基于年齡特征的幾何探究作業設計與思考

摘 要：幾何探究的根基應從學生“需要”出發，當學生產生“對探究需要的分析”意圖時，才會真正對探究幾何知識感興趣。在幾何探究作業設計時要把握好思維結構的年齡特征，確保思維結構與年齡、知識得到同步發展。

關鍵詞：年齡特征；思維結構；探究作業設計；注意的問題

中圖分類號：G633.63文獻標識碼：A文章編號：1009-010X（2007）11-0037-05

“生長”是生物的特征，常態的兒童和常態的成人都在不斷地生長。而學生在學習知識時表現出的主動性，正是因為在生長過程中對知識的“需要”。教育作為培養人的一種社會活動，正體現了尊重生長的需要和時機[1，2]。同樣，幾何探究的根基也應從學生“需要”出發，當學生產生“對探究需要的分析”意圖時，才會真正對探究幾何知識感興趣。然而，當下并非所有的幾何探究作業設計都是從學生的需要出發、以促進兒童的生長為轉移的。也正因為此，導致幾何探究教學設計的實踐探索存在一些缺陷：忽視學生思維發展的年齡特征，導致邏輯起點錯位；預設探究進程時，對學生“最近發展區”考慮不周，出現無效探究；缺少對思維過程的評價，導致學生對其的輕忽，形成一些似是而非的認識和習慣。同時也使得教師進行針對性教學失去了一個良好的依據。

為此，本文從學生思維發展的年齡特征出發，以學生生長的需要為根基，圍繞“探索三角形全等的條件”的設計，探討幾何探究作業(work)設計的幾個重要問題。

一、幾何探究設計的現狀

近年來，我國幾何探究教學研究蓬勃開展，確也獲得不少豐碩成果，但從大量文獻分析和課堂教學實錄考察可看出：幾何探究作業設計的相關研究主要來自教學一線教師的經驗總結，或數學教育研究人員針對某些具體的探究教學設計案例進行的理論提升。雖然其中不乏頗有見地的作業設計案例，但總的來說研究視野不夠開闊，缺乏學科特色，就幾何教學心理學領域仍涉足尚淺。其實20世紀60年代初中科院心理所盧仲衡先生就標準圖形與變式圖形的作用、圖形交錯和外周線段對感知與思維的影響、以及圖形知覺對思維過程的影響進行了系列研究，[3-5]得出了一些心理規律；之后，鄭毓信先生就如何深入了解學生內在的思維活動做了大量研究[6]；喻平老師、寧連華老師相繼就學生數學學習心理、關注學生“最近發展區”等方面提出若干策略[7，8]，這對基于年齡特征的幾何探究教學有一定的貢獻。此后關于幾何探究教學心理的研究相對較少。因此到目前為止，盡管我們積累了許多幾何探究教學經驗，但幾何心理學建設因缺乏應有的理論指導而仍顯艱難。這需要我們從學科特點與學生心理特點出發，抓住幾何學習的重點和難點，深入到幾何探究教學中進行調查和實驗，構建出以學生生長需要為根基的幾何探究教學設計。

二、幾何探究作業設計的邏輯起點分析

毋庸置疑，幾何探究的實質在于問題探究，問題的呈現是幾何探究不可或缺的環節。但是，若因此而將“問題”作為幾何探究作業設計的邏輯起點，則是對幾何探究的簡單化理解，不能完全凸現探究的要義，不具有普遍的解釋力和指導意義。

1.尊重學生成長的需要與時機。

人的心理發展年齡特征是針對心理的年齡階段而言的。在一定的社會和教育條件下，人從出生到成熟經歷六個時期[9，10]（見表1）：

這些時期是互相連續，同時又是互相區別的。每個人的心理發展過程或個性特征都要經過幾次大的飛躍或質變，這個質的飛躍期叫做關鍵年齡。思維和智力成熟后，一是可塑性比成熟前要小得多；二是年齡差異的顯著性逐步減少，而個體差異的顯著性卻越來越大。因此，必須尊重學生心理發展的需要，把握關鍵年齡的時機，使幾何探究教學更好地起到有的放矢的作用。

2.對探究需要的分析是探究作業設計的根基。

人的思維形態是隨年齡階段的變化，由低層次到高層次不斷發展的，因此，生長過程中的“需要”也會隨年齡的增長不斷發生變化。幾何探究作業設計（乃至探究作業設計）的邏輯起點應當是學生對探究需要的分析，教師只有對學生的生長需要、探究的需要了然于胸，才能結合兩者對探究諸要素有序、優化地安排，確立幾何探究活動的行動方案（如圖1）：

三、幾何探究作業設計環節

幾何探究作業設計是一個有結構、有層次的方法論體系，它要解決如何使實際的探究教學更符合教學規律的問題。它的幾個基本環節如圖2。以北師大教材《數學·七年級（下冊）》中“探索三角形全等條件”[11]內容為例， 這一部分內容，對象是12、13歲的青少年，此時學生的思維正是從經驗型向理論型發展的開始，也是逐步了解對立統一的辨證思維規律的開始，因此，這一時期的平面幾何探究教學就要加快完成從具體思維到借助于圖形直觀的抽象思維的過渡，有計劃、分層次地發展學生的思維能力，以促進經驗型抽象思維到理論型抽象思維的發展。因此，首先澄清探究目標：

1.陳述探究目標。

（1）經歷探索三角形全等條件的過程，體會利用操作、歸納獲得數學結論的過程。

（2）掌握三角形全等的條件，了解三角形的穩定性。

（3）在探索三角形全等條件及其運用的過程中，能夠進行有條理的思考并進行簡單的推理。

明確探究的目標指向和內容要求后，就要根據學生的年齡特征需要，為探究的可行性創造條件。

2.分析探究任務。

教學生怎么探究是在分析探究任務、探究條件、學生年齡特征等探究需要基礎上確立的探究總體方案。依據12、13歲的青少年的年齡特點，對“三角形全等條件”的探究，其活動的層次主要是以測量、制作、擺放、體驗、實驗等外部手工操作活動為支撐，在對相關事實、體驗、感悟的基礎上猜想、歸納出合理的結論，繼而做出邏輯解釋，即寧連華所言“以操作體驗與做中思考為特征的探究活動”[8]層次。但必須注意的是，學生在外部操作活動過后，應該及時上升到內部的數學思維操作層面上，即由“經驗數學”上升到“推理數學”，以此來提升探究的水平。在這個環節教師要引導學生得出探索過程的結論，并要求學生寫出詳細的調查報告（如表2、表3），以備對學生思維過程評價之需。

要求學生寫出詳盡的調查報告，另一個目的是引導學生及時將外部的手工操作活動轉化到對事實、現象的數學思考上，只有將生活類操作為特征的實踐性思維上升到更高層次的分析性思維，才能發展學生的思維能力，以此真正提高學生的探究水平。

3.選擇探究指導方法。

如何教學生探究什么與如何教學生怎樣探究，是幾何探究作業設計的難點所在。就“探索三角形全等”一節，在明確探究問題后，教師要鼓勵學生通過畫圖、觀察、比較、推理、交流，在條件由少到多的過程中逐步探索出最后的結論。在探索過程中，不僅得到兩個三角形全等的條件，同時體會分析問題的一種方法，積累數學活動經驗。這一環節教師在內容、方法和監控調節上要起到良好的引導作用，幫助學生由具體形象思維飛躍到抽象邏輯思維的水平。拿條件的得出過程為例，給出條件“已知一個三角形的三條邊分別為4cm、5cm和7cm，你能畫出這個三角形嗎?把你畫的三角形與同伴的進行比較，它們一定全等嗎?”[7]，實際上，許多學生在畫出其中兩條邊后根本不知第三條邊該怎樣“放置”。這對學生達到探究的最終目的造成了無意義的“臺階”。因此，在“選擇探究指導方法”環節設計時，就該考慮到學生的“最近發展區”要求，給出如下輔助性操作步驟（表4）：

4.評價探究學習結果。

對探究學習的結果評價，通常是指該如何判斷教學生探究的層次和效果，此環節亦是幾何探究教學設計的難點。對探索三角形全等的活動評價時，要收集如下反映學生行為變化的相關信息：

（1）學生是否能在教師的引導下，積極主動地按所給條件進行操作；

（2）能否在活動中進行適當地歸納概括，發現三角形全等的條件；

（3）能否有條理地表達自己的思考過程；

（4）能否有意識地反思探索的全過程，獲得分析問題的經驗；

（5）能否良好地與他人合作；

（6）能否在調查報告的填寫中，發現其他的探索方法。

四、幾何探究作業設計注意的問題

1.探究作業設計，應以學生“最近發展區”為前提，防止出現無效探究。

探究教學過程中常常會出現意想不到的、甚至讓新教師束手無策的突發情景，這正是因為在預設進程時對學生“最近發展區”考慮不周的原因。研究人員對教材的編訂、教師對教學的預先設定首先是從知識層次、問題解決角度出發的，對學生心理年齡特征、生長需要等本身就不好量化也不易把握，或多或少會考慮不周。因此，在探究教學時，作為引路人的教師，應充分考慮并分析學生“最近發展區”的需要，防止出現無效探究。另外，寧連華老師提出“滑過現象”[8]也正是探究教學設計時最為棘手的問題，具體表現形式為：①將探究過程設計的過于詳盡，因任務的坡度太緩，導致一些頗具探究的材料“一滑而過”；②任務坡度太陡，超出學生“最近發展區”，從而降低了學生思維的有效性，造成事實上的滑過現象；③設計了合適的探究情境，但由于教學進程太快，沒有留下足夠的探究活動空間，使學生體驗和感悟探究過程的機會在不經意間流失。

2.探究作業設計，要反映出與真實生活的相似性。

教育的真正目的不僅在于學生在學校情景中的表現，更在于學生在非學校情景中的表現，在于學生解決真實生活中的真實問題能力，以及深化和拓展學生對日常生活進行解釋的能力。換言之，學生通過知識的學習應逐漸掌握生存的能力。數學教育的價值更重要的自然也是育人價值，因此，在設計探究問題時，需要考慮其對學生在未來真實生活中的表現是否具有預見價值，對探究作業評價也不能僅僅局限于學生在課堂情景中能做的事情，而且要反映他們在校外的生活情景中所能做的事。比如，學生在幾何測驗中也許知道如何用最簡捷的證法證出兩個三角形全等，但卻不知如何處理生活中用兩個巨大三角架支撐一個大廳的屋頂時，該怎樣用最快捷的方法找出兩個全等的三角架。因此，探究問題的設計要具有真實性、情景性，以便學生形成對現實生活的領悟能力、解釋能力和創造能力。

3.探究作業設計，不必局限于單獨完成，應重視以小組合作的形式共同完成。

作為社會的人，不存在絕對意義上的個人成績，更多的是團隊成績。學校教育的重要功能之一，是幫助青少年一代獲得在成人團體中生活所必需的技巧，因此，對成人生活形式的刪改或排斥是毫無意義的。這意味著，在探究設計中有必要設計出小組作業，使參與與合作成為青少年在課堂活動中受歡迎的正常部分，就像它們現在是成人活動的一個正常部分一樣。在探究過程中要讓學生懂得合作才能雙贏的道理，鼓勵學生在協作小組里動手實干一些事情，讓他們和老師一起積極參與學習和創造發現幾何，有目的的要求學生，在各自小組合作集中學習時，每個人都是積極的參與者，要始終樂意聽取彼此的意見，不懂時就互相提問，有人提出問題就互相幫助。只有有目的地真正關注每個學生在小組合作中的表現，學生才能真正體會到通過合作學習到的知識，要比個人單獨學到的知識的總和多得多。這也意味著，對小組合作完成的作業以及個人在其中的貢獻做出的評價，就成了“評價探究學習結果”的組成部分。

4.探究作業設計，應揭示學生解決問題的思維過程。

充分的暴露數學思維過程，不掩飾數學思維的任何一個環節是使學生形成良好的思維結構的根本保證。充分揭示知識的發展過程，也是培養直覺思維、創造性思維能力的根本保證。但遺憾的是，在許多精彩的幾何探究教學課后，沒有留下思維過程的記錄，因此也就無法看出學生在解決問題時表現出的搜集資料、推理、判斷并做出結論的全過程。筆者認為，在“分析探究任務”環節的設計時，有必要加入如表2、3形式的調查報告；另外，對學生的引導應給出工具性、操作性的步驟提示，幫助學生記錄下思維過程的每一步，比如在“選擇探究指導方法”設計環節時，加入表4形式的調查報告。諸如此類的調查報告，在很大程度上實際是對學生思維過程的記錄。在探究教學中，如果缺少對思維過程的評價，第一，導致學生對思維過程的輕忽，這不僅有可能使學生在探究知識過程中形成一些似是而非的認識和習慣，而且會限制學生對思維樂趣的深刻體驗，進而抑制學生解決問題的靈活性和創造性；第二，這種做法也使得教師進行針對性教學失去了一個良好的依據。理解學生如何獲得答案，會為教師更好地修改探究計劃或選擇探究教學策略提供基礎，知道學生在探究問題的過程中考慮什么，另一方面也顯示出他們忽略了什么。在促進學生思維由低層次向高層此的發展中，教師對學生思維過程的評價與判別答案是否正確具有同樣重要的作用。因此，在探究作業的設計中，要設計那些能幫助學生做好思維過程記錄的調查報告，便于及時對思維過程進行評價，以此有效地通過探究作業促進學生的思維水平從低層次向高層次發展。

一言以蔽之，在幾何探究作業設計時要以學生生長需要為根基，把握好思維結構的關鍵年齡，確保思維結構與年齡、知識得到同步發展，努力使探究作業設計日臻完善。

參考文獻：

[1]杜威.民主主義與教育[M].人民教育出版社，1990.

[2]孫名符.數學教育學原理[M].科學出版社，1996，11.

[3]盧仲衡.關于如何減少圖形交錯的消極影響的問題[J].數學通報，1964，7.

[4]盧仲衡.關于直接揭露本質特征對于學生掌握幾何基本概念的作用的問題[J].數學通報，1963，06.

[5]盧仲衡.不同教學方法對學生掌握幾何基本概念的影響的實驗研究[J].心理學報，1963，02.

[6]鄭毓信.數學學習心理學的現狀研究[J].數學教育學報，1997，26，（1）.

[7]喻平.數學學習心理學若干研究課題的思考[J].數學教育學報， 1997，56，（2）.

[8]寧連華.數學探究教學設計研究[J].數學教育學報，2006，15，（4）.

[9]林崇德.學習與發展[M].北京師范大學出版社，2003.

[10]張乃達.數學思維教育學[M].江蘇教育出版社，1990.

[11]義務教育課程標準教科書（北師大版.七年級下冊）[M].北京師范大學出版社，2002，11.

[12]Eisner， E.W.(1994).The Educational Imagination： On the Design and Evaluation of School Programs (3rd .Edition).New York： Macmillan.

[13]李雁冰.課程評價論[M].上海教育出版社，2002.

[14]See Eisner， E.W.(1991).The Enlightened Eye： Qualitative Inquiry and the Enhancement of Educational Practive. New York： Macmillan.