概率知識(shí)教學(xué)問(wèn)答

問(wèn)：小學(xué)階段為什么要教學(xué)概率知識(shí)?

答：概率論是研究大量偶然現(xiàn)象中必然規(guī)律的一種理論。統(tǒng)計(jì)學(xué)吸收了概率論的理論，形成了以概率論為基礎(chǔ)的現(xiàn)代統(tǒng)計(jì)學(xué)，稱為概率統(tǒng)計(jì)。概率統(tǒng)計(jì)的重點(diǎn)是了解大量隨機(jī)現(xiàn)象的總體變化趨勢(shì)，從而得出隨機(jī)現(xiàn)象的統(tǒng)計(jì)規(guī)律，進(jìn)而可以獲得社會(huì)發(fā)展或科學(xué)發(fā)現(xiàn)的統(tǒng)計(jì)性預(yù)期。概率統(tǒng)計(jì)在各個(gè)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用，概率現(xiàn)象隨時(shí)可見(jiàn)，故有數(shù)學(xué)家夸張地稱：“概率與上帝同在，無(wú)處無(wú)時(shí)不在?！彪S著概率統(tǒng)計(jì)在各個(gè)領(lǐng)域越來(lái)越廣泛地應(yīng)用，作為21世紀(jì)的公民來(lái)說(shuō)，掌握一些概率和統(tǒng)計(jì)的知識(shí)是完全必要的?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在小學(xué)階段補(bǔ)充了簡(jiǎn)單的概率知識(shí)，并將統(tǒng)計(jì)和概率作為一個(gè)獨(dú)立的內(nèi)容來(lái)進(jìn)行教學(xué)，這樣的安排正是順應(yīng)了社會(huì)發(fā)展的需要。

問(wèn)：小學(xué)階段概率知識(shí)教學(xué)涉及哪些內(nèi)容?要達(dá)到什么要求?

答：按蘇教版教材的編排體系來(lái)看，小學(xué)階段在二年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“可能性”，是讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)某些事件發(fā)生的不確定性，知道有些事情一定會(huì)發(fā)生，有些事情不一定會(huì)發(fā)生，有些事情一定不會(huì)發(fā)生，初步學(xué)會(huì)用“一定”、“可能”、“不可能”等詞語(yǔ)來(lái)解釋生活中的現(xiàn)象。在三年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“等可能性”和“可能性大小”，使學(xué)生知道隨機(jī)事件發(fā)生的可能性有大有小，也可能相等，能判斷簡(jiǎn)單事件發(fā)生的可能性，并會(huì)用“經(jīng)?！?、“偶爾”、“差不多”等詞語(yǔ)來(lái)描述一些事件發(fā)生的可能性大小。在四年級(jí)上冊(cè)教學(xué)“游戲規(guī)則的公平性”，使學(xué)生通過(guò)進(jìn)一步體驗(yàn)事件發(fā)生的等可能性來(lái)辨別簡(jiǎn)單游戲規(guī)則的公平性，并能按“等可能性”的原理來(lái)設(shè)計(jì)和修改簡(jiǎn)單的游戲規(guī)則?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》明確提出了“應(yīng)注重對(duì)不確定性和可能性的直觀感受”與“應(yīng)注重對(duì)可能性的體驗(yàn)”的要求，所以在教學(xué)中應(yīng)注重對(duì)不確定性和可能性的體驗(yàn)與感受。

問(wèn)：什么叫隨機(jī)現(xiàn)象?隨機(jī)現(xiàn)象有什么特點(diǎn)?

答：現(xiàn)實(shí)世界的自然現(xiàn)象和社會(huì)現(xiàn)象，可以分成兩類。一類是有著明確的因果關(guān)系，即在一定條件下必然發(fā)生或必然不發(fā)生的現(xiàn)象，稱為確定性現(xiàn)象。例如，小學(xué)數(shù)學(xué)所教學(xué)的“一定”、“不可能”就是指這種確定性現(xiàn)象。從嚴(yán)格的意義上來(lái)說(shuō)，確定性現(xiàn)象不屬于概率的范疇。另一類因果關(guān)系不明顯或根本沒(méi)有什么因果關(guān)系，即在一定條件下可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，具有多種可能發(fā)生結(jié)果的現(xiàn)象。這類現(xiàn)象可能發(fā)生什么結(jié)果是事先無(wú)法確切預(yù)測(cè)的，是“隨機(jī)而遇”的，因而成為隨機(jī)現(xiàn)象。小學(xué)數(shù)學(xué)所教學(xué)的“可能性大小”和“等可能性”現(xiàn)象以及“游戲規(guī)則的公平性”，研究的就是這些隨機(jī)現(xiàn)象。隨機(jī)現(xiàn)象有兩個(gè)特點(diǎn)：一是有偶然性的一面，在一次實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)中，某現(xiàn)象可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，即結(jié)果呈現(xiàn)不確定性；二是又有其必然性的一面，在大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)或觀測(cè)中，其結(jié)果會(huì)呈現(xiàn)某種規(guī)律，即具有統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。概率論就是研究和揭示隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律性的一門數(shù)學(xué)學(xué)科。小學(xué)數(shù)學(xué)所教學(xué)的“可能性大小”和“等可能性”現(xiàn)象，就是通過(guò)大量重復(fù)的實(shí)驗(yàn)與觀測(cè)，用統(tǒng)計(jì)的方法來(lái)揭示某種事件發(fā)生的規(guī)律性。

問(wèn)：什么是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)?隨機(jī)實(shí)驗(yàn)有哪些特點(diǎn)?

答：所謂隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，就是對(duì)隨機(jī)現(xiàn)象進(jìn)行的觀測(cè)或?qū)嶒?yàn)。小學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的“拋硬幣”、“擲骰子”和“摸彩球”等游戲活動(dòng)，都是典型的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。隨機(jī)實(shí)驗(yàn)具有三個(gè)特點(diǎn)：(1)實(shí)驗(yàn)可以在相同的條件下大量重復(fù)進(jìn)行；(2)每次實(shí)驗(yàn)的可能性結(jié)果不止一個(gè)，且在實(shí)驗(yàn)之前已知實(shí)驗(yàn)的所有可能性結(jié)果；(3)在每次實(shí)驗(yàn)之前，無(wú)法斷言哪一個(gè)結(jié)果會(huì)出現(xiàn)，但若進(jìn)行大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的話，其可能結(jié)果出現(xiàn)又有一定的統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。例如，小學(xué)數(shù)學(xué)教材中出現(xiàn)的“拋硬幣”、“擲骰子”和“摸彩球”等游戲活動(dòng)，就是具有這樣三個(gè)特點(diǎn)的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)。例如“擲骰子”的游戲，“擲骰子”可以在相同條件下大量重復(fù)地?cái)S，每次擲出的結(jié)果有6種可能，這6種可能在實(shí)驗(yàn)之前是已知的，雖然每次擲出的結(jié)果無(wú)法肯定，但若進(jìn)行大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)的話，每個(gè)數(shù)字都有可能出現(xiàn)，且出現(xiàn)的概率都是1/6。

問(wèn)：組織“摸彩球”、“擲骰子”和“拋硬幣”等游戲活動(dòng)有哪些要求?

答：小學(xué)數(shù)學(xué)教材中安排的“拋硬幣”、“擲骰子”和“摸彩球”等游戲活動(dòng)都是隨機(jī)實(shí)驗(yàn)，隨機(jī)實(shí)驗(yàn)必須符合以下要求：(1)用于隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的材料必須是同質(zhì)、勻質(zhì)的，即質(zhì)地均勻，輕重大小完全一樣。例如，“摸彩球”游戲中的彩球必須是除顏色不同以外，其余大小、形狀、輕重等完全相同的同質(zhì)、勻質(zhì)球?！坝矌拧币部梢钥醋鍪欠蠈?shí)驗(yàn)要求的材料。(2)每次實(shí)驗(yàn)的條件必須是相同的。如在“摸彩球”游戲中，為了保證每人摸球時(shí)的實(shí)驗(yàn)條件相同，所以每次摸球活動(dòng)結(jié)束后，必須將球攪合。叉例如在“拋硬幣”游戲中，拋硬幣時(shí)每次上拋的高度應(yīng)該盡可能相同，并且落在同一平面上。(3)必須保證每次實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性。為了保證每次實(shí)驗(yàn)的隨機(jī)性，可以提出一些實(shí)驗(yàn)要求。例如：在做“拋硬幣”游戲時(shí)，拋出的硬幣要有一定的高度；做“擲骰子”游戲時(shí)，擲出的骰子要滾出一定的距離；做“摸彩球”游戲時(shí)，必須將球裝入看不見(jiàn)的布袋中或摸球人必須閉上眼睛，每次摸球活動(dòng)結(jié)束后，必須將球攪合……只有符合了隨機(jī)實(shí)驗(yàn)的要求，才能使隨機(jī)實(shí)驗(yàn)具有科學(xué)性，使學(xué)生在活動(dòng)中較好地認(rèn)識(shí)隨機(jī)現(xiàn)象，感受和理解初步的概率知識(shí)。

問(wèn)：在教學(xué)“等可能性”的“摸彩球”游戲中，是不是“摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越接近”?

答：在教學(xué)小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)“統(tǒng)計(jì)與可能性”的“等可能性”內(nèi)容時(shí)，教材是這樣安排的：讓學(xué)生按小組從裝有三個(gè)紅球和三個(gè)白球的口袋中任意摸一個(gè)球，一共摸40次，并將結(jié)果記錄下來(lái)，觀察數(shù)據(jù)后學(xué)生回答發(fā)現(xiàn)了什么。對(duì)于教材這樣的內(nèi)容安排，有一些教師認(rèn)為：只要多安排幾次摸球活動(dòng)，學(xué)生就能在摸球活動(dòng)中得出“摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越接近”的結(jié)論，進(jìn)而得出“摸到紅球和黃球的可能性相等”的結(jié)論。這種認(rèn)識(shí)對(duì)不對(duì)呢?要回答這個(gè)問(wèn)題，不妨借助與“摸彩球”游戲性質(zhì)完全相同(都是隨機(jī)試驗(yàn))的“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)來(lái)說(shuō)明問(wèn)題。下面是蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的一段知識(shí)介紹，介紹五位著名學(xué)者親自做拋硬幣試驗(yàn)后得到的數(shù)據(jù)。(見(jiàn)表一)

從表一中的數(shù)據(jù)可以知道，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，其相差數(shù)越來(lái)越大，而不是越來(lái)越接近。(分析下面表二中的數(shù)據(jù)也可以得出同樣的結(jié)論)從相差數(shù)的數(shù)據(jù)來(lái)看，是不可能得到“摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越接近”這個(gè)結(jié)論的。所以在教學(xué)“等可能性”的“摸彩球”游戲中，“摸的次數(shù)越多，摸到紅球和黃球的次數(shù)就越接近”這個(gè)結(jié)論是錯(cuò)誤的，因而也無(wú)法從中得出“摸到紅球和黃球的可能性相等”的結(jié)論。

問(wèn)：什么叫概率?概率與頻率有什么不同?

答：按照概率理論，設(shè)隨機(jī)事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生了n_A次，則稱n_A是d在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻數(shù)，稱比值n_A/A為在這n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率，記作f(A)=n_A/n。下面借助“拋硬幣”實(shí)驗(yàn)所采集的數(shù)據(jù)(見(jiàn)表二)，來(lái)說(shuō)明什么叫概率。

從表中數(shù)據(jù)可以看出：(1)對(duì)于事件A，即使試驗(yàn)次數(shù)n相同，事件A在n次試驗(yàn)中發(fā)生的頻率也會(huì)波動(dòng)。(教材中，學(xué)生摸球活動(dòng)的結(jié)果與此結(jié)論相同)(2)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n較小時(shí)(入20次)，對(duì)于不同的試驗(yàn)輪次，頻率波動(dòng)的幅度往往較大，而隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增加，對(duì)不同的試驗(yàn)輪次，A發(fā)生的頻率的隨機(jī)波動(dòng)性有逐漸減少的趨勢(shì)，呈現(xiàn)一定的穩(wěn)定性。即當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n逐漸增大時(shí)(如2000次)f(A)越來(lái)越接近0.5，此時(shí)才可以說(shuō)，在拋硬幣時(shí)，正面朝上和反面朝上的可能性相等。(教材中，摸彩球活動(dòng)的道理與此完全相同)(3)當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)n趨于無(wú)窮大時(shí)，頻率將趨于一個(gè)穩(wěn)定的值，這個(gè)穩(wěn)定的值就是頻率的波動(dòng)中心，可將這個(gè)穩(wěn)定值看做事件A發(fā)生的概率，即拋硬幣時(shí)正面朝上和反面朝上的概率都是1/2。(教材中摸到紅球和黃球的概率也都是1/2)由上述說(shuō)明可以看出，概率與頻率是兩個(gè)有著密切聯(lián)系但不完全相同的概念。

問(wèn)：如何理解“小概率事件”和“不可能事件”?

答：所謂“小概率事件”，是指發(fā)生可能性非常小的事件。例如，某人買彩票中了500萬(wàn)特等獎(jiǎng)、某人因發(fā)生車禍而受傷等都是小概率事件。所謂“不可能事件”，是指完全不可能發(fā)生的，即概率為零的事件。例如，太陽(yáng)從西方升起、地SiC-止轉(zhuǎn)動(dòng)等都是不可能事件。小概率事件不等于不可能事件。從理論上說(shuō)，對(duì)于某一個(gè)小概率事件，在有限次的觀察和實(shí)驗(yàn)中，它可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，但在無(wú)限次的觀察與實(shí)驗(yàn)中，它一定會(huì)發(fā)生，這就是小概率事件發(fā)生的不確定性和必然性。例如，從裝有9個(gè)黃球和1個(gè)白球的盒子中摸出白球，這是一個(gè)概率比較小的事件，而連續(xù)6次從盒子中摸出白球的概率更小，因而成為“不太可能發(fā)生的事件”。然而有雜志介紹，有位教師在上課時(shí)竟然碰上了，“小概率事件”就這樣“幸運(yùn)”地降臨到他的頭上。這并不奇怪，“小概率事件”雖然是發(fā)生可能性非常小的事件，但它還是有可能發(fā)生的。