用分類討論思想解決數學問題

關鍵詞：分類討論思想；數學問題；數學能力

中圖分類號：G633.6文獻標識碼：B

文章編號：1009-010X（2007）11-0062-01

一般地說，將一個復雜問題區分種種情況討論，或將其進行劃分，然后再各個擊破從而使整個問題最終獲解，這是一種重要的數學思想和方法，稱為“分類討論法”。通俗地講就是區分各種情況討論。它是一種重要的數學素質、數學能力，可以說，不會區分情況討論，就不可能學好數學。

一、代數中實數 a可以是正數、負數、0，對于每一種情況要分類討論

1.有關絕對值的分類討論。

實數的絕對值定義：正數的絕對值是它本身，負數的絕對值是它的相反數，0的絕對值仍是0。用字母a表示任一實數有

a=a（a>0）-a（a<0）0（a=0）或a=a（a≥0）-a（a<0）

例1. 若a=5 求a+1的值。

解：∵a=5

∴a=±5

（1）當a=5時，a+1=6；

（2）當a=-5時，a+1=-4。

2.含有字母系數的方程，不等式的分類討論。

對含有字母系數的方程經常要根據字母的符號進行分類討論。

對方程ax=b的解經分類討論給出：

ax=b的解a≠0時，有唯一解x=b/aa=0時，若b=0，解是任意數；若b≠0，無解。

例2. 解關于x的方程b-ax=2-3x .

解：原方程整理，得（3-a）x=2-b

（1）如果a≠3，方程有唯一解x=（2-b）/3-a；

（2）如果a=3，分兩種情況：

①b=2時；方程成為0·x=0，此時的解是任意數；

②b≠0時，方程沒有解。

對于一元一次不等式ax> b（a≠0）的解也是分類討論的。

ax>b的解a>0時，解是x>b/aa<0時，解是x

例3.解關于x的不等式mx-3>2x+m .

解整理得（m-2）x> m+3

當m>2時，原不等式的解集為x>（m+3）/m-2；

當m<2時，原不等式的解集為x<（m+3）/m-2.

3. 有關二次根式■的化簡的分類討論。

掌握■的算術平方根的性質。關鍵是掌握好絕對值的概念。可以先對比絕對值性質的研究，讓學生分開a≥0與a<0兩種情況，了解公式的出處。

■=a=a（a≥0）-a（a<0）

例4. 化簡a+■ .

解：原式=a+■

當a≥1時，原式=a+1-a=a+a-1=2a-1；

當a<1時，原式=a+1-a=a+1-a=1 .

二、幾何圖形中位置關系存在不確定因素，應對每一種位置關系進行分類討論，即位置分類法

在“圓”中，有許多題需要借助分類思想解答，尤其是一些沒有給定圖形的題目，解答時更要小心，否則就容易造成漏解。

如按點與圓的不同位置關系分類討論。

例5. ⊙O半徑為8cm，點P到圓周上的最短距離為3cm，求點P到圓周上的最長距離。

分析：設射線OP交⊙O于點M，則MP就是點P到圓周上的最短距離；反向延長射線OP交⊙O于點N，則NP就是點P到圓周上的最長距離。

因為8≠3，所以點P與⊙O的位置關系可能有兩種：點P在⊙O外（如圖①）和點P在⊙O內（如圖②）

在圖①中，NP=MN+MP=8×2+3=19（cm），在圖②中NP=MN-PM=8×2-3=13（cm）

所以點P到圓周上的最長距離為13cm和19cm.

以上所舉各例可以看出，數學中的分類討論思想，就是將數學對象劃分為不同各類，分別研究和求解，有許多的數學問題，很難用統一的方法去解決，但是若將它劃分為若干局部問題（類），每個局部問題（類）就相對易于解決，每個局部問題（類）解決了，整個問題也就解決了。

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