用數(shù)學(xué)建模思想打開學(xué)生思路

在教學(xué)蘇教版第十二冊《圓的周長與面積》這一單元時，教材多次出現(xiàn)了有關(guān)圓與正方形關(guān)系的題目。練習(xí)中我發(fā)現(xiàn)，學(xué)生就題論題，題目稍加變化，就束手無策。我嘗試用數(shù)學(xué)建模的思想來幫助學(xué)生打開思路，收到了意想不到的效果。

【教學(xué)片斷】

師：為了更靈活地掌握圓的面積計算公式，請看下面的一道題，請同學(xué)們小組討論。

1．如圖1，正方形的面積是6平方厘米，圓的面積是多少平方厘米？

師：你能發(fā)現(xiàn)圓與正方形之間的聯(lián)系嗎？

生：我觀察到了正方形的邊長就是圓的半徑，如果正方形的邊長用a來表示，那么a2＝6，也就是說r2＝6。

師：那么，怎樣算出圓的面積呢？

生：我首先求出圓的半徑：6÷2＝3（厘米）3.14×32＝28.26（平方厘米）。

師：到底對不對呢？

學(xué)生討論、交流。

生：不對，因為r2表示兩個r相乘，并不是兩個r相加。所以不可以這樣求解。

師：r2＝6，以我們現(xiàn)在的基礎(chǔ)，求不出r，有沒有其他辦法求出此圓的面積？

生：根據(jù)圓面積公式S＝πr2，可以不求出r，直接把r2＝6代入公式，3.14×6＝18.84（平方厘米）。

師：多么富有創(chuàng)意的想法！我們能否把它提高到一種規(guī)律性的認(rèn)識呢？

生：如果一個正方形，以其中的一個頂點為圓心，以正方形的邊長為半徑的圓的面積＝正方形的面積×3.14。

師：這位同學(xué)語言準(zhǔn)確、簡練！如果在正方形里面畫一個最大的圓，怎樣求圓的面積呢？（出示題2）

2．如圖2，正方形的面積是20平方厘米，在正方形里面畫一個最大的圓，這個圓的面積是多少？

讓學(xué)生先與習(xí)題1比較，再討論交流。

師：能否轉(zhuǎn)化成我們剛才做過的題目。

生：連接圓與正方形的相對的交點。（教師作輔助線）

生：那小正方形的面積是大正方形的面積的 。20× ＝5（平方厘米）；

3.14×5＝15.7（平方厘米）

師：真不錯！如果在圓里面畫一個最大的正方形，已知正方形的面積，那么圓的面積又怎么求呢？請同學(xué)們自主探究這一道題。（出示題3）

3．如圖3，正方形的頂點都在圓上。正方形的面積是10平方厘米，這個圓的面積是多少平方厘米？

師：你是如何轉(zhuǎn)化的？

生：連接正方形的兩條對角線，將正方形分成四個相等的等腰直角三角形。兩個等腰直角三角形可以拼成一個邊長為r的小正方形。（教師作輔助線）

師：如何計算呢？很明顯，小正方形的面積是大正方形的面積的 。

小正方形的面積為10× ＝5（平方厘米），圓的面積為3.14×5＝15.7（平方厘米）

師：反思這兩道題的解題方法，你有什么收獲？

生：我們解題時要學(xué)會聯(lián)想，看能否可以用已學(xué)過方法或規(guī)律來解決。

師：回答得真深刻！其實這位同學(xué)道出了一個重要的解決問題的數(shù)學(xué)思想——數(shù)學(xué)建模。已學(xué)過的規(guī)律或方法就是模型，將遇到的新問題與已學(xué)過的數(shù)學(xué)模型建立聯(lián)系，然后用模型求解，這是一種很好的解決問題策略。

【案例透視與反思】

在習(xí)題1的講解中，教師并不僅僅滿足于得出答案，而是進(jìn)一步挖掘，讓學(xué)生找出此圓與正方形的內(nèi)在聯(lián)系，即建立此問題的數(shù)學(xué)模型。案例中，為了讓數(shù)學(xué)模型得到及時的應(yīng)用和鞏固，又出了兩道變式題。這兩道變式題原本分散在教材與練習(xí)冊中，教師將其集中在一起形成序列進(jìn)行教學(xué)，目的是引導(dǎo)學(xué)生能夠運用一定的數(shù)學(xué)思想來解題，從而提高學(xué)生解決問題的能力，讓學(xué)生不僅知道題目的解法，還能領(lǐng)悟和運用解題時所反映和蘊含的數(shù)學(xué)建模思想。

一、 數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)訓(xùn)練的應(yīng)有之義

受應(yīng)試教育的影響，數(shù)學(xué)教育存在重記憶輕理解、重知識輕方法、重理論輕應(yīng)用的問題，學(xué)生進(jìn)行大量機(jī)械重復(fù)的練習(xí)，以期望達(dá)到“熟能生巧”的境界。而事實上學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力沒有多大的提高。機(jī)械的訓(xùn)練之所以未達(dá)到提高數(shù)學(xué)能力這一目標(biāo)，是因為訓(xùn)練中缺乏建模數(shù)學(xué)思想方法的滲透。研究表明，數(shù)學(xué)訓(xùn)練可以分為三個層次。第一層是“知識堆積”與“解題術(shù)”式的。它看的見，摸得著，易操作，易復(fù)制，但功能性弱，應(yīng)用面窄。第二層是“思維方法”和“解題方法”式的。它與前一層比，程序性弱，不易復(fù)制，但功能性更強，應(yīng)用面寬。第三層是“數(shù)學(xué)思想”與“數(shù)學(xué)觀念”式的。它雖然抽象，程序性更弱，但功能性強，它是對其他兩個層次的指導(dǎo)和引領(lǐng)。所以，在數(shù)學(xué)教學(xué)中要科學(xué)地、有層次地設(shè)計練習(xí)，讓提煉數(shù)學(xué)思想方法，構(gòu)建數(shù)學(xué)模型成為習(xí)題訓(xùn)練的應(yīng)有之義。

二、 習(xí)題訓(xùn)練中如何引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)建模

用數(shù)學(xué)模型解決問題，最關(guān)鍵的一步是建立適合問題的數(shù)學(xué)模型，簡稱數(shù)學(xué)建模。下面結(jié)合本案例，談?wù)剶?shù)學(xué)建模的方法與步驟。第一步，弄清實際問題。包括了解問題的實際背景知識，從中提取有關(guān)的信息，明確要達(dá)到的目的。在解決習(xí)題2之前，學(xué)生已有了有關(guān)圓與正方形的方法模型，具有了讓學(xué)生知識遷移的基礎(chǔ)。第二步，根據(jù)問題的特點和目的，作出某些合理的假設(shè)，舍棄一些次要因素，從而使問題得以化簡。習(xí)題2也是正方形與圓的關(guān)系，不過是圓與正方形的位置有了變化。根據(jù)問題的特點，我們猜想與嘗試這題能否轉(zhuǎn)化為第一題的模型。第三步，建模。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，抓住主要因素和有關(guān)量之間的關(guān)系進(jìn)行抽象概括，建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。學(xué)生通過嘗試作輔助線，結(jié)果轉(zhuǎn)化成了習(xí)題1所建構(gòu)的模型。第四步，在所建模型的基礎(chǔ)上進(jìn)行推理或演算，求出問題的結(jié)果。學(xué)生通過題目中正方形與模型中的正方形的關(guān)系很快地求出了答案。在學(xué)生做第三題時，由扶到放，讓學(xué)生自主探究，學(xué)生很快地完成了建模，水到渠成地解決了問題。縱觀整個教學(xué)過程，模型方法的滲透做到了有步驟、有計劃的層層鋪墊與孕育，使學(xué)生經(jīng)歷了對問題進(jìn)行抽象——建立數(shù)學(xué)模型——利用模型原理——應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的全過程。

三、 數(shù)學(xué)建模是一個有序推進(jìn)、不斷深化的過程

我們必須認(rèn)識到，學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)建模方法需要經(jīng)歷一個長期的、不斷積累經(jīng)驗、不斷深化的過程。需要教師在數(shù)學(xué)教學(xué)的實踐中結(jié)合數(shù)學(xué)知識的教學(xué)反復(fù)滲透建模方法，讓學(xué)生親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，重視數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，引導(dǎo)學(xué)生用數(shù)學(xué)模型來描述身邊的自然現(xiàn)象和社會現(xiàn)象。當(dāng)然，要使學(xué)生能靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)建模的方法解決問題，不可能通過一節(jié)課或一兩個例題的講述就能完成，需要教師有計劃、有步驟的分步實施，才能收到水到渠成的效果。

責(zé)任編輯：陳國慶

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