超過了100人。

生D：我的想法跟他們一樣，而且算出兩個班總共是104人。

師：你們不但找準了解決問題的方向，還通過猜測、估算和推理得到了兩個班的總人數是104人。有了這個條件，相信你們通過獨立思考，一定會找出問題的答案！

得到老師的肯定和鼓勵后，同學們又主動投入了探究：有的凝思，有的在紙上畫，有的埋頭演算……可謂此時無聲勝有聲。

生E：假設甲班人數與乙班人數同樣多，那么，兩班總人數就比104少了10人，只有94人，這樣，平均每班只有47人，也就是說乙班47人，甲班多10人是57人。

生F：還可假設乙班人數與甲班人數同樣多，兩班總人數比104多10人，平均每班57人。換句話說，57就是甲班人數，乙班47人。

生G：我是這樣算的：104÷2+10÷2=57（人）……

還沒等G講完，急性子H立即表態反對：我認為這算式是錯的，算得的結果57人是巧合。

生I：我也認為是錯的，是湊出的數字。

生J：我認為G的算法是對的。

……

隨著爭論的深入逐漸形成了支持和反對“兩派”。最后，兩派學生的目光都聚焦到了老師身上，希望老師來作出公正的判斷。

師：同學們，雙方說的似乎都有道理，對或錯，口說無憑，你得用道理說服人家吧！我也不太明白：為什么要在52的基礎上加5。

生K：“104÷2”是假設兩個班人數相等，都是52人。實際上，甲班比乙班多10人，所以甲班比平均數52多5人，是57人，乙班比52人少5人，是47人。

生L：還可以用線段圖來解釋。（該生一邊在黑板上分別畫上兩條長短不一的線段，一邊指著圖分析。如下圖）

長的線段看作甲班人數，短的線段看作乙班人數。多出的一段就是兩班相差的人數10人，我把這多出的一段平均分成兩小段，每小段是5人，移一小段到乙線段的后面接起來，這樣就發現兩段一樣長。換句話說，兩班人數一樣多，是104的一半，即52人。那么，甲移走一小段（5人）后是52人，乙得到一小段（5人）也是52人，所以甲班就是57人，乙班有47人。

……

師：對上面的解釋滿意嗎？

齊：滿——意！

正當老師準備導入下一個環節時，一位學生又舉起了手，老師點頭示意，讓他發言。

生M：我根據兩班相差10人，就可判定兩班人數的個位數字是相同的，而每班人數大約50人，再根據兩班人數之和104的個位數4的特征想，哪兩個相同的一位數加起來，個位上會出現4呢？只有2+2或者7+7，假如個位上是2，那么兩班都是52人，或者甲班有52人，乙班有42人，都與條件矛盾，假如個位上是7，甲班是57人，乙班有47人，完全與條件相符。所以……

話未講完，掌聲雷動。

反思：“智慧”就是人們對事物能認識、辨別、判斷處理和發明創造的能力。教師的教育智慧集中表現在教育教學實踐中，即具有感受、準確判斷各種生成和變動過程可能出現的新情況和新問題的能力；具有使學生積極投入創造性學習，愿意與他人進行交流對話的能力。師生要努力創造“智慧”的課堂，用智慧催生智慧。以上理念，引發了我的積極思考。

1.智慧地選材，機智地引領。本例所選的學習材料及創設的教學情境，生活氣息濃，是具有現實性和挑戰性，且思維含量高，有利于學生智慧的培養和發展。在學生探究過程中，教師機智的引領，將探究一次次推向深入，將思維一次次激活，不斷催生智慧；同時，積極的鼓勵，合理的評價，對培養學生健全的人格，也起到了積極的作用。

2.敏銳地洞察，合情地推理。學生對數學問題的敏銳觀察與合情推理是數學智慧的重要表現。在本例中，不管是學生從疑惑到頓悟，還是對題目中總人數的斷定；不管是學生解題策略的多樣性，還是“兩派”爭辯推理過程的起伏性，無處不閃爍著智慧的火花，無時不流淌著智慧的靈動。課堂中精彩的發言，高潮的出現，足以說明學生敏銳的數感，足以看出在處理數學問題時表現出的靈活思維與較開闊的思路和較好的數學素質。

3.獨立思考，積極創造。獨立思考是發展智慧最根本的途徑。本例在解決問題的過程中，要用到“和差問題”的知識，這一知識，本班學生以前從未接觸過。然而學生通過獨立思考，主動探究，用自己的聰明才智創造了獨特的解決問題方法，特別是最后一位學生通過觀察104這個數的個位數字特征的推理，確實是一種創造性思維。

作者單位

江蘇省宜興市第二實驗小學

◇責任編輯：李瑞龍◇