“追及問(wèn)題”模型與“化歸”思想

“化歸”不僅是小學(xué)數(shù)學(xué)的一種重要的思想方法，也是一種最基本的思維策略。而“追及問(wèn)題”是小學(xué)數(shù)學(xué)中的一類(lèi)常見(jiàn)的應(yīng)用問(wèn)題。本文將利用化歸思想巧妙構(gòu)造“追及問(wèn)題”模型，將一些數(shù)學(xué)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“追及問(wèn)題”求解，優(yōu)化解題模式，感受數(shù)學(xué)思想方法的優(yōu)美。

一、關(guān)于化歸思想

所謂化歸思想是指在處理問(wèn)題時(shí)，將待解決的陌生問(wèn)題通過(guò)轉(zhuǎn)化，歸結(jié)為一個(gè)比較熟悉的問(wèn)題來(lái)解決，或?qū)⒁粋€(gè)復(fù)雜的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為一個(gè)或幾個(gè)簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)解決。化歸思想的實(shí)質(zhì)是：

二、“追及問(wèn)題”模型

兩個(gè)物體一前一后，一慢一快同向運(yùn)動(dòng)，快者逐漸追上或超過(guò)慢者。這就是小學(xué)數(shù)學(xué)中的“追及問(wèn)題”的特征。

例1甲、乙兩人分別從相距60公里的A、B兩地，同時(shí)同向而行。甲騎自行車(chē)每小時(shí)行15公里，乙步行每小時(shí)走5公里，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)，甲可追上乙?

分析甲、乙兩人同時(shí)同向而行甲追上乙時(shí)，兩人所用時(shí)間(或甲追上乙所需時(shí)間)相同。相同時(shí)間里，甲比乙多行60公里，其原因是甲每小時(shí)比乙多行10公里。

問(wèn)題可簡(jiǎn)化為：甲比乙每小時(shí)多行10公里，問(wèn)幾小時(shí)后，甲比乙多行60公里?顯然，這是一道簡(jiǎn)單應(yīng)用題，其基本數(shù)量關(guān)系是份總關(guān)系。總數(shù)是指兩人的路程差，每份數(shù)是指兩人的速度差，份數(shù)就是指甲追上乙所需的時(shí)間(追及時(shí)間即產(chǎn)生路程差的時(shí)間)，于是得到追及問(wèn)題的基本關(guān)系式：

路程差÷速度差=追及時(shí)間

由此得到“追及問(wèn)題”模型，在解“追及問(wèn)題”應(yīng)用題時(shí)，只要找到其中的兩個(gè)量，即可求出另一個(gè)量。

三、“追及問(wèn)題”模型的應(yīng)用

小學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題類(lèi)型繁多，結(jié)構(gòu)錯(cuò)綜復(fù)雜，解題方法千變?nèi)f化，盡管如此，對(duì)有些類(lèi)型的問(wèn)題，利用化歸思想，只要認(rèn)真觀察，分析題目結(jié)構(gòu)，或只須稍加變形，便可以納入到“追及問(wèn)題”模型。成為它的一個(gè)子模型。

1.時(shí)鐘問(wèn)題

例2從7點(diǎn)到整8點(diǎn)整，時(shí)鐘上的分鐘與時(shí)針成直角是什么時(shí)刻？

分析這是個(gè)時(shí)鐘問(wèn)題，其特征與“追及問(wèn)題”類(lèi)似，很自然我們利用化歸思想將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“追及問(wèn)題”模型來(lái)研究。把鐘面圓周平分均分成60格，時(shí)針每小時(shí)走5小格，分針每小時(shí)走60小格，建立“追及問(wèn)題”模型，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：原來(lái)是7點(diǎn)整，分針與時(shí)針相差35小格，何時(shí)分針追到時(shí)針后15格，何時(shí)分針追到時(shí)針前15格。

基本量之間對(duì)應(yīng)如下：

分針與時(shí)針的速度差是——速度差（60-5=55小格）

分針與時(shí)針的行程差是——路程差（35-15小格；或35+15小格）

分針和時(shí)針成直角所需的時(shí)間——也就是追及時(shí)間。

以上問(wèn)題的解決，使我們獲得“追及問(wèn)題”模型的子模型 ：“時(shí)鐘問(wèn)題”模型。

(35-15)÷55= （小時(shí)）或(35+15)÷55= （小時(shí)）

過(guò) 小時(shí)或 小時(shí)時(shí)針與分針成直角。

以上問(wèn)題的解決，使我們獲得“追及問(wèn)題”模型的子模型：“時(shí)鐘問(wèn)題”模型。

2.年齡問(wèn)題

例3明明今年10歲，他爸爸今年36歲，問(wèn)幾年后，爸爸的年齡是明明的3倍？

分析怎樣將年齡問(wèn)題轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題？這樣思考：假設(shè)明明一年長(zhǎng)3歲，即可以建立“追及問(wèn)題”模型，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：明明今年30歲，他爸爸今年36歲，幾年后明明的年齡和他爸爸的年齡一樣？

基本量之間對(duì)應(yīng)如下：

年齡差——路程差（36-30）

每年增長(zhǎng)的年齡差——速度差（3-1）

“幾年”——追及時(shí)間

轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題，得算式：

（36-30）÷（3-1）=3（年）

因此，3年后爸爸的年齡是明明的3倍。

以上問(wèn)題的解決，使我們獲得“追及問(wèn)題”模型的子模型：“年齡問(wèn)題”模型。

3.工程問(wèn)題

例4師徒共同加工零件，師傅每小時(shí)加工60個(gè)，徒弟每小時(shí)加工48個(gè)。師傅先用一小時(shí)指導(dǎo)徒弟，然后再開(kāi)始工作，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)師徒做的零件相等？

分析這是個(gè)工程問(wèn)題，也可以建立“追及問(wèn)題”模型，把基本量作如下對(duì)應(yīng)：

工作量差——路程差

工作效率差——速度差

工作時(shí)間（產(chǎn)生工作量差的時(shí)間）——時(shí)間（產(chǎn)生路程差的時(shí)間）

轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題，得算式：

48×1÷（60-48）=48÷12=4（小時(shí)）。

因此，經(jīng)過(guò)4小時(shí)師徒做的零件相等。

以上問(wèn)題的解決，使我們獲得“追及問(wèn)題”模型的子模型：“工程問(wèn)題”模型。

4.盈虧問(wèn)題

例5買(mǎi)來(lái)一批蘋(píng)果，分給幼兒園大班的小朋友。如果每人分5個(gè)蘋(píng)果，那么還剩余32個(gè)；如果每人分8個(gè)蘋(píng)果，那么還有5個(gè)小朋友分不到蘋(píng)果。這批蘋(píng)果有多少個(gè)?

分析 這是典型的盈虧問(wèn)題，也可以建立“追及問(wèn)題”模型，把基本量作如下對(duì)應(yīng)：

兩種分法產(chǎn)生的個(gè)數(shù)的總差值——路程差

每人分得的蘋(píng)果數(shù)差——速度差

人數(shù)(產(chǎn)生個(gè)數(shù)差的人數(shù))——時(shí)間(產(chǎn)生路程差的時(shí)間)

轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題，得算式：

(32+8×5)÷(8-5)=72÷3=24(人)。

因此，幼兒園大班的小朋友有24人，這批蘋(píng)果有5×24+32=152(個(gè))。

以上問(wèn)題的解決，使我們獲得“追及問(wèn)題”模型的子模型：“盈虧問(wèn)題”模型。

5.雞兔同籠問(wèn)題

例6今有雞兔同籠。上有35頭，下有94足，問(wèn)雞兔各幾只?

分析假設(shè)籠中都是兔，則應(yīng)有足4×35=140(只)，于是，建立“追及問(wèn)題”模型，把基本量作如下對(duì)應(yīng)：

產(chǎn)生足的總差值——路程差

一只兔與一只雞的足的差值——速度差；

雞的只數(shù)——時(shí)間（產(chǎn)生路程差的時(shí)間）

轉(zhuǎn)化為追及問(wèn)題，有：

（140-94）÷（4-2）＝46÷2＝23（只）

因此有雞23只，有兔35-23=12（只）

以上問(wèn)題的解決，使我們獲得“追及問(wèn)題”模型：“雞兔同籠問(wèn)題”模型。

6.蠟燭問(wèn)題

例7在倫敦的一個(gè)大霧天，一家商店的店主叫店員點(diǎn)炮燃兩支長(zhǎng)度相同的蠟燭。這兩支蠟燭中的一支可維持4

個(gè)小時(shí)，另一只可維持5個(gè)小時(shí)。霧散后，店主來(lái)吹蠟燭，發(fā)現(xiàn)其中一支剩下的長(zhǎng)度是另一支剩下長(zhǎng)度的4倍。問(wèn)蠟燭點(diǎn)燃了多長(zhǎng)時(shí)間？

分析為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單，不妨假設(shè)細(xì)蠟燭有4支（如圖）。

這樣，問(wèn)題就轉(zhuǎn)化成：同時(shí)點(diǎn)燃5支蠟燭（1粗4細(xì)），點(diǎn)了一段時(shí)間后，4支細(xì)蠟燭剩下的長(zhǎng)度之和恰好等于粗蠟燭剩下的長(zhǎng)度。然后，把4支細(xì)蠟燭燃燒后的情況，轉(zhuǎn)化為圖2的情形。由圖2容易看出，在相同時(shí)間內(nèi)，細(xì)蠟燭比粗蠟燭多燒掉3支。

根據(jù)題意，粗蠟燭每小時(shí)燒掉 ，細(xì)蠟燭每小時(shí)燒掉 ，4支細(xì)蠟燭同時(shí)燃燒，每小時(shí)總共燒掉1支。利用化歸原則，把蠟燭問(wèn)題變成我們熟悉的追及問(wèn)題。建立“追及問(wèn)題”模型，把基本量作如下對(duì)應(yīng)：

細(xì)蠟燭比粗蠟燭多燒掉的支數(shù)——路程差

細(xì)蠟燭比粗蠟燭每小時(shí)多燒掉的蠟燭——速度差；

蠟燭點(diǎn)燃了多長(zhǎng)時(shí)間——時(shí)間（產(chǎn)生路程差的時(shí)間）

于是，由追及問(wèn)題可知，蠟燭燒了：(4-1)÷(1- )= (小時(shí))。

蠟燭問(wèn)題是一個(gè)古老的數(shù)學(xué)名題，上述解法可以看到它也可作為“追及問(wèn)題”模型的子模型。

7.牛吃草問(wèn)題

例8牧場(chǎng)上長(zhǎng)滿了牧草，每天均勻生長(zhǎng)，這片牧場(chǎng)可以供10頭牛吃20天，可以供15頭牛吃10天，問(wèn)可以供 25頭牛吃多少天？

分析 設(shè)每頭牛每天吃的草量為“1”

10頭牛20天吃的草量：10×20=200

15頭牛10天吃的草量：15×10=150

每天新長(zhǎng)出來(lái)的草量：(200-150)÷(20-10)=5

原來(lái)有的草量：200-5×20=100

轉(zhuǎn)化為“追及問(wèn)題”模型，把基本量作如下對(duì)應(yīng)：

原來(lái)有的草量——路程差；

25頭牛每天吃的草量與每天新長(zhǎng)出的草量的差值——速度差；

25頭牛吃完原有的草和新長(zhǎng)出來(lái)的草所要的時(shí)間——時(shí)間(產(chǎn)生路程差的時(shí)間)。

于是，由追及問(wèn)題可知，供25頭牛吃100÷(25-5)=5(天)。

可見(jiàn)“牛吃草問(wèn)題”通過(guò)處理也成為了“追及問(wèn)題”。

通過(guò)上面幾例，我們已經(jīng)感受到了化歸思想的作用，許多看似與“追及”無(wú)關(guān)的問(wèn)題，運(yùn)用化歸思想，利用熟悉化原則，稍加處理就可以巧妙地轉(zhuǎn)化為“追及問(wèn)題”模型來(lái)解，使問(wèn)題得到簡(jiǎn)化。

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，老師有意識(shí)地滲透化歸思想，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用化歸思想解決問(wèn)題，不僅能起到鞏固，勾通各種舊知識(shí)，促進(jìn)理解掌握新知識(shí)的作用，而且對(duì)提高學(xué)生解決問(wèn)題的策略水平有著深 遠(yuǎn)的影響，不僅有助于學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，也有助于他們學(xué)習(xí)其他知識(shí)，更有助于他們將來(lái)走向社會(huì)，使其終生受益。

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。”