現代數理邏輯在馬克思主義的哲學研究中的作用

現代邏輯，也稱為數理邏輯，是在傳統邏輯的基礎上，發端于17世紀，成熟于20世紀的一門年輕的學科。它自身是思維科學的一個分支，也是數學的一個分支。當前，數理邏輯有兩個重要特征應當引起馬克思主義哲學工作者的注意。

第一，由于具有強有力的形式表達和形式分析的能力，數理邏輯在哲學、語言學、經濟學、法學、計算機科學、人工智能、決策學等諸多領域的現代發展中，得到了廣泛的實質性的應用。數理邏輯的方法，已成為當代人文科學的一種重要方法。熟悉和掌握數理邏輯基礎，已成為當代人文科學工作者，包括馬克思主義哲學工作者應當具備的一種知識結構和素養。一個最簡單的事實是，如果不懂數理邏輯，上述諸多領域中的一些最新研究成果實際上不能讀懂，在此基礎上對這些成果的所作的哲學概括和思考難免不得要領。講到數理邏輯，容易聯系到分析哲學。不懂數理邏輯當然難以懂分析哲學，但如果因此以為，對于一個哲學工作者來說，懂數理邏輯的意義只在于可以懂分析哲學，則是一個誤解。

第二，數理邏輯的一系列重要成果，極富哲學意蘊，有些對傳統的哲學思考頗具挑戰性，是馬克思主義哲學審視和豐富自己的珍貴營養。由于歷史的原因，中國的馬克思主義哲學工作者基本上（至少在技術上）不熟悉數理邏輯。從馬克思主義哲學的視角，對數理邏輯的科學成果進行哲學思考和提煉，是一個重大課題。

本文嘗試盡量避開技術性環節，介紹現代數理邏輯的一兩個重要成果，并對此作些力所能及的哲學分析。作者不是馬克思主義哲學的專業工作者，因此，這種分析將注定不會是到位的。因此，我們面臨的同一問題可以作兩種不同的表述：我們缺少在數理邏輯上訓練有素的馬克思主義哲學工作者，或者說，我們缺少在馬克思主義哲學方面訓練有素的數理邏輯工作者。

1．傳統的哲學思考只注意到了有窮和無窮的對立統一，但沒有注意到無窮內部的對立統一。

在我所受的馬克思主義哲學教育中，對不可知論的一個最通俗也曾經是最普及的駁斥，是這樣表述的：客觀世界的發展是無窮的，人的認識能力的發展也是無窮的。因此，只有尚未認識的事物，沒有不可認識的事物。

這個駁斥，包含著一個前提：無窮的事物在量上是無差異的。也就是說，進行數量比較，只有在有窮事物之間，或者在有窮與無窮之間才有意義，在無窮的事物之間則沒有意義。如果不預設這個前提，即如果事實上無窮的事物之間也如同有窮的事物之間一樣，存在著數量上的等級差別，那么，作為客觀世界發展的無窮，完全可能比作為人的認識能力發展的無窮“長”得多，這就不是在駁斥而是在論證不可知論了。

這里，我們面臨的是一個邏輯學的常識問題。現代邏輯早已證明，基于實無窮的觀點，無窮集合之間存在著不同的數量等級，并且這種等級的數量是無窮的！也就是說，上述駁斥所預設的那個前提是不成立的。

在無窮集合之間如何進行量的比較呢？其實，這種比較的方法，和在有窮事物之間進行比較的方法是一樣的，即構造一一對應。五個蘋果為什么和五個梨子一樣多？因為它們之間能夠建立一一對應；五個蘋果為什么比四個梨子多？因為，第一，兩者之間無法建立一一對應，第二，后者能和前者的一個真子集建立一一對應（集合A的任一元素都是集合B的元素，但存在集合B的元素不是集合A的元素，則稱A是B的真子集。例如，偶數集就是自然數集的真子集：任一偶數都是自然數，但有的自然數不是偶數）。同樣，對于任意無窮集合A和B，如果兩者能夠建立一一對應，則屬于相同的數量等級，稱為等勢；如果兩者不能建立一一對應，但（不妨說）后者能和前者的一個真子集建立一一對應，則前者比后者的數量等級要高。

不難在自然數集和偶數集之間建立一一對應（令1對應于2，2對應于4，3對應于6，……一般地，n對應于2n），因此，在無窮的領域里，整體和部分在數量上可以相等。同樣可以在自然數和有理數之間建立一一對應。但是，德國邏輯學家康托爾證明了：實數無法和自然數建立一一對應，這說明前者比后者的數量級要高，即所有的實數要比所有的自然數多得多；一個無窮集合的冪集（即以其所有子集為元素組成的集合）比該集合要高一個數量級，這就是說，無窮集合的數量級是無窮的。表示無窮集合數量等級的概念是基數。自然數集“quot;稀”，它的基數記為ω。顯然，偶數和有理數的基數都是ω。實數的基數記為c。顯然，基數為c的集合的冪集的基數是c，以此類推。

因此，根據“人的認識能力是無窮的”，推不出“世界上沒有不可認識的事物”，除非能證明，作為認識對象的無窮，和作為人的認識能力的無窮，其基數前者不大于后者。當我們嚴格定義了無窮集合間的等勢，并且確定了自然數集與它的真子集偶數之間的一一對應，我們實際上嚴格證明了，在無窮的領域中，整體可以等于部分。整體可以等于部分，這個閃爍著辯證法光輝的命題，在傳統的哲學思考中是靠思辯把握的，而在數理邏輯中，它是可嚴格證明的。事實上，數理邏輯提供了這樣一種可能性，對一些以往只能靠思辯來把握的哲學命題，提供嚴格的形式刻劃和證明，或者一般地說，為哲學提供一種形式方法。西方興起的形式哲學，應該引起我國馬克思主義哲學工作者應有的注意。筆者寫過一篇論文，嘗試從幾個可接受度相當高的假設出發證明：空間狀態的集合比時間狀態的集合高一個基數。因此，時間狀態和空間狀態的對應，不是一對一的關系，而是一對多的關系。這就證明“運動著的物體每一瞬間既在這兒又不在這兒”，“生長著的個體每一瞬間既是它身又不是它自身”這樣的以往只能以哲學思辯來把握的辨證命題，提供了一個形式證明。我認為，這篇論文的主要意義，在于在人文科學包括哲學研究中倡導一種形式分析的方法。論文在一家大學的學報上發表。事前，編輯先生曾建議是否在自然科學版上發表，我堅持上人文科學版。這是我的一個用心。我認為，此用心頗具重要性。

在幾乎所有的科學理論中，只有數理邏輯把自己的理論明確區分為兩個部分：對象理論和元理論。一般地說，一門科學的對象理論的對象，就是這門科學的對象；一門科學的元理論的對象，是這門科學的對象理論。具體地說，在數理邏輯中，一個邏輯系統的對象理論，就是這個系統自身；這個邏輯系統的元理論，是以該邏輯系統為研究對象的理論。一個系統的元理論要解決的兩個最基本的問題是：第一，這個系統是否一致？即是否不矛盾，是否能確保兩個互相矛盾的命題在系統中不都可證？第二，這個系統是否完全？即相關的真理（真命題）在系統中是否都可證？例如，一個算術系統如果是完全的，那么，有關算術的所有真命題在其中都可證，否則，它就是不完全的。一致性有關一個理論能否成立，顯然，一個不一致，即自相矛盾的理論，不可能是科學理論；而完全性有關一個理論的能力及其限度。也就是說，數理邏輯具有一個極其鮮明的特點：它在構造自己以說明思維或數學的規律的時候，首先極其負責地審視自己：自己是否一致？如果是的話，如何證明？自己是否有足夠的能力把握思維和數學領域中的所有真理？如果是的話，如何證明？如果不是的話，這種能力的限度在哪里？如何證明？

數理邏輯的這種“責任心”不是自發地產生的，而是科學發展的實踐“迫使”它具備的。

問題最早源于歐氏幾何。歐氏幾何有五條公理。其中第五條公理是：在同一平面上，過直線外一點可以并且只可以作一條直線和該直線平行。數學家因為這條公理的真理性不太直觀而試圖把它作為定理從其余四條公理中推出。當直接證明不能奏效時，數學家們用了反證法，即把第五公理的反命題作為一條新的公理，和原來的四條公理一起組成一個新的系統（后來稱為非歐幾何），并設法在其中推出矛盾。結果，非歐幾何中推出了三百多個“怪誕”的定理，如“三角形三內角之和大于或小于180”，但就是推不出矛盾。數學家由此考慮，非歐幾何是否有可能不矛盾？這時，一個出乎數學家們意料的結論被證明了：歐氏幾何和自然數算術與非歐幾何都是等價的！就是說，如果歐氏幾何或自然數算術是不矛盾的，則非歐幾何也是不矛盾的；也就是說，如果“怪誕的”非歐幾何是矛盾的，則歐氏幾何和自然數算術也是矛盾的！而人們構造非歐幾何的目的，就是試圖證明它的自相矛盾！這樣，作為人類智慧杰作的歐氏幾何，似乎是天經地義的自然數算術，其作為科學理論的合法性，立刻變得十分可疑。數學家突然認識到：第一，歐氏幾何和自然數算術的一致性尚未得到證明；第二，這種一致性必須加以證明，否則，人們就沒有理由相信幾何與算術的定理為真理，因為，如果這樣的系統是不一致的，那么，這些定理的反命題同樣是可證的。這是科學發展史上一個多么應當引起重視的亮點！一個科學理論，在研究相關領域客觀規律的同時，嚴格的自我審視原來竟是如此至關重要！

用數理邏輯的工具重新表達和構造數學系統，并證明它們的一致性，以及另外一些重要的元性質，這就是數理邏輯的任務。這是一個巨大的挑戰和艱辛的探索。在這一過程中，數理邏輯自身得到了長足的發展而臻于成熟，取得了一系列重大的成果，其中包括著名的哥德爾不完全性定理。哥德爾不完全性定理被認為是可以和愛因斯坦相對論齊名的重大成果。

哥德爾不完全性定理包括兩個重要結論：

第一個結論：算術形式系統（以及一切不弱于算術系統的形式系統）如果是一致的，則這種一致性在系統內是不可證的。

所謂形式系統，是指用數理邏輯形式化的方法構造的演繹系統。一個形式系統的能力，包括它的形式語言的刻劃能力和演繹結構的推導能力。所謂不弱于算術系統，就是指這種刻劃和推導能力不弱于算術系統。上述結論告訴我們：這樣的系統的一致性，即不矛盾性的證明，不可能在本系統內作出，要完成這樣的證明，必須使用（至少在某些方面）比本系統更強、更復雜些的工具才有可能。哥德爾在使用有限型泛函法所構造的系統（稱為Y系統）中，證明了算術系統的一致性。但這種證明只是相對的。因為Y系統比算術系統更強，因此由哥德爾定理，它的一致性同樣在自身內部是不可證的。要證明Y系統的一致性，需要更強的工具。這說明，算術系統一致性的證明，注定是相對的。

第二個結論：算術形式系統（以及一切不弱于算術系統的形式系統）如果是一致的，則是不完全的，即存在著一個命題，這個命題和它的否定在系統中都不可證。由排中律，一個命題及其否定中總有一個命題是真的，因此，不完全性是指：并非任何真命題都可證，也就是說，算術系統不可能證明所有的算術真理。

在數理邏輯這段令人眼花繚亂的發展歷史和科學成果中，我認為，至少以下幾點應該引起馬克思主義哲學工作者的注意和思考。

第一，一個科學理論，在研究特定的對象世界的同時，應該把審視和研究自身作為本理論的一個組成部分?，F在相對于藝術學，也有元藝術學，等等，但是，和現代邏輯不同的是，藝術學并沒有把元藝術學當作自己不可或缺的一個組成部分。對各門科學理論應當如此，對馬克思主義哲學似乎也應當如此，事實上，馬克思主義哲學體系中，業已包括了一些元哲學的內容，問題在于，這些內容是否應當并且可以形成系統的馬克思主義哲學的元理論？如果回答是肯定的，那么，馬克思主義哲學的元理論應當包括哪些主要課題？

讓我舉一個例子來說明馬克思主義哲學元理論應當關注的問題。2000年的研究生入學政治考試中有一道試題：用對立統一規律分析改革開放的巨大成就和負面影響的關系。答案要點：（1）兩點論：改革開放取得巨大成就的同時出現某些負面影響是必然的；（2）重點論：巨大成就是矛盾的主要方面，決定改革開放的性質；（3）轉化論：不能忽視負面影響，在一定的條件下負面影響有可能轉化為矛盾的主要方面，而改變改革開放的性質。不難發現，上述這些理論要點，當年就是用來證明“文化大革命成績最大最大最大，損失最小最小最小的”，就是用來分析“大躍進”的“九個指頭”和“一個指頭”的關系的。現在幾乎一字不動地用來論證改革開放。如果上述這樣的哲學分析都是成立的，則允許作此種分析的哲學理論的一致性就應受到嚴重質疑。

第二，一個科學理論，對于說明自身是不夠的。算術系統是如此，馬克思主義哲學似乎也是如此。例如，“任何事物都將走向自己的反面”（恩格斯語）這一基本原理，就不能說明自身，否則將導致悖論。因此，就從說明和研究自身而言，馬克思主義哲學也必須發展和突破自己。或者是否可以這么說，馬克思主義哲學的元理論，必然比馬克思主義哲學理論體系自身豐富。

第三，哥德爾不完全定理說明，數理邏輯是這樣一種科學理論和真理形式，它明確揭示和證明自己把握真理的能力限度。這里，將合乎邏輯地提出這樣的問題：是否所有的科學理論都如同數理邏輯一樣，存在并能證明自身把握相關領域中真理的能力限度？如果不是，那就是說，存在著兩類科學理論，第一類如數理邏輯，第二類不同于數理邏輯，它具有完全把握相關領域全部真理的能力。這樣，緊接著的問題自然是，如何證明這一點？總之，數理邏輯有資格向所有的科學理論，包括馬克思主義哲學提出這樣的問題：你是否有能力把握你的研究領域中的所有真理？如果回答是肯定的，那么請證明；如果回答是否定的，那么，你的這種能力的限度在哪里？同樣請證明。

最后順便提一下，上文所提到的“怪誕”的非歐幾何，最后在微觀和宇觀世界中找到了自己的模型，而被證明是和歐氏幾何一樣的科學理論。非歐幾何是從哪里來的？是從實踐中來的嗎？不是。是基于感性經驗的嗎？也不是。它是如此地違背人們的實踐經驗和感性直覺，以至人們當初構造它的唯一目的是想證明它的不可能成立。它是在自己的理論形態出現上千年后才找到自己的現實模型。馬克思主義哲學的專家們應當充滿興趣地在科學的海灘邊拾取這些對自己頗具挑戰性的貝殼。本文涉及的只是一二個這樣的貝殼。事實上，這樣的貝殼并不少。