例談二面角的求法

關(guān)鍵詞：立體幾何；高考；二面角的平面角

中圖分類(lèi)號(hào)：G633.63文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：B

文章編號(hào)：1009-010X（2007）08-0058-02

求二面角是立體幾何中的重點(diǎn)和難點(diǎn)問(wèn)題，也是歷年高考的熱點(diǎn)。有關(guān)二面角的問(wèn)題在高考客觀題與主觀題中經(jīng)常出現(xiàn)，客觀題中一般有2~3道小題，通常是對(duì)定理、定義理解的考查，屬于中等或較易的題；主觀題中一般有1道大題，通常是先證明再計(jì)算，常以多層次設(shè)問(wèn)的方式出現(xiàn)，其中對(duì)二面角的理解和計(jì)算常常成為立體幾何試題的難點(diǎn)和重點(diǎn)，為此，正確理解二面角的概念，掌握求二面角的一般方法尤為重要，下面通過(guò)對(duì)具體問(wèn)題的分析，探討解決有關(guān)求二面角的思路和方法。

一、已給圖形中，二面角的棱給出情況下二面角的求法（又叫“有棱二面角的求法”）

首先，對(duì)二面角概念的正確理解是解決問(wèn)題的關(guān)鍵。一般求有棱二面角時(shí)，應(yīng)首先認(rèn)真審題、看圖，如果圖中已經(jīng)存在二面角的平面角，則證明該角是二面角的平面角，再求值即可，不能急著去作輔助線。如果圖中不存在合適的二面角的平面角，再作輔助線（或輔助面）。作輔助線（或輔助面）時(shí)，應(yīng)考慮作出來(lái)的二面角的平面角易證明、易求值，這是問(wèn)題能否被解決的關(guān)鍵，不能盲目的作輔助線。作輔助線時(shí)可從定義出發(fā)，即利用二面角的定義，在二面角的棱上取一點(diǎn)，過(guò)該點(diǎn)在兩個(gè)半平面內(nèi)作垂直于棱的射線，兩射線所組成的角就是二面角的平面角。當(dāng)從定義出發(fā)求二面角困難的情況下，可以利用“三垂線法”或“垂面法”將求二面角的問(wèn)題化歸為其他與二面角有關(guān)聯(lián)的角使問(wèn)題得以解決，其中“三垂線法”是利用三垂線定理及其逆定理，通過(guò)證明線線垂直，找到二面角的平面角，此法的關(guān)鍵在于找面的垂線；“垂面法”是作一與棱垂直的平面，該垂面與二面角的兩個(gè)半平面相交，得到兩條交線，交線所成的角為二面角的平面角。

例1．如圖1，四棱錐P—ABCD的底面

是邊長(zhǎng)為a的正方形，PB垂直于面ABCD，

證明無(wú)論四棱錐的高的長(zhǎng)度怎么變化，面

PAD與面PCD所成的角恒大于90°。

分析：因?yàn)椤鱌CD≌△PAD，所以過(guò)

A、C作PD邊上的高，垂足應(yīng)重合為Ｅ，依照二面角平面角的定義，則∠AEC為二面角的平面角。

證法一：（利用定義法）

如圖2所示，過(guò)點(diǎn)A在PDA平面內(nèi)

作AE⊥PD于E點(diǎn)，連接CE，AC與BD

相交于點(diǎn)O。

證法二：（三垂線法）

點(diǎn)撥：此法關(guān)鍵是構(gòu)造所求二面角的補(bǔ)角。

證法三：（利用垂面法找平面角）證略。

在這里需要說(shuō)明的是，作二面角的平面角用這三種方法有兩個(gè)共性，那就是（1）每種證法都需要分三步：一作、二證、三求。在高考評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)中，此類(lèi)題的評(píng)分分兩大部分，作、證合計(jì)占一半分，求值占一半分，且求值不能少中間過(guò)程。（2）二面角的平面角是兩條射線所成的角，它的范圍是[0°，180°]，而我們通常在處理面面相交時(shí)，交線是直線，線線角為所求二面角或它的補(bǔ)角，要審清題。

一般來(lái)說(shuō)，作二面角的平面角時(shí)，三垂線法最常用。

二、當(dāng)已給圖形中，二面角的棱未給出情況下二面角的求法（又叫“無(wú)棱二面角的求法”）

在所給圖形中，沒(méi)有出現(xiàn)公共棱的二面角稱為無(wú)棱二面角。求其大小的思路是想辦法找出二面角的公共棱，將無(wú)棱二面角的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為有棱二面角的問(wèn)題，再求解。轉(zhuǎn)化的方法，歸納起來(lái)有以下四種：

1.兩點(diǎn)法：即根據(jù)兩點(diǎn)確定一條直線，找到所求二面角的棱，然后作出二面角的平面角。

2.平行線法：其理論依據(jù)是直線與平面平行的性質(zhì)。具體做法是：在二面角的一個(gè)面內(nèi)作（找）一直線與另一平面平行，則過(guò)二面角兩面的公共點(diǎn)且與該直線平行的直線就是所求二面角的棱。

3.垂面法：其理論依據(jù)是如果兩相交平面都與第三個(gè)平面垂直，那么它們的交線必與第三個(gè)平面垂直。據(jù)此，如果圖形中能做出一個(gè)平面與無(wú)棱二面角的兩個(gè)面都垂直，那么該平面與二面角兩個(gè)面的交線所成的角就是該二面角的平面角。

4.平移法：其理論依據(jù)是一個(gè)平面與兩個(gè)平行平面相交，它們所成的二面角相等或互補(bǔ)。具體做法是：將無(wú)棱二面角一個(gè)面平移到適當(dāng)位置，可得到一個(gè)與所求二面角相等或互補(bǔ)的有棱二面角，然后作出該二面角的平面角便可求解。

例2.如圖，過(guò)邊長(zhǎng)為a的等邊△ABC

頂點(diǎn)B，C分別引△ABC所在平面的垂線段

BD，CE，且BD=2CE=2a，求面ADE與面ABC

所成角的大小。

點(diǎn)撥：解此類(lèi)題的關(guān)鍵是設(shè)法將無(wú)棱二面

角轉(zhuǎn)化為有棱二面角來(lái)求。

解法略。

三、向量法

所有的二面角的問(wèn)題都可以用向量法解決。向量法的關(guān)鍵是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，坐標(biāo)系的建立應(yīng)遵循兩個(gè)原則：（1）x軸、y軸、z軸這三個(gè)坐標(biāo)軸必須兩兩垂直。（2）建立的坐標(biāo)系必須易于求出空間向量的坐標(biāo)，以便于后邊的運(yùn)算。向量法是通過(guò)建立空間坐標(biāo)系把空間圖形的性質(zhì)代數(shù)化，二面角的計(jì)算可以通過(guò)轉(zhuǎn)化為求平面的法向量間的夾角來(lái)獲得。法向量如果同向，其夾角就是二面角的平面角的補(bǔ)角，若異向就是二面角的平面角。用向量法做題的步驟是建系、設(shè)點(diǎn)、計(jì)算向量的值，利用向量數(shù)量積的公式計(jì)算兩平面法向量的夾角。

向量法的好處是思路簡(jiǎn)單，弊端是運(yùn)算量大，易出錯(cuò)。

四、巧求二面角

根據(jù)題設(shè)，應(yīng)靈活設(shè)計(jì)解題策略和方法，有時(shí)可以很巧妙地求出二面角來(lái)，有些問(wèn)題可用如下方法來(lái)解決。

1.面積射影法。如果平面圖形E的面積為S，它在平面M的射影面積為S'，且E所在平面與平面M所成的角為θ，那么

例3.如圖，在棱長(zhǎng)為a的正方體

AC1中，E是BC的中點(diǎn)，F(xiàn)在AA1上，

求面B1EF與面A1B1C1D1所成二面角的大小。

分析：取B1C1的中點(diǎn)G，連接A1G，則△A1B1G是△FB1E在底面A1B1C1D1內(nèi)的射影。解略。

用射影面積法求二面角，用的很多，例2

也可采用此法。

2.異面直線上兩點(diǎn)間的距離公式法：

例4．如圖，OA、OB、OC是從

點(diǎn)O出發(fā)的三條射線，∠AOB＝45°，

∠BOC＝60°，∠COA＝30°，求二面角B－OA－C的大小。

分析：在二面角的兩個(gè)面內(nèi)且垂直于棱的兩條異面直線所成的角等于二面角的大小。因此，可以利用異面直線兩點(diǎn)間的距離公式求異面直線所成的角，即二面角。

如圖，在《全日制普通高級(jí)中學(xué)教科

書(shū)（必修）數(shù)學(xué)》第二冊(cè)（下A）第25頁(yè)

中，我們已證過(guò)cosθ=cosθ1·cosθ2，

例6．如圖，已知正三棱柱

ABC－A1B1C1中，D是AC邊的中

點(diǎn)，AB1⊥BC1。

求二面角D－BC1－C的大小。

分析：因?yàn)檎庵校瑐?cè)面與底面垂直，符合利用公式的條件，所以可以考慮用這個(gè)公式。

【責(zé)任編輯：姜華】

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