數學分析教學應注意的幾點問題

摘要：成功的教學能收到事半功倍的效果；本文針對數學分析教學應注意的問題提出幾點建議。

關鍵詞：數學分析教學；數學思想方法；微積分發(fā)展史；數學美

收稿日期：2006—12—15

作者簡介：趙淑波(1975—)，女，漢族，安達人，碩士研究生，講師，主要研究方向泛涵分析和高等教育。

一、數學分析教學是滲透數學思想方法的教學

“沒有思想的數學等于廢了武功。”張奠宙在一篇文章中指出：“微積分教學應該怎樣做呢？揭示數學的思想當然是第一位。”可見讓更多的人知道和掌握數學分析的思想方法，成為當代數學分析教學的首要任務。數學思想與方法是統一的、不可分割的一個整體，統稱為數學思想方法。數學分析的內容蘊涵豐富的數學思想方法。所謂數學分析思想方法是對數學分析所研究對象的統一的、本質的認識。數學分析的思想方法，一方面指數學分析自身的論證、運算以及應用的手段，另一方面還包括數學分析概念、理論、方法的產生及發(fā)展規(guī)律。學習基本的數學分析思想方法是形成和發(fā)展數學分析能力的基礎。

在數學分析的教學中，我們習慣于按照定義——定理——推論——習題的邏輯順序展開，學生只是被動地接受一個一個概念，卻不知道為什么要這樣做。優(yōu)秀的學生要到后來才恍然大悟。一般的學生只能囫圇吞棗，不知所云。這充分說明了我們對于隱含在知識背后的思想方法的教學價值未能高度重視，也就是我們對數學思想方法的地位認識不夠造成的。

實際上，數學思想方法在科學研究中具有舉足輕重的地位和作用。在數學分析這樣一門大學數學專業(yè)中的主干基礎課中，要培養(yǎng)學生的數學意識，發(fā)展學生的數學思想，為該專業(yè)的研究和發(fā)展提供必要的數學思想方法和工具。從這個意義上講，就有必要把數學思想方法作為重要的教學內容落實到數學分析教學的全過程之中。要通過教師堅持不懈地、有意識地、有目的啟發(fā)誘導及反復滲透，進而使學生通過自己的思維活動去理解它、領悟它、掌握它。

在數學分析的教學中可以適時地滲透數學思想方法。可以在講解新課中指出，也可以在復習舊知識中強調。數學分析的思想處處可以挖掘，比如數學分析的研究對象——函數，其概念本身則是以“靜”刻劃“動”，以“定”描述“變”：一個數x，唯一的一個數y均是定值，但是，此是定義域中的任一個值，這就變了，動了，因而對應的也隨之而變了、動了。數學分析的研究工具——極限的“ε-δ”定義：給定ε＞0，則此ε是定的，但此ε是任意給定的，這即是變了。當然，相應的δ也隨之而變。微積分的核心概念——導數與積分，是用極限定義的，固然也是“變量的靜態(tài)理論”的范疇內的了。此理論的思想早在我國古代與古希臘就有了，如我國古代名家惠施的“飛鳥之影未嘗動也”，古希臘之諾的“飛箭不動說”，就是例證。還比如：極限思想方法貫穿于數學分析學習的始終，它向我們呈現出從有限過程中研究無限過程的對立統一的思維方法。再比如，各種類型的積分的計算，實質上是數學中的化歸思想，即對復雜的積分的計算通過變換轉化為基本的積分進行計算。這些重要的理論思想都可以融于教學之中適時地以知識為載體向學生傳播。當然開展數學思想方法的教學可能有一些困難，比如，時間緊，教學內容多，學生不易接受。但重在教師有意識的點撥與滲透。

知識的記憶是短暫的，方法和思想的掌握是長遠的。知識使學生受益于一時，可方法和思想使學生受益于終生。真所謂“劍招可以生疏，劍法不能忘記”。

二、數學分析的教學是伴隨傳播微積分發(fā)展史的教學，微積分學是數學分析的核心，所以搞好數學分析的教學也就是抓好微積分的教學

談起微積分學，給人的印象是干巴巴的。概念、定理、公式，記憶再記憶;例題、習題、考題，練習再練習。其實，我們恰恰忽略了一個重要的問題，那就是微積分學是人做出來的，必然有人的思想、情緒、感覺、文化、歷史傳統在起作用。如果看不到這一點的話，光彩照人的數學分析呈現給我們的只是一副骨架。那么如何使這些“枯燥”的知識富有活氣呢？微積分學發(fā)展史的傳授正是給骨架賦予肉體，讓它擁有活氣。牛頓——人類經典物理學大師，他的名言、煮手表的故事如果出現在教學中，我想你的學生肯定不會困倦了，取而代之的是振奮。同時學生們一定會對如何做學問、做人有所感悟，雖然可能對有些同學的影響是短暫的，但我們可以堅持不懈地滲透，所謂近朱者赤，近墨者黑也。

講授發(fā)展史能使學生了解過去，是為了創(chuàng)造、把握未來，知其然，知其所以然。領略到微積分的產生是數學上的偉大創(chuàng)造，它從生產技術和理論科學的需要中產生，又反過來廣泛影響著生產技術和科學的發(fā)展。眾所周知的積分概念是由求某些面積、體積和弧長引起的，微分是聯系到對曲線作切線的問題和函數的極大值、極小值問題而產生的。導數概念被用在經濟管理方面，產生了兩個極為有用的量：邊際函數和彈性，給科學增添了豐富內涵。諸如此類知識的教學引入會使學生們體會到微積分就在我們的身邊，它不再抽象、孤立和遙不可及。

同樣微積分發(fā)展史的教學可以引導學生不僅看到簡單到復雜，而且從中聽到人類文明的腳步聲，從過去走到今天，從低級走向高級，從有限走向無限。

讓我們領略一下中國古代數學對微積分創(chuàng)立的貢獻，更能激發(fā)我們的民族自豪感。在微積分產生三個階段中的前兩階段——極限概念和求積的無限小方法，中國毫不遜色于西方。微積分思想在古代中國早有萌芽，甚至是古希臘數學不能比擬的。公元前7世紀莊子哲學中就有無限不可分和極限的思想，公元前3世紀《墨經》中有了有窮、無窮、無限小、無窮大的定義和極限、瞬時等概念。劉徽公元263年首創(chuàng)的“割圓術”求圓的面積和方錐的體積，它的極限思想和無窮小方法，是世界古代極限思想的深刻體現。還有很多很多的故事都可以有步驟地進入到學生的腦中，了解這些文化知識非但不能耽誤我們學生的學習，反而能給學生的學習增加源動力。“砍柴不計磨刀功”。這些數學史的教育可以改變他們對數學分析的態(tài)度，使數學分析成為他們的知己和好朋友，受用一生。數學史的傳授可以在課堂中，也可以開專題講座。我在上大學時我的老師就是這樣做的，給我們講了很多數學家的逸事，使我對數學分析有了更深的理解，因而現在我把這種思想傳給我的學生。

三、數學分析的教學是洋溢著數學美的教學，在教學中向學生展示微積分的美，師生共賞數學之美對提高教學質量將是十分有效的

學生們只有認為它是美的，看到它的光環(huán)所在，才能喜愛它。正如愛一件物品一樣，你認為它是美的才喜愛它，對它有興趣，而興趣是最好的老師。正如林群院士在兩會期間就科技創(chuàng)新問題接受記者采訪時說：“科學創(chuàng)新的必要條件之一是科學家的興趣。”“指引科學家產生大興趣還是小興趣，是從全局考慮還是從細節(jié)考慮，是非常重要的。”基于興趣的重要性，就必須使學生看到數學分析的美。

其實數學的美無處不在，數字美，“一去二三里，煙村四五家，亭臺六七座，八九十枝花。”數學公式美，數學思想美，數學語言美。1976年，英國一位著名數學家在就任倫敦數學會主席演講時說：數學的目的，就是用簡單而基本的詞匯去盡可能多地解釋世界。如果我們積累起來的經驗要一代一代傳下去的話，我們就必須不斷地努力把它們加以簡化和統一。過去曾經使成年人感到困惑的問題，在今后的年代里，連孩子們都能容易地理解。這充分體現了數學語言的魅力所在。再看看數學分析的極限，體現了意境美。極限是一個無限的過程，描寫極限的文化很多。莊周所著的《莊子》一書中的《天下篇》中，寫道“一尺之棰，日取其半，萬世不竭。”三國時期的劉徽在他的《割圓術》中提出“割之彌細，所失彌少，割之又割以至于不可割，則與圓合體而無所失矣。”這些都是反映極限思想的佳作。唐代大詩人李白的詩句“孤帆遠影碧空盡，唯見長江天際流。”遠望那逐漸消逝在碧色天邊的孤獨的帆影，只有不盡的滾滾長江向東流去。一個“不盡”惟妙惟肖地描寫了極限的動態(tài)過程。抽象的極限在這里具體生動起來，極限的動態(tài)美也使人真正的體會到了。還有詩句“飛流直下三千尺，疑是銀河落九天”等。

無界也是相對來說比較抽象的概念，可詩句“春色滿園關不住，一枝紅杏出墻來”，生動且貼切地描述了無界變化的狀態(tài)，無論園子多大，紅杏都會出墻，至少有一枝。“四海無閑田，農夫猶餓死”，不管地種得多么多，至少還有一個農夫被餓死。數學分析的和諧、統一美需要細細體會。牛頓——萊布尼茨公式，baf(x)dx=F(b)-F(a)，其中f(x)定義［a，b］在上，F(x)是f(x)的一個原函數，也稱為微積分的基本定理。將表面上看起來毫無關系的微分和積分之間建起了一座橋梁，將積分的問題轉化為求導的逆運算，巧妙地將對立的微分和積分統一起來，可謂“一橋飛架南北，天塹變通途”。數學分析中的微分中值定理，f(b)-f(a)=f′(ζ)(b-a)是一個連接局部性質和整體性質的橋梁。這個定理的左邊是整體性的，由區(qū)間［a，b］的端點所決定，右邊則是局部性的，由區(qū)間［a，b］內某點處的導數（局部性）所決定。每一個學習微積分的人，如果不能欣賞這樣的美，等于進了寶山之后卻空手而歸。數學分析的美還不只于此。課堂上如果能使學生體味到美的感覺，我想他們肯定不會倦怠，甚至是睡覺或逃課。

參考文獻：

〔1〕張奠宙.微積分教學.從冰冷的美麗到火熱的思考.高等教學研究，2006.2.