集合中常見的誤區

【關鍵詞】 原始；概念；誤區

【中圖分類號】 G471【文獻標識碼】 B【文章編號】 1005-1074(2008)04-0161-01

由于集合是一個不定義的原始概念，高一學生在開始學習這一部分內容時，感到比較抽象，難以理解，因而出現了各種各樣常見的錯誤。

1 概念不清

例1．試確定A={x|x=a 2+1，a ∈N +}與B={y|y=b 2－4b+5，b ∈N +}之間的關系。

錯解： A={x|x=a 2+1，a ∈N +}，即A中的元素x ≧1，

而B={y|y=b 2－4b+5，b ∈N +}可以化成B={y|y=(b－2) 2+1，b ∈N +}，即B中的元素y ≧1。

∴ A＝B．

易錯分析：錯誤在于確定A中的元素時，取a=0，而得到x=1，實際上0 N +，也就是說犯了概念錯誤。

正確解答：A中的元素為{2，5，10，……}，B中的元素為{1，2，5，10，……}，集合B至少比集合A多一個元素1，即1A。所以A B，即A是B的真子集。

說明：數集的表示符號是嚴格的，N與N +表示的意義不同，必須遵守。

例2．下列六個關系式：

(1) φ{φ}；(2) φ∈{φ}；(3) φ{0}；

(4)0∈φ；(5) φ≠{0}；(6) φ≠{φ}。

中正確的序號有_________________。

錯解：（1）、（3）、（4）、（5）。

易錯分析：忽略元素與集合的關系及集合與集合間的關系的符號表示，對空集的理解錯誤。

正確解答：因為空集是由空集組成的單元素集{ φ}的一個元素，所以 φ∈{φ}正確，另外 φ與 {φ}這兩個集合不相等，前者是空集后者是非空集因此6個關系式全對。

2 符號不清

例3．設集合Ａ＝｛x｜x 2＋（a＋2）x＋１＝0，x ∈R｝，若A IR+＝ φ．求實數a的集合．

錯解：因為AIR+＝ φ，而A是方程x 2＋（a＋2）χ＋１＝0的解，所以應有兩個非正實數根，設二根為x 1，x 2，則有△＝（a＋2）2－4≧0

χ1＋χ2＝－（a＋2）≤0 a≧0

χ1χ2≧0，所以a的集合為{a|a≧0}.

易錯分析：錯誤在于對符號A∩R+=φ理解不清，丟掉了A=φ的情形。

正確解答：因為A∩R+=φ，所以方程x 2＋（a＋2）x＋１＝０無實根或有兩個非正實根，即△＜0或｛△≧0，

χ1＋χ2≤0，χ1χ2≧0解得a≧-4.

所以實數a的集合是{a|a>-4，a∈R}。

說明：若A∪B=A，則BA；若A∩B=A，則AB前者莫忘A=B=φ，后者莫忘A=φ的情形．

3 考慮不周

例4．用列舉法表示Ａ＝｛x｜64－x∈Z，χ∈N+｝

錯解：元素x因滿足64－x∈Z，注意到隱含條件4－χ≠0，則x可以為1，2，3，5，6，10，－2。

所以A={1，2，-2，3，5，6，10}

易錯分析：錯誤在于重點注意到64－x為整數這一條件，而忽視了x∈，以之造成錯誤。

正確解答：Ａ＝｛1，2，3，5，6，10｝。

說明：解題時應時刻注意題目的已知條件和隱含條件，此題也有可能忽視隱含條件4－χ≠0，而導致錯誤。

例5：設S＝｛（x，y）｜x2+y2≤1，x＞0｝，用其他方法表示S。

錯解：Ｓ是由平面上的點（x，y）所組成的集合，因為這些點同時滿足x2+y2≤1，x＞0，所以S＝｛（x，y）滿足x2+y2≤1，x＞0的為半個單位圓｝。

易錯分析：錯誤在于回答得不準確，以半個單位圓概括了半個圓面．

正確解答：S＝｛（x，y）滿足x2+y2≤1，x＞0的為右半圓面，包括半圓周，不包括直徑｝。

4 忽略隱含條件

例6．設全集U＝｛2，3，a2+2a-3｝，Ａ＝｛｜2a－1｜，2｝，CUA＝｛5｝，求實數a的值．

錯解：因為CUA＝｛5｝，所以5∈U且5Ａ。

所以a2+2a-3＝5 ，解之得a＝2或a＝－4。

易錯分析：錯誤的原因在忽略了本題的隱含條件ＡU。

正確解答：由錯解知a＝2或a＝－4，當a＝2時，｜2a－1｜＝3≠5，當＝－4時，｜2a－1｜＝9≠5，但9U，

所以a的值只能為2。或也可以用以下解法，以避免驗證：

由CUA＝｛5｝，則AUCUA＝｛2，｜2a－１｜，5｝＝U＝｛2，3，a2＋2a－3｝，

因此｛a2＋2a－3＝5

｜2a－1＝3｜a=2。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文。