彈性碰撞速度公式的新形式及若干推導(dǎo)

無論是高中物理教材，還是大學(xué)普通物理教材，所給出的彈性碰撞速度公式不夠簡潔，經(jīng)過筆者的深入分析和研究，得出彈性碰撞速度公式的新形式，可概括為：兩物體在一維彈性碰撞過程中，每個物體在碰撞前的速度與碰撞后的速度之和都等于兩物體總動量與總質(zhì)量比值的兩倍．兩物體質(zhì)量分別為m１、m２，碰撞前的速度分別為 ν1、 ν2，碰撞后的速度分別為 ν' 1、ν'2，彈性碰撞速度公式的新形式可表為

ν1＋ν'1＝ν2＋ν'2＝2（m１ν1＋m２ν2）m１＋m２這樣的彈性碰撞速度公式結(jié)構(gòu)簡單，形式優(yōu)美，更容易記憶。下面介紹幾種有別于物理教材的推導(dǎo)方法。方法一、由于兩物體在彈性碰撞過程中總動量守恒，兩物體在碰撞前的總動能跟碰撞后的總動能相等，所以m１ν 1+ m２ν2=m１ν'1+m２ν'2①12m１ν' 12+ 12m２ν22=12m１ν' 12+12m２ν'22②分別由 ①②兩式得m１(ν1-ν'1)=m２(ν'2-ν2)m１(ν1+ν'1)(ν1-ν'1)=m２(ν2+ν'2)(ν'2-ν2)將以上兩式的左右兩邊分別相除得ν1＋ν'1＝ν2＋ν'2③將 ① 的左右兩邊同時加上m１ν 1+ m２ν2得m１(ν1+ν'1)+ m２(ν2+ν'2)＝2（m１ν1＋m２ν2）④由 ③④ 兩式容易解出 ν1＋ν'1＝ν2＋ν'2＝2（m１ν1＋m２ν2）m１＋m２這種方法借鑒了有關(guān)物理教材中求解彈性碰撞速度的方法，并作了改進，使運算過程變得更加簡單。方法二、現(xiàn)對實際的彈性碰撞過程進行等效變換，即在不改變兩物體在碰撞前后速度的前提下，用一個恒定斥力代替兩物體之間的彈性力，使兩物體在恒定斥力作用下做勻變速直線運動。兩物體在碰撞前的總動能跟碰撞后的總動能相等，兩物體在碰撞過程中的動能變化互為相反數(shù)，根據(jù)動能定理，彈性力對兩物體所做的功互為相反數(shù)，恒定斥力對兩物體所做的功也互為相反數(shù)，兩物體受到的恒定斥力大小相等，方向相反，兩物體發(fā)生的位移必須相同，兩物體的平均速度相同．根據(jù)勻變速直線運動的平均速度公式得ν1＋ν'12＝ν2＋ν'22 由兩物體總動量守恒得

m１ν 1+ m２ν2=m１ν'1+m２ν'2

仿照方法一，由以上兩式容易解得  ν1＋ν'1＝ν2＋ν'2＝2（m１ν1＋m２ν2）m１＋m２這種推導(dǎo)方法的物理味道頗濃，綜合運用了物理學(xué)基礎(chǔ)知識和研究方法，對提高學(xué)生物理學(xué)科素質(zhì)大有幫助。方法三、設(shè)兩物體的總動量為p， P=m１ν 1+ m２ν2=m１ν'1+m２ν'2兩物體的總動能為ＥＫ， EK 12m１ν' 12+ 12m２ν22=12m１ν' 12+12m２ν'22， ν1、ν2和 ν'1、ν'2、 是關(guān)于Ｖ１、Ｖ２的二元二次方程組m１ν 1+ m２ν2= P12m１ν' 12+ 12m２ν22=EK 兩組解，由以上兩個方程消去Ｖ２得 m1(m1+m２)ν12-2 m1pν1+p2-2m２EK =0，由于 Ｖ１、Ｖ'1 是關(guān)于Ｖ１的一元二次方程的兩個實根，由韋達定理得 ν1＋ν'1=2Pm1+m２。同理可得 ν2＋ν'2=2Pm1+m２。所以， ν1＋ν'1＝ν2＋ν'2＝2（m１ν1＋m２ν2）m１＋m２。

這種方法通過構(gòu)造一元二次方程，運用韋達定理完成推導(dǎo)，很有獨創(chuàng)性。

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