角度改變觀念：談通過一題多證開拓學(xué)生的解題思路

因?yàn)楦叨葲Q定學(xué)生的視野，角度改變學(xué)生的觀念，所以教師在課堂教學(xué)中要從多角度、多方位培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散思維能力。而一題多證是培養(yǎng)上述能力的最佳途徑。下面就通過一題多證談一談自己的體會：

例題。已知，在梯形ABCD中，AD∥BC，以AB和BD為邊作ABDE，AD的延長線交EC于F。

求證：EF=FC

分析思路一：要證：EF=FC，因?yàn)锳D∥BC，所以聯(lián)想平行線等分線段定理的推論1，即想到延長ED交BC于Q。再證ED=DQ這由題設(shè)條件容易推出。

證明一：如圖，延長ED交BC于Q

∵ABDE是平行四邊形，且AD∥BC

∴ABQD是平行四邊形，

即DQ=AB=ED

∴D為EQ的中點(diǎn)

∴EF=FC

分析思路二：要證：EF=FC，因?yàn)锳D∥BC，所以聯(lián)想平行線等分線段定理的推論1及平行四邊形的對角線互相平分的性質(zhì)，即想到連結(jié) EB交AD于點(diǎn)O。于是結(jié)論得證。

證明二：如圖，連結(jié)EB交AD于點(diǎn)O。

這里是一個圖片∵ABDE是平行四邊形

∴O為BE的中點(diǎn)

∵OF∥BC

∴EF=FC

分析思路三：要證：EF=FC，因?yàn)锳D∥BC，所以聯(lián)想平行線等分線段定理的推論2，即想到作EN∥AD交BA的延長線于點(diǎn)N，由題設(shè)條件容易推出NA=AB，于是結(jié)論得證。

證明三：如圖，作EN∥AD交BA的延長線于點(diǎn)N

∵ABDE是平行四邊形

∴ADEM是平行四邊形，NE∥BC

∴MA=DE=AB

即A為MB的中點(diǎn)

∵EM∥AD∥BC

∴EF=FC

這里是一個圖片分析思路四：要證：EF=FC，因?yàn)锳D∥BC，所以聯(lián)想平行線等分線段定理的推論1，即想到延長EA、CB交于點(diǎn)N，由題設(shè)條件容易證ANBD為平行四邊形，進(jìn)而得到EA=AN，于是結(jié)論得證。

證明四：如圖，延長EA、CB交于點(diǎn)N

∵ABDE是平行四邊形，AD∥BC

∴ANBD是平行四邊形，

∴AE=AB=AN

∴A為EN的中點(diǎn)

∴EF=FC

分析思路五：要證：EF=FC，因?yàn)锳D∥BC，于是聯(lián)想到作FQ∥AB交BC于點(diǎn)Q。容易證ABQF為平行四邊形，因?yàn)锳BDE于是可證得FQ=ED，易證∠DEF=∠QFE，∠DFE=∠QCF，進(jìn)而得到△EDF≌△FPC。于是結(jié)論得證。

證明五：如圖，作FQ∥AB交BC于點(diǎn)Q。

∴∠DEF=∠QFE

∵AD∥BC

∴∠DFE=∠QCF

∴ABQF是平行四邊形，

∴FQ=AB

又∵ABDE

∴AB=ED

∴FQ= ED

∴△EDF≌△FPC

∴EF=FC

分析思路六：要證：EF=FC，因?yàn)锳BDE，于是聯(lián)想到過F作QG∥AB，EG∥AF交BC于點(diǎn)Q。容易證DEGF為平行四邊形，ABQF為平行四邊形，于是可證得GF=QF，易證∠EFG=∠CFQ，進(jìn)而證得△EFG≌△CFQ。于是結(jié)論得證。

證明六：如圖，過F作QG∥AB，EG∥AF交BC于點(diǎn)Q。

這里是一個圖片∵AD∥BC

∵ABDE

∴AB∥DE，AB=DE

∴EG∥DF，

∴DEGF為平行四邊形，ABQF為平行四邊形，

∴FQ=AB，F(xiàn)G=DE

∴FQ=FG

又∵∠EFG=∠CFQ

∴△EFG≌△CFQ

∴EF=FC

分析思路七：要證：EF=FC，觀察EF在△EFA或△EFD中，F(xiàn)C在△DFC中，顯然△EFA與△DFC，或△EFD與△DFC是不會全等的，為了達(dá)到證兩線段EF=FC的目的，可以通過創(chuàng)造包含這兩線段在內(nèi)的兩個三角形全等于是想到作FG∥DB交BC于點(diǎn)G。于是可證△AEF≌△GFC。則得EF=FC。

證明七：如圖，作FG∥DB交BC于點(diǎn)G

∴∠1=∠2

∵AD∥BC

∴∠2=∠3

∴四邊形DFGB是平行四邊形

∵ABDE是平行四邊形

∴BDAE，F(xiàn)GBD

即AE=GF，∠4=∠3=∠2=∠1

又∵AF∥BC

∴△AEF≌△GFC

∴EF=FC

分析思路八：要證：EF=FC，因?yàn)锳BDE，于是聯(lián)想到作F Q∥AB交BC于點(diǎn)Q。連結(jié)DQ，因?yàn)锳D∥BC容易證ABQF為平行四邊形，進(jìn)而易證DEQF為平行四邊形，于是可證得DQ=EF，由此易證DQCF為平行四邊形，則得DQ=FC于是結(jié)論得證。

證明八：如圖，作FQ∥AB，交BC于點(diǎn)Q，連結(jié)DQ。

∵AD∥BC

∴ABQF為平行四邊形

∵ABDE

∴FQ∥ED，F(xiàn)Q=ED

∴EDQF為平行四邊形

∴DQ∥EF，DQ=EF

∴DQCF為平行四邊形

∴DQ=FC

∴EF=FC

分析思路九：要證：EF=FC，同七，于是想到作FP∥AB交BC于點(diǎn)P。于是可證△EDF≌△FPC。

證明九：如圖，延長ED交BC于點(diǎn)N，作FP∥AB

交BC于點(diǎn)P

∵AF∥BC

∴FP=AB，∠1=∠2=∠5，∠3=∠4

∵ABDE是平行四邊形

∴ED=AB

∴ED= FP

即△EDF≌△FPC

∴EF=FC

分析思路十：要證：EF=FC，從圖形直觀看如果用“平行四邊形對角線互相平分”這個基本圖形比較，則缺少平行四邊形的一部分，于是可創(chuàng)造出這一部分，即作CG∥DE交AD的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)EG。于是可完成證題。

證明十：如圖，作CG∥DE交AD的延長線于點(diǎn)G，連結(jié)EG

∵ABDE是平行四邊形

又∵AD∥BC

∴ABCG是平行四邊形

即CGED

∴EDCG是平行四邊形

∴EF=FC

分析思路十一：通過作垂線，創(chuàng)造兩個直角三角形全等

證明十一：作AK⊥BC于K，CG⊥AD的延長線于點(diǎn)G，

作EH⊥AD于H，

∴AK∥GC∥EH

∵ABED

∴∠BAK=∠DEF

即Rt△ABK≌Rt△EDH

∴AK=EH

而AKCG是矩形

∴CG=AK=EH

又∵∠EFH=∠GFC

∴Rt△EHF≌Rt△CGF

即EF=FC

分析思路十二：要證：EF=FC，因?yàn)椤鱁DF和△DFC的EF和FC上的高相同，所以只需證明S△EDF=S△DFC即可，根據(jù)思路八已證△EDF和△DFC的DF邊上的高相等，于是問題得證。

證明十二：如圖，作EN⊥DF于N，CG⊥DF的延長線于點(diǎn)G

根據(jù)證明十一，

得EN=CG

∴S△EDF=S△DFC

∴EF=FC

分析思路十三：要證：EF=FC，因?yàn)锳BDE，AD∥BC，于是聯(lián)想到作BG∥EC，EG∥BC，延長BA交EG于N，延長FA交BG于H，容易證GHFE為平行四邊形，HBCF為平行四邊形，NADE為平行四邊形，于是可證得GH=EF，HB=FC，AN=DE，易證AB=DE，所以AN=AB，由AH∥NG，則得GH=HB，于是結(jié)論得證。

證明十三：如圖，作BG∥EC，EG∥BC，延長BA交EG于N，延長FA交BG于H，

∵AD∥BC

∴EG∥HF∥BC

∵ABDE

∴AB∥DE，AB=DE

∴GHFE為平行四邊形，HBCF為平行四邊形，NADE為平行四邊形，

∴GH=EF，HB=FC，AN=DE，

∴AN=AB

∵AH∥NG

∴GH=HB

∴EF=FC

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。