轉(zhuǎn)動(dòng)參考系與科氏慣性力的理解

【摘要】科氏慣性力存在于轉(zhuǎn)動(dòng)參考系中，從慣性力的慣性本質(zhì)出發(fā)去理解科氏力具有重要意義。本文通過(guò)平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題認(rèn)識(shí)轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的實(shí)質(zhì)，以及慣性力的本質(zhì)。

【關(guān)鍵詞】科氏慣性力；轉(zhuǎn)動(dòng)參考系；科氏加速度；慣性

The Comprehension of Coriolis force and Rotational reference frame

MA Li(Student's science and technology creative association， Zhejiang normal university，Jinhua，Zhejiang，321004)

【Abstract】Coriolis force exist in the rotational reference frame .It's appears very important meaning to comprehend Coriolis force basing on the natural of inertial force. According to the flat surface motion problem，the text make a understanding on the natural of rotational reference frame and inertial force.

【Key word】:Coriolis force;Rotational reference frame;Coriolisacceleration;Inertia

在經(jīng)典力學(xué)中，慣性力是個(gè)古老而常見的問(wèn)題，在非慣性系中可分為牽連慣性力和科氏慣性力。對(duì)牽連慣性力的認(rèn)識(shí)一般比較容易把握，許多同學(xué)對(duì)于科氏慣性力以及轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的理解過(guò)于機(jī)械化，以至于無(wú)法認(rèn)清落體偏東等現(xiàn)象的實(shí)質(zhì)，甚至還會(huì)產(chǎn)生科氏力作功的錯(cuò)誤認(rèn)識(shí)。只求助于公式，這對(duì)于物理規(guī)律及概念的掌握是無(wú)益的。因此把握概念的本質(zhì)才是理解物理學(xué)規(guī)律的重要途徑。下面就通過(guò)平面上的轉(zhuǎn)動(dòng)問(wèn)題先來(lái)正確理解轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，再認(rèn)識(shí)科氏慣性力產(chǎn)生的本質(zhì)。

1轉(zhuǎn)動(dòng)過(guò)程中的參考系問(wèn)題

水平光滑桌面中間有一光滑小孔O，輕繩一端伸入孔中并作用于向下的拉力，另一端系一質(zhì)量為m的小球，沿半徑為r0的圓周作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。如果拉力增大，小球以徑向速度vr靠近小孔如圖1，求小球在該轉(zhuǎn)動(dòng)慣性系中的科氏力。

圖1

小球所受外力矩為零，我們用動(dòng)量矩守恒解決此類問(wèn)題。設(shè)任意球到O點(diǎn)的距離為r，以遠(yuǎn)離O點(diǎn)為正方向，所以對(duì)O點(diǎn)的動(dòng)量矩為： Lo＝mrv＝mrv2ω，兩邊對(duì)t求導(dǎo)：dLodt=mdr2dtω+mr2dωdt=0，即：2ωrdrdt+r2dωdt=0。因?yàn)閐ωdt=νr， r＝r0＋νrt，得出： （r0+νrt）dωdt+2ωr=0，分離變量積分，再代入初始條件ωt=0=ω0，所以ω=ω0ro2(r0+νrt)，＝－2m×r，科氏力大小就等于：F＝2mω0ro2νr（r0＋νrt）2。

從上式可以看出角速度不斷增加，而在這個(gè)非慣性系中科氏力方向與切向速度相同，那么是不是就可以認(rèn)為角速度的增加就是科氏力所制呢？科氏力作功導(dǎo)致轉(zhuǎn)動(dòng)動(dòng)能增加，角速度增加？其實(shí)在這個(gè)例子中非慣性參考系并不是O點(diǎn)，也不是小球自身。O點(diǎn)固定，也就是一個(gè)慣性參考系，而且也不可能描述一個(gè)點(diǎn)的轉(zhuǎn)動(dòng)。這就不同于在太陽(yáng)系中以太陽(yáng)為轉(zhuǎn)動(dòng)參考系，太陽(yáng)是有大小的它表面及內(nèi)部的每一點(diǎn)都是等價(jià)的非慣性系，因?yàn)闆](méi)有相對(duì)加速度，當(dāng)然這也得除去太陽(yáng)中心的那一點(diǎn)。如果是默認(rèn)小球自身為參考系，那么就沒(méi)有相對(duì)速度，更談不上科氏慣性力。對(duì)于這個(gè)例子中的參考系，我們可以這樣認(rèn)為，就好比小球在一個(gè)圓盤上運(yùn)動(dòng)，而圓盤的轉(zhuǎn)動(dòng)角速度時(shí)刻與小球相同，那么這個(gè)默認(rèn)的參考系就可以認(rèn)為是這個(gè)圓盤，或者說(shuō)是這個(gè)圓盤上除轉(zhuǎn)軸以外的所有點(diǎn)為參考系。所以說(shuō)，例子中的非慣性轉(zhuǎn)動(dòng)參考系應(yīng)該是對(duì)O點(diǎn)的與小球角速度時(shí)刻相同的轉(zhuǎn)動(dòng)平面。這樣正確的理解轉(zhuǎn)動(dòng)參考系就可以避免上述錯(cuò)誤的發(fā)生。

2科氏慣性力的本質(zhì)

慣性力，顧名思義，源于慣性。我們知道在非慣性平動(dòng)參考系中的牽連慣性力是物體維持原有運(yùn)動(dòng)狀態(tài)的慣性產(chǎn)生的，對(duì)于科氏慣性力我們也應(yīng)該可以通過(guò)慣性的角度來(lái)理解。在極坐標(biāo)下，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)對(duì)轉(zhuǎn)動(dòng)慣性系的相對(duì)速度，可分為徑向速度和橫向速度。下面先討論只有徑向相對(duì)速度的情況。

圖2

如圖2，一圓盤繞豎直軸以角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)。盤心有一光滑小孔，沿半徑方向有光滑槽。其中置一小球m，可視作質(zhì)點(diǎn)，以細(xì)線連之。線另一端穿過(guò)小孔O，可控制小球在槽中作勻速運(yùn)動(dòng)。現(xiàn)令小球以勻速vr沿槽由A向盤心運(yùn)動(dòng)。勻速轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤從邊緣到轉(zhuǎn)軸的線速度逐漸減小，小球從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到O過(guò)程中牽連點(diǎn)的線速度也就隨之減小。在圖2中，相對(duì)于圓盤，小球在切向上科氏力與槽對(duì)小球的彈力平衡，如果沒(méi)有對(duì)小球的彈力，在Δt時(shí)間內(nèi)，由于慣性小球在向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中應(yīng)該維持在A點(diǎn)的線速度，所以應(yīng)該運(yùn)動(dòng)到B2點(diǎn)，但實(shí)際上小球只運(yùn)動(dòng)到B1點(diǎn)，槽對(duì)小球的彈力阻礙了小球在切向上的慣性運(yùn)動(dòng)。小球抵抗切向速度的變化才會(huì)對(duì)槽的右側(cè)產(chǎn)生作用。這也就是小球科氏慣性力產(chǎn)生的根本原因。我們可以設(shè)想如果槽不存在的話，小球在靠近O點(diǎn)的過(guò)程中，與牽連點(diǎn)的切向相對(duì)速度越來(lái)越大，vr恒定，切向相對(duì)速度的變化就成正比關(guān)系從0到ν0－ν2。定科氏加速度方向?yàn)檎骄鄬?duì)速度為：R＝ν0－ν22＝－12T#8226;△t，T并非科氏加速度，而是科氏慣性力作用下產(chǎn)生的加速度，令Δr為Δt時(shí)間內(nèi)小球徑向的變化，所以有：R＝ω#8226;△r， ω#8226;△r＝－12T#8226;△t，T＝－2ω△r△t，取極限：aT＝－lim△t→02ω△r△t＝－2ωνr。因?yàn)榭剖狭K*＝－maK=maT，所以科氏加速度為：aK＝2ωνr。

可以看出，在只有徑向相對(duì)速度的情況下，科氏加速度反映了質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于牽連點(diǎn)的切向速度大小的變化，而科氏力實(shí)質(zhì)上是由維持切向速度大小的慣性產(chǎn)生的。再來(lái)討論只有橫向相對(duì)速度的情況。如圖3，一個(gè)以角速度ω逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)的圓盤，圓盤的半徑為R，邊緣處A點(diǎn)有一質(zhì)點(diǎn)m，在Δt時(shí)間內(nèi)以速度vr，相對(duì)于圓盤從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)。我們可以想象如果質(zhì)點(diǎn)m隨圓盤有牽連運(yùn)動(dòng)，那么vr的方向就會(huì)有順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，在隨盤無(wú)限小的轉(zhuǎn)動(dòng)下，vr方向就是科氏加速度的方向，即離心方向，質(zhì)點(diǎn)抵抗這種切向相對(duì)速度大小的變化，所以才會(huì)產(chǎn)生指向向心的科氏慣性力。

圖3

這只是從定性上討論，并不能定量描述。如果我們假設(shè)科氏力產(chǎn)生的平均加速度為N，質(zhì)點(diǎn)相對(duì)于圓盤從A運(yùn)動(dòng)到B時(shí)，vr順時(shí)針轉(zhuǎn)過(guò)角θ，vr的變化為Δ1v，v0為圓盤邊緣的切向速度大小。以逆時(shí)針為正，在Δt時(shí)間內(nèi)我們?nèi)?biāo)量形式有：θ＝－12NR（△t）2＝△1νR△t＝△1ν，所以平均加速度為：N＝－2△1ν△t＝－2△1△t，取極限： aN＝－2lim△t→0△1△t＝－2ν0Rlim△t→0AB△t＝－2ν0Rlim△t→0△S△t，aN＝－2ν0R=－2ω#8226;νr，所以科氏加速度為：aN＝2ω#8226;νr。

可以看出，在只有橫向相對(duì)速度的情況下，而科氏力實(shí)質(zhì)上是由維持絕對(duì)速度的方向的慣性產(chǎn)生的。所以一般相對(duì)速度既包含橫向又包含徑向的情況下，科氏慣性力是維持切向絕對(duì)速度大小和方向的慣性產(chǎn)生的，而相對(duì)于牽連點(diǎn)速度大小和方向的變化又是由相對(duì)速度vr引起的，因此當(dāng)相對(duì)非慣性轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的速度為零時(shí)，科氏力為零。

3討論

在認(rèn)識(shí)了科氏慣性力的慣性本質(zhì)后，我們?cè)賮?lái)考慮開始提到的落體偏東現(xiàn)象。有些同學(xué)認(rèn)為，在不考慮空氣阻力時(shí)，高空中落下的物體再到達(dá)地面前地表已經(jīng)至西向東轉(zhuǎn)過(guò)了一定角度，所以落體應(yīng)該偏西。這種說(shuō)法的錯(cuò)誤在于沒(méi)有考慮落下之前的牽連速度。因?yàn)榈厍虻淖赞D(zhuǎn)角速度，高空上的牽連速度大于地表的牽連速度，由于慣性維持原來(lái)的線速度大小不變，下落過(guò)程中相對(duì)于牽連點(diǎn)的速度越來(lái)越大，最終造成落體偏東。所以說(shuō)，把握了轉(zhuǎn)動(dòng)參考系的實(shí)質(zhì)及科氏慣性力的慣性本質(zhì)，對(duì)于概念的理解才具有真正的意義。

4參考文獻(xiàn)

1漆安慎，杜嬋英.普通物理學(xué)教程——力學(xué)[M].北京:高等教育出版社，2005

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文。