例析坐標系與參數方程問題中的常見解題策略

■陜西省寶雞市岐山縣蔡家坡高級中學 楊曉乾

坐標系與參數方程作為選做題,由于難度不大,極易被考生選擇。本題第一問考查內容多為方程互化,第二問常利用參數方程中參數的幾何意義或極坐標方程中ρ,θ的幾何意義來解決問題,內容涉及距離、面積、弦長、交點、軌跡等。本文例析坐標系與參數方程問題中的常見解題策略,以求幫助同學們找到“破題”入口,順利解答。

一、利用參數的幾何意義“破題”

點評:一般地,遇到直線與曲線交于兩點,常常是將直線參數方程的標準形式代入曲線方程,得到關于t的一元二次方程,再結合根與系數的關系及參數t的幾何意義求解,屬于常規題。當然本題也可將直線和曲線的參數方程都化為普通方程來解決。

例2在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為,以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系,曲線C的極坐標方程為ρ=

(1)求曲線C的直角坐標方程,并指出其表示何種曲線;

(2)設直線l與曲線C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,若點P的直角坐標為(2,1),求的值。

二、利用參數方程或極坐標方程巧設點的坐標“破題”

例3已知曲線C的參數方程為,以平面直角坐標系的坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系。

點評:本題第(1)問利用橢圓的參數方程設出點M(2cosα,sinα)是關鍵,這樣就將問題轉化為三角函數的最值求解;第(2)問利用OP⊥OQ的特點和極徑的幾何意義,巧設點P,Q的極坐標,大大簡化了運算。

(1)求曲線C1的普通方程與曲線C2的直角坐標方程;

(2)求曲線C1上的動點到曲線C2的距離的取值范圍。

點評:本題中在將曲線C1的參數方程化為普通方程時極易出錯,三種方程的互化要注意其等價性,否則就算第(2)問巧設點的坐標,最后結果也是錯誤的,這一點同學們要足夠重視。

三、利用極坐標的幾何意義“破題”

例5在平面直角坐標系xOy中,直線l的參數方程為曲線C的方程為x2+y2+8y+7=0。以坐標原點O為極點,x軸的正半軸為極軸,建立極坐標系。

(1)求直線l及曲線C的極坐標方程;

(2)設直線l與曲線C相交于M,N兩點,滿足||OM|-|ON||=2 5,求直線l的斜率。

點評:在求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時,大多數情況下是將參數方程和極坐標方程化為普通方程后求解,或者直接利用參數方程和極坐標方程的幾何意義求解。本題只要準確理解極坐標中極徑和極角的含義,就能迎刃而解。

(1)求曲線C的極坐標方程;

點評:本題具有一定的綜合性,不但考查了極坐標方程與普通方程的正確轉化,而且考查了極坐標中點的坐標的設法,以及極徑、極角意義的靈活應用。

總之,在復習過程中,要正確理解核心概念,熟練掌握基礎知識與技能,注重思想和方法的總結,強化參數方程中參數的幾何意義,極坐標中極徑、極角的探究應用,學會與圓錐曲線、三角函數等知識的有機整合,增強解決坐標系與參數方程問題的信心和能力,從而達到快速“破題”的效果。