小學(xué)生數(shù)學(xué)猜測能力的培養(yǎng)策略

美國數(shù)學(xué)家波利亞指出：“數(shù)學(xué)的創(chuàng)造過程與其他任何知識的創(chuàng)造過程一樣，在證明一個數(shù)學(xué)定理之前，得先猜測這個定理的內(nèi)容，在完全做出詳細證明之前，得先推測證明的思路，把觀察到的結(jié)果加以綜合、類比，進行一次又一次的嘗試?！辈聹y是一種創(chuàng)造性的思維方式，是數(shù)學(xué)理論產(chǎn)生的前提。數(shù)學(xué)中那些精辟的結(jié)論、定理及巧妙的證法的得出，都離不開猜測。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，鼓勵學(xué)生大膽猜測，能培養(yǎng)學(xué)生豐富的想象力，有助于學(xué)生思維能力的提高。《全日制義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）中明確要求：讓學(xué)生“通過觀察、實驗、歸納類比獲得數(shù)學(xué)猜想?！卑l(fā)展合情推理能力和初步的演繹推理能力。

一、數(shù)學(xué)猜測的內(nèi)涵及基本方法

猜測是根據(jù)某些已知事物和知識對未知事物及其規(guī)律性的似真推斷，人們以自身已有的知識為基礎(chǔ)，通過對問題的分析、歸納，或?qū)⑵渑c有類似關(guān)系的特例進行比較、分析，通過判斷、推理對問題結(jié)果做出估測。數(shù)學(xué)猜測是人類在探索數(shù)學(xué)規(guī)律時的一種思維策略，是根據(jù)已知數(shù)學(xué)條件和數(shù)學(xué)原理對未知的量及其關(guān)系的似真推斷。它具有一定的科學(xué)性，又具有很大程度的假定性。數(shù)學(xué)猜測能力具有多種成分，包括想象能力、直覺能力、邏輯思維能力和一定的經(jīng)驗與技巧，需要通過全面的訓(xùn)練才能獲得。具備數(shù)學(xué)猜測能力是獲得數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的重要因素。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，進行數(shù)學(xué)猜測能力的訓(xùn)練，有利于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

《標準》指出，要通過觀察、實驗、歸納、類比等方法使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)猜測，并進一步尋求證據(jù)，給出證明或舉出反例。也就是說，猜測作為數(shù)學(xué)的一項重要思考活動，往往產(chǎn)生于經(jīng)驗、觀察、歸納、類比和聯(lián)想的基礎(chǔ)上。

1．觀察。觀察是一種有目的、有計劃且比較持久的高級知覺形態(tài)。人們認識事物，獲得系統(tǒng)的知識都從觀察開始，觀察能導(dǎo)致發(fā)現(xiàn)。牛頓從樹上掉下蘋果的現(xiàn)象發(fā)現(xiàn)萬有引力定律，瑞利發(fā)現(xiàn)惰性氣體，倫琴發(fā)現(xiàn)X射線等等，這些都離不開觀察。數(shù)學(xué)家歐拉說過：“今天已知許多數(shù)的性質(zhì)，大部分是通過觀察發(fā)現(xiàn)的……只有靠觀察才能獲得這些知識。”在數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)過程中，要對學(xué)習(xí)內(nèi)容進行猜測、驗證、推理與交流，其前提必然是觀察。因此，在教學(xué)實踐中，教師要注意從培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力入手，提高學(xué)生的猜測能力，要求學(xué)生在觀察時做到“四要”：一要認真細致；二要有序有向；三要全面深刻；四要有靜有動。比如，在教學(xué)“圓的周長”時，可先讓學(xué)生在釘子板上圍出三角形、四邊形、平行四邊形、五邊形等，并計算出各種圖形的邊長總和，再讓學(xué)生觀察這些圖形，猜一猜各圖形之間的關(guān)系，再用計算結(jié)果進行驗證。

2．歸納。歸納是指從一般性較小的前提推出一般性較大的結(jié)論，是從特殊到一般的推理。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，如果設(shè)計一些探究思考練習(xí)，訓(xùn)練學(xué)生運用歸納推理的方法，就可以提高學(xué)生的歸納猜想能力。比如，一個任意五邊形，它的內(nèi)角和是多少度?能猜出任意n邊凸多邊形內(nèi)角和的度數(shù)嗎?解決第一個問題需要用轉(zhuǎn)化的方法，把五邊形分割成三個三角形，利用三角形內(nèi)角和是180°來求出五邊形的內(nèi)角和為180°×3=540°。第二個問題則需要舉例，引導(dǎo)學(xué)生歸納：

多邊形邊數(shù) 分成的三角形個數(shù) 多邊形內(nèi)角和度數(shù)

4 2 180°×2

5 3 180°×3

6 4 180°×4

這樣學(xué)生就易于猜測出n邊凸多邊形的內(nèi)角和應(yīng)為180°×（n-2）。

3．類比。類比來源于相似，是從特殊性的前提推出特殊性的結(jié)論，或者從一般性的前提推出一般性的結(jié)論。類比猜測是依據(jù)兩個或兩類對象之間在某些方面的相似或相同，猜測它們在其他方面也可能相似或相同。在分析探索問題的過程中，運用類比，能夠調(diào)動學(xué)生已有的解決相似問題的策略，將新問題納入到已有的“模式”中去，引發(fā)“頓悟”，找到解決問題的方法。比如，“工程問題”中三個數(shù)量的關(guān)系是“工作效率×工作時間=工作總量”，而“行程問題”中的三個數(shù)量也有類似的關(guān)系：速度×?xí)r間=路程。因此，工程問題的解法可以類推到行程問題中去，同時，在小學(xué)數(shù)學(xué)中也存在很多可以類比思考的內(nèi)容，比如，萬以內(nèi)加減法與百以內(nèi)加減法的計算方法相似、乘法的交換律和結(jié)合律與加法的交換律和結(jié)合律的結(jié)構(gòu)相似、比的基本性質(zhì)與分數(shù)基本性質(zhì)的內(nèi)容相似……類比思想促進了知識的遷移，不僅使數(shù)學(xué)知識容易理解，而且使公式的記憶變得自然簡潔，從而發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)能力。

在運用類比進行猜測時要注意：兩類事物的共同屬性越多，共同屬性與推出屬性之間的關(guān)系越密切，得到的結(jié)論的可靠性就越高。所以，運用類比時，應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生盡可能找出兩類事物的共同屬性，再據(jù)此去推測他們未知的共同屬性。

4．聯(lián)想。聯(lián)想是發(fā)散式的思維，是由一事物想到另一事物的心理過程，不同聯(lián)系的事物反映在人腦中，會形成不同的聯(lián)想。蘇聯(lián)教育心理學(xué)家克魯捷茨基認為，數(shù)學(xué)能力就是用數(shù)學(xué)材料去形成概括的、簡縮的、靈活的、可逆的聯(lián)想和聯(lián)想系統(tǒng)的能力。發(fā)展聯(lián)想能力，能使學(xué)生進一步理解數(shù)量關(guān)系，促進思維的靈活性。比如，教學(xué)“梯形面積計算”時，可以引導(dǎo)學(xué)生聯(lián)想已經(jīng)學(xué)過的三角形面積公式的推導(dǎo)方法，讓學(xué)生把梯形轉(zhuǎn)化成已經(jīng)學(xué)過的平行四邊形來計算它的面積，得出梯形面積計算公式。

二、培養(yǎng)小學(xué)生數(shù)學(xué)猜測能力的策略

在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，概念的得出，公式、定理的發(fā)現(xiàn)，規(guī)律的探求，解決問題的方法等，都可以引導(dǎo)學(xué)生進行猜測。教師應(yīng)開發(fā)課程資源，既可以將課本上的概念、公式、例題、習(xí)題等編成需要猜想的探索性題目，又可以將一些規(guī)律探索題進行多種“變形”，為學(xué)生提供猜測的空間，挖掘發(fā)展學(xué)生猜測能力的因素，引導(dǎo)學(xué)生由單一思維向多向思維發(fā)展。

1．積累猜測經(jīng)驗。直覺猜測能力與經(jīng)驗的豐富程度呈正相關(guān)關(guān)系。愛因斯坦認為，“物理學(xué)家的最高使命是要得到那些普遍的定律”，而“要通向這些定律，并沒有邏輯的道路，只有通過那種以經(jīng)驗的共鳴的理解為依據(jù)的直覺，才能得到這些定律”。當代著名科學(xué)家波普爾也認為“科學(xué)奠基于經(jīng)驗之上”，“直覺依賴于過去得到的經(jīng)驗”。所以，要發(fā)展小學(xué)生的數(shù)學(xué)猜測能力，首先應(yīng)該注意學(xué)生數(shù)學(xué)猜測經(jīng)驗的積累，教師在教學(xué)中既要引導(dǎo)學(xué)生運用猜測參與知識建立的過程，又要及時復(fù)習(xí)總結(jié)，優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，為培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)直覺猜測能力打下堅實的基礎(chǔ)。

2．創(chuàng)設(shè)猜測情境。創(chuàng)設(shè)情境，讓學(xué)生感受猜測的魅力。比如，在學(xué)習(xí)“三角形的內(nèi)角和”時，讓學(xué)生利用兩個完全一樣的直角三角形拼成長方形等方法，得出直角三角形的內(nèi)角和為180°，然后及時引導(dǎo)學(xué)生猜測銳角三角形和鈍角三角形的內(nèi)角和度數(shù)。這樣不失時機的創(chuàng)設(shè)情境引導(dǎo)學(xué)生進行猜測，不但可以充分調(diào)動學(xué)生的思維，使其思維處于興奮狀態(tài)，還可使學(xué)生在猜測的過程中逐步勾勒出知識的輪廓，從整體上了解所學(xué)知識的內(nèi)容。

創(chuàng)設(shè)情境首先需要營造民主、平等的教學(xué)氛圍，讓學(xué)生敢于猜測；教師可以在教學(xué)中開展“課外講座”、“學(xué)習(xí)園地”等活動，介紹一些數(shù)學(xué)發(fā)展史或數(shù)學(xué)家進行猜測的故事。比如，認識神奇的數(shù)學(xué)預(yù)言家——拉瑪努賈：了解“費爾馬大定理”；學(xué)習(xí)數(shù)的整除時，介紹“歌德巴赫猜想”的有關(guān)內(nèi)容……這些數(shù)學(xué)歷史知識能夠激發(fā)學(xué)生進行猜測的欲望，鼓舞學(xué)生大膽探索，養(yǎng)成良好的猜測意識和習(xí)慣。

3．提供猜測機會?，F(xiàn)代教學(xué)論認為，從培養(yǎng)學(xué)生探究問題的能力這一角度來說，提出猜測、樹立假設(shè)比驗證結(jié)論更加重要，在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中，使學(xué)生成為知識的發(fā)現(xiàn)者遠比成為知識的接受者重要。傳統(tǒng)教材中的內(nèi)容多為機械的理論表述，沒有留給學(xué)生進行猜測的空間。對其中一些易于在生活中發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)理論，教師應(yīng)深入鉆研，挖掘其中適合進行猜測的內(nèi)容，讓學(xué)生有探索、發(fā)現(xiàn)的機會。

（1）利用教材中已有的素材，改變其陳述方式。比如，學(xué)習(xí)“分與合”時可以設(shè)計猜數(shù)游戲：一個數(shù)是由3和6組成的，它是幾?一個數(shù)可以分成3和3，它是幾?這樣可以引發(fā)學(xué)生猜測的興趣，同時也訓(xùn)練了學(xué)生的逆向思維能力。

（2）將教材中理論化的知識有意識地還原，變成可猜測的內(nèi)容。比如，教學(xué)“有余數(shù)的除法”時，對于余數(shù)能否比除數(shù)大的問題，可以讓學(xué)生猜測。學(xué)生已有對除法的初步認識，知道余數(shù)如果比除數(shù)大，就可以再分一份。學(xué)生運用已有的知識來證明新的理論，遠比教師反復(fù)強調(diào)有效得多。

（3）適當改編教材的呈現(xiàn)方式和順序，拓展猜測的空間。比如，學(xué)習(xí)“乘法的交換律和結(jié)合律”時，一般是通過大量的練習(xí)，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律。這樣雖然有利于學(xué)生分析能力的培養(yǎng)，卻使得他們?nèi)允潜粍拥亟邮苤R。而如果在課堂上直接提出問題：乘法里面有沒有交換律和結(jié)合律?學(xué)生便會立刻產(chǎn)生興趣，開始猜測：如果有，該怎樣證明；如果沒有，兩個乘數(shù)交換位置積沒變又怎樣解釋。在短短一堂課的時間里，不僅完成了教學(xué)內(nèi)容，而且讓學(xué)生擁有了利用數(shù)學(xué)語言清楚地闡明自己觀點的空間，從而大大提高了課堂教學(xué)效果。

4．加強猜測訓(xùn)練。猜測訓(xùn)練應(yīng)從低年級著手。剛?cè)雽W(xué)的兒童好奇心很強，教師要小心呵護、利用這種好奇心，采用多種生動活潑的形式加強猜測訓(xùn)練，比如，猜數(shù)字、猜大小等游戲。引導(dǎo)他們通過猜測去了解知識，使他們漸漸養(yǎng)成愛猜測的習(xí)慣。需要注意的是，剛開始進行猜測訓(xùn)練時，教師可以帶領(lǐng)學(xué)生進行猜測，通過一段時間的訓(xùn)練后，教師必須讓學(xué)生獨立進行猜測，用自己已有的知識和經(jīng)驗對猜測進行論證，從而提高猜測能力，活躍思維，形成創(chuàng)新意識和創(chuàng)造能力。

作者單位

南京師范大學(xué)教育科學(xué)學(xué)院

◇責任編輯：曹文◇