匡正數學訓練與發展思維的關系

眾所周知，數學教學最基本的任務就是使學生學會解題，學會數學地思考，發展思維，從而變得聰明#65377;著名數學教育家#65380;現代“問題解決”研究的先驅G#8226;波利亞認為，要“把解題作為培養學生數學才能和教會他們思考的一種手段和途徑”#65377;由此可以看出解題訓練在數學教學中的重要性#65377;一提到解題，我們自然而然聯想到的就是“類型分析”#65380;“題海戰術”#65377;誠然，常規的訓練是學會解題的必要條件，但過度訓練會影響學生的創造力，阻礙學生思維的發展#65377;在以下案例中可窺見一斑#65377;

一#65380; 熟能生巧的陷阱

課堂片段回放:教學《圓錐體積的計算及應用》

1.教師在提問圓錐的體積怎樣計算后隨即讓學生口算下列各圓錐的體積:

(1)底面積3平方米，高2分米#65377;

(2)底面積4平方厘米，高4.5厘米#65377;

小結:應用圓錐體積的計算公式求圓錐體積時，不能忘記乘1/3或除以3#65377;

2.出示例2:一個圓錐形的沙堆的底面直徑是6米，高1.8米#65377;每立方米沙重1，7噸#65377;這堆沙約重多少噸？

學生嘗試解答后交流反饋#65377;

小結:注意求圓錐體積時，一定不能忘記乘1/3或除以3#65377;

3.組織練習

(1)練一練

求下面各圓錐的體積:

底面半徑2厘米，高6厘米

底面直徑2厘米，高6厘米

底面周長25，12米，高6米

(2)練習三第9題

一個圓錐形小麥堆底面周長是12.56米#65377;高0.6米，如果每立方米小麥重745千克，這堆小麥大約多少千克？，

學生獨立算后交流#65377;

最后強調:計算圓錐體積需要知道底面積和高#65377;如果不知道底面積，要先求出半徑算出底面積，再計算體積#65377;求體積時特別要牢記乘1/3或除以3#65377;

無獨有偶，三天后該校進行了質量調研，試卷上出現了圓錐體積計算的題目:

題目1:如果一個圓柱體和一個圓錐體等底等高，它們的體積一共是48立方厘米，那么圓錐的體積是()立方厘米#65377;已知圓錐的底面積是9平方厘米，它的高是()厘米#65377;

題目2:把一個底面積45平方分米#65380;高7分米的圓柱體鋼塊，鑄成一個圓錐體零件，這個零件的體積是()立方分米#65377;已知這個零件的高是9分米，那么它的底面積是()平方分米#65377;

探討

這位老師班上的學生第1題的得分率為88%，而第2題的得分率僅為28%#65377;這兩道難度相仿的題，為什么會出現那么大的差別？在平時的練習中，這位教師注意強調了等底等高的圓柱和圓錐體積間的關系，重視了圓柱#65380;圓錐體積公式的實際應用，所以第1題的得分率較高#65377;但在應用圓錐體積公式求體積時，教師常常會提醒學生乘1/3或除以3#65377;在大量的重復練習后，學生一看到求圓錐體的體積就條件反射地乘1/3或除以3，所以第2題的第1空多數學生出現了這樣的錯誤#65377;

《數學課程標準(實驗稿)》在總體目標中明確提出，通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的重要數學知識(包括數學事實#65380;數學活動經驗)以及基本的數學思想方法和必要的數學技能;初步學會運用數學的思維方式去觀察#65380;分析現實社會，去解決日常生活中和其他學科學習中的問題增強應用數學的意識等等#65377;上面的數學活動，看上去學生似乎在大量模仿練習中已經熟練掌握圓錐體積計算公式，但令人擔心的是:少了變式訓練的題目，少了發展思維的題目，少了解決現實問題的題目#65377;在平時的數學教學中，常常會出現這樣的現象:教師精細地講解例題后，學生能很快掌握一類題的解題技能，經過一段時間的反復操練后，學生的解題技能進一步提高，但遇到稍有變化的習題或具體的問題情境時，學生或變得不愿思考，機械照搬;或不會思考，一籌莫展#65377;學生在一味的機械訓練中究竟學到了什么？是數學思維還是應用意識？

二#65380;“最優化”一定“最優”嗎？

課堂片段回放:教學《長方形#65380;正方形的周長》

在鞏固練習環節老師出了這樣一道題:

王大伯借助一面墻用籬笆圍一塊長方形菜地(如圖)求籬笆的長度#65377;

反饋校正時學生出現了這樣4種解題方法:(9+5)×2 (9+5)×2-9 9+5×2 9+5+5

探討

第一種顯然是錯誤的#65377;第2#65380;3#65380;4種方法中，少數學生用了后兩種方法，根據平面圖形周長的意義，直接把三條邊相加，多數學生是先套用周長公式求出長方形的周長，然后再減去一條長，求出籬笆的長度，出現這樣的結果，可能是教師在學生尚未充分理解周長的意義和計算方法的情況下，過于強調用長方形周長計算公式解題，導致學生忽略周長的意義，忽視了四條邊相加求長方形周長的方法#65377;事實上，理解周長的意義是本質的，應在此基礎上優化求長方形周長的算法#65377;因此在教學中，教師要先突出最簡單#65380;最本質的方法，逐步抽象出最佳方法，進而促使學生達到認識上的最佳狀態#65377;這種過于追求解題方法的“最優化”，限制了學生的探索能力#65377;封閉了學生的思維空間#65377;

三#65380; 都是“模式化”惹的禍！

課堂片段回放:教學《按比例分配應用題》

教師在教學完《按比例分配應用題》的例題后小結:告訴我們兩個數量的比及它們的和，要求這兩個量，可以用和分別乘總份數分之一個數量的份數，分別求出這兩個數量#65377;

當天的《練習冊》出現了這樣兩道題:

1.一種鹽水，鹽和水的比是1∶99，要配置400克這樣的鹽水，需要鹽多少克？

2.一種鹽水，鹽和水的比是1∶99#65377;要配置這樣的鹽水，400克水中需要放入鹽多少克？

這班學生作業的正確率可想而知，尤其是第2題，除了班中幾位腦瓜特別好使的學生外，無人能答對#65377;

探討

按比例分配應用題有其特有的數量特征，教師常常會總結解題規律并進行類似練習#65377;學生習慣于把問題和類型相聯系，死扣類型，而不去思考這些問題的實際意義#65377;于是解第2題時生搬硬套，出現不應有的錯誤#65377;因此，教學中應著重引導學生把問題和其實際意義相聯系，避免解題模式的“類型化”，以真正發展學生的數學思維能力#65377;

由此可見，教學中不能把握數學過程和數學對象之間的平衡，盲目#65380;過度的練習會影響學生理解力和創造力的發展#65377;那么，如何匡正數學訓練與發展思維的關系？筆者認為:

1.科學設計練習，剖析題目中的思想方法

科學的#65380;一定數量的數學練習能促進理解，發展數學思維#65377;反之，單一#65380;重復的機械性訓練也會影響學生的思考力#65377;如果教師只依靠模仿性練習讓學生“記住”知識，而非推進認知結構，就會將數學肢解成零散的小步驟來訓練，活生生的數學思想就會被完全割裂，不復存在#65377;數學訓練的第一層是“知識堆積”與“解題術”式的#65377;它看得見，摸得著，易操作，易復制，但功能性弱，應用面窄#65377;第二層是“思維方法”和“解題方法”式的#65377;它與前一層比，程序性弱，不易復制，但功能性強，應用面寬#65377;第三層是“數學思想”與“數學觀念”式的#65377;它雖抽象，程序性更弱，但功能性強，它是對其他兩個層次的指導和引領#65377;所以，教師在教學中要科學地#65380;有層次地設計練習#65377;首先是模仿訓練，旨在鞏固基礎知識和基本技能;其次是變式訓練，旨在理解方法和發展思維;最后是應用訓練#65377;這樣才能高屋建瓴，有效訓練，發展學生的思維#65377;

2.引導自主探索，理解題目中的思想方法

數學家華羅庚教授總結他的學習經歷時指出:對書本的某些原理#65380;定律#65380;公式問題，我們在學習的時候，不僅應該記住它的結論，懂得它的道理，而且還應該設想一下人家是怎么想出來的，經過多少曲折，攻破多少難關，才得出這個結論的#65377;只有經歷這樣的探索過程，數學的思想和方法才能積淀#65380;凝聚在這些數學結論上，從而使知識具有更大的智慧，所以，在對學生進行數學解題訓練時，教師要引導學生經歷數學化的學習過程，巧妙地將模型化#65380;化歸等數學思想有意識地滲透在解題過程之中，這樣才能促進理解，發展思維#65377;

3.重視解題反思，領悟題目中的思想方法

在解題訓練中引導學生獲得數學思想方法，一方面要求教師有意識地滲透和訓練，但是更多的是要靠學生自身在反思過程中領悟#65377;在數學學習過程中，要引導學生自覺地檢查自己的思維活動，反思自己是怎樣發現和解決問題的，應用了哪些基本的思考方法#65380;技能和技巧，走過哪些彎路，有哪些容易發生(或發生過)的錯誤，原因何在，該記住哪些經驗教訓等#65377;還要讓學生掌握更多的思維機制，例如內化#65380;壓縮，等等#65377;只有這樣，才能對數學思想方法有所認識，由此更好地促進學生的思維發展#65377;

責任編輯:陳國慶