構(gòu)造法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

關(guān)鍵詞：質(zhì)疑；教學(xué)；思維

中圖分類號：G633.6文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B

文章編號：1009-010X（2007）08-0057-02

構(gòu)造法是數(shù)學(xué)上的一種基本方法，在解題中通過對條件和結(jié)論的充分剖析，聯(lián)想出一種適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型，從而使問題巧妙地得到解決，從而避免繁雜的運算或復(fù)雜的證明。本文介紹一些構(gòu)造的方法，以資參考。

一、構(gòu)造方程

構(gòu)造方程就是構(gòu)造一些特殊的方程，如一元二次方程，由于一元二次方程有著豐富的內(nèi)容，易將一些“相等關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“不等關(guān)系”，“不等關(guān)系”轉(zhuǎn)化為“相等關(guān)系”。

分析：由a+b+c=1得a+b=1-c，由a2+b2+c2=1得ab=c2-c，由a+b，ab聯(lián)想到一元二次方程的韋達(dá)定理，從而構(gòu)造方程。

解略。

二、構(gòu)造函數(shù)

通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)來解題。

例2：設(shè)0＜x＜1，0＜y＜1，0＜z＜1，

求證： x（1-y）+y（1-z）+z（1-x）＜1。

分析：在不等式的結(jié)構(gòu)中存在三個變量，選取一個主元素則得到一個一元一次函數(shù)。

三、構(gòu)造圖形

構(gòu)造圖形可使抽象問題直觀、形象，從而得到簡捷的解法， 構(gòu)造圖形包括構(gòu)造平面圖形和空間圖形。

分析：直接用代數(shù)方法證明相當(dāng)麻煩，

根據(jù)結(jié)構(gòu)聯(lián)想勾股定理構(gòu)造幾何圖形。

解：作單位正方形OPQR，令OA=a，OB=b

四、構(gòu)造向量

分析：若用常規(guī)方法證此不等式，不易證出。聯(lián)想兩個向量的數(shù)量積，問題很易證出。

五、構(gòu)造復(fù)數(shù)

由于復(fù)數(shù)自身的優(yōu)越條件，聯(lián)想到復(fù)數(shù)的概念及性質(zhì)，構(gòu)造復(fù)數(shù)模型，可使問題另辟蹊徑。

例5：已知ak、bk（k=1、2、3）是實數(shù)，

解略。

六、構(gòu)造直線的斜率和截距

運算量較大，聯(lián)想構(gòu)造斜率公式，則很容易求解。

解略。

七、構(gòu)造兩點間的距離

八、構(gòu)造原型

運用原型構(gòu)造方法的關(guān)鍵是構(gòu)造合適的原型. 這種原型可以是具體的實際事例，即現(xiàn)實的實際原型；也可以是抽象的事物，如集合與元素問題等；也可借用已知的數(shù)學(xué)模型，如各種概念、圖形、方程、函數(shù)、公式、表格、典型問題的典型解法等。

利用構(gòu)造法解數(shù)學(xué)問題，關(guān)鍵在于根據(jù)題設(shè)條件、結(jié)構(gòu)思想或適當(dāng)變形，聯(lián)想構(gòu)造，很大程度上培養(yǎng)了學(xué)生的知識遷移能力，了解了轉(zhuǎn)化與化歸數(shù)學(xué)思想的深邃，在教學(xué)中，一定多加強(qiáng)這方面的練習(xí)。

【責(zé)任編輯：姜華】

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