如何進(jìn)行中小學(xué)數(shù)學(xué)概念的教學(xué)

在中小學(xué)數(shù)學(xué)中，數(shù)學(xué)概念是最基本的內(nèi)容。所謂數(shù)學(xué)概念，就是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面的本質(zhì)屬性，是人們通過實(shí)踐，從數(shù)學(xué)所研究的對象的許多屬性中，抽出其本質(zhì)屬性概括而形成的。就是指那些數(shù)學(xué)名詞和術(shù)語。（在小學(xué)數(shù)學(xué)中反映數(shù)和形本質(zhì)屬性的數(shù)字、圖形、符號、名詞術(shù)語和定義、法則等都是數(shù)學(xué)概念。）

數(shù)學(xué)概念是進(jìn)行數(shù)學(xué)推理、判斷的依據(jù)，是建立數(shù)學(xué)定理、法則、公式的基礎(chǔ)，也是形成數(shù)學(xué)思想方法的出發(fā)點(diǎn)。因此學(xué)好數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)關(guān)鍵是數(shù)學(xué)概念的學(xué)習(xí)，數(shù)學(xué)概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)是一個重要的組成部分。

一、數(shù)學(xué)概念的意義和定義方式

數(shù)學(xué)概念形成是從大量的實(shí)際例子出發(fā)，經(jīng)過比較、分類從中找出一類事物的本質(zhì)屬性，然后再通過具體的例子對所發(fā)現(xiàn)的屬性進(jìn)行檢驗(yàn)與修正，最后通過概括得到定義并用符號表達(dá)出來。實(shí)際上應(yīng)包含兩層含義：其一，數(shù)學(xué)概念代表的是一類對象，而不是個別的事物。例如“三角形”可用符號“△”來表示。這時凡是像“△”這樣具有三個角和三條邊的圖形，則不論大小，統(tǒng)稱為三角形，也就是說三角形的概念，就是指所有的三角形：等邊的、等腰的、不等邊的、直角的、銳角的、鈍角……；其二，數(shù)學(xué)概念反映的是一類對象的本質(zhì)屬性，即該類對象的內(nèi)在的、固有的屬性，而不是那些表面的非本質(zhì)的屬性。例如，“圓”這個概念，它反映的是“平面內(nèi)到一個定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集”，我們根據(jù)這些屬性，就能把“圓”和其他概念區(qū)分開。

我們把某一概念反映的所有對象的共同本質(zhì)屬性的總和叫做這個概念的內(nèi)涵，把適合于這個概念的所有對象的范圍稱為這個概念的外延。通常說，給概念下定義，就是提示內(nèi)涵或外延。一般說，定義數(shù)學(xué)概念有以下幾種方式：

1.約定式定義

由于數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要，有時也通過規(guī)定給術(shù)語以特定的意義。如“不等于零的數(shù)的零次冪等于1”，規(guī)定了零指數(shù)冪的意義，但要注意，約定式不能隨心所欲，必須符合客觀規(guī)律。

2.描述性定義

數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)，每個新概念總要用一些已知的概念來定義，而這些用于定義的已知概念又必須用另一些已知的概念來刻畫，從而構(gòu)成了一個概念的系列。在概念的系列中，是不允許有循環(huán)的。因此總有些概念是不能用別的概念來定義。這樣的概念，叫做數(shù)學(xué)中的基本概念，又稱為“原名”（或不定義概念、原始概念），它們的意義只能借助于其他術(shù)語和它們各自的特征予以形象地描述。如：幾何中的點(diǎn)、直線、平面，代數(shù)中的集合、元素等。

3.構(gòu)造式定義

這種定義是通過概念本身發(fā)生、形成過程的描述來給出的。如橢圓的定義“平面內(nèi)與兩個定點(diǎn)的距離的和等于定長的點(diǎn)的規(guī)跡叫做橢圓”。

4.屬加種差定義

如果某一概念從屬于另一個概念，則后者叫做前者的屬概念，而前者叫做后者的種概念。如實(shí)數(shù)是有理數(shù)的屬概念，而有理數(shù)是實(shí)數(shù)的種概念。

在同一個屬概念下，各個概念所含屬性的差別叫種差。如對于四邊形這個屬概念，平行四邊形和梯形都是它的種概念，它們的種差是：“兩組對邊分別平行”和“一組對邊平行，另一組對邊不平行”。

用屬加種差來定義概念，“就是把某一概念放在另一更廣泛的概念里”來刻畫它的意義，通常的方法是用鄰近的屬加種差來進(jìn)行表述。如：平行四邊形的定義，它的鄰近的屬概念是四邊形，種差是兩組對邊分別平行，因而平行四邊形的定義表述成“兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形”。

另外，在教材里，還會遇到一些通過揭示概念的外延的方式給概念下定。如實(shí)數(shù)的定義：“有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)”。

最后，還需聲明：定義是數(shù)學(xué)概念的方式，以上分析是相對的、不嚴(yán)格的。例如，“異面直線所成角”定義，我們既可以認(rèn)為它是約定式的，即規(guī)定“把經(jīng)過空間任意一點(diǎn)所作的兩條異面直線的平行線所成的銳角或直角叫做異面直線所成的角”，也可以把它理解為發(fā)生式的：即通過取點(diǎn)、作平行線構(gòu)成兩對對頂角，把其中的銳角或直角叫做異面直線所成的角。總之，我們理解定義并不在于區(qū)分它是屬于哪種定義方式，而是要明確概念的外延與內(nèi)涵，然后應(yīng)用它們?nèi)ソ鉀Q問題。

二、怎樣進(jìn)行數(shù)學(xué)概念教學(xué)

對數(shù)學(xué)概念，即使是那些原始概念，都不能望文生義。在教學(xué)中，既要把握它的內(nèi)涵，這是掌握概念的基礎(chǔ)；又要了解它的外延，這樣才有利于對概念的理解和擴(kuò)展；同時，對于概念中的各項(xiàng)規(guī)定、各種條件，都有要逐一認(rèn)識，綜合理解，從而印象更深，掌握更牢。

一般來說，圍繞一個數(shù)學(xué)概念，應(yīng)當(dāng)力求清楚下列各個方面的問題：

①揭示本質(zhì)屬性。這個概念討論的對象是什么，有何背景？此概念中有哪些規(guī)定和條件？它們與過去學(xué)過的知識有什么聯(lián)系？這些規(guī)定和條件的確切含義又是什么？

給出概念的定義、名稱和符號，揭示概念的本質(zhì)屬性。例如學(xué)習(xí)二次函數(shù)的概念，先學(xué)習(xí)它的定義：“y=ax²＋bx＋c(a、b、c、是常數(shù)。a≠0)那么y叫做x的二次函數(shù)”。又如，一位教師教學(xué)“長方體和正方體的認(rèn)識”時，在指導(dǎo)學(xué)生給不同形體的實(shí)物分類引入“長方體”和“正方體”的概念后，及時引導(dǎo)學(xué)生先把“長方體”或“正方體”的各個面描在紙上，并仔細(xì)觀察描出的各個面有什么特點(diǎn)，再認(rèn)識什么叫“棱”，什么叫“頂點(diǎn)”，然后，指導(dǎo)學(xué)生分組填好領(lǐng)料單，根據(jù)領(lǐng)料單領(lǐng)取“頂點(diǎn)”和“棱”，制作“長方體”或“正方體”的模型，邊觀察邊討論長方體與正方體的頂點(diǎn)和棱有什么特點(diǎn)，最后指導(dǎo)學(xué)生自己歸納、概括出“長方體”和“正方體”的特征，從而使學(xué)生充分了解“長方體”和“正方體”這兩個概念的內(nèi)涵和外延。

②討論反例與特例。對概念進(jìn)行特殊的分類，討論各種特例，突出概念的本質(zhì)屬性。例如二次函數(shù)的特例是：y=ax²，y=ax²＋c，y=ax²＋bx，等等。

③新舊知識聯(lián)系。此概念中有哪些規(guī)定和條件？它們與過去學(xué)過的知識有什么聯(lián)系？使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念建立聯(lián)系，把新概念納入到相應(yīng)的概念體系中，同化新概念。例如把二次函數(shù)和一次函數(shù)、函數(shù)等聯(lián)系起來，把它納入函數(shù)概念的體系中。

④實(shí)例確認(rèn)。辨認(rèn)正例和反例，確認(rèn)新概念的本質(zhì)屬性，使新概念與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)概念精確分化。例如舉出y=2x＋3，y=3x²－x＋5，y=－5x²－6等讓學(xué)生辨認(rèn)。

⑤具體運(yùn)用。根據(jù)概念中的條件和規(guī)定，能夠歸納出哪些基本性質(zhì)？這些性質(zhì)在應(yīng)用中有什么作用？通過各種形式運(yùn)用概念，加深對新概念的理解，使有關(guān)概念融會貫通成整體結(jié)構(gòu)。

以上，我們只是介紹了概念教學(xué)過程的一般模式。把這個全過程可歸結(jié)為三個階段：

（一）引進(jìn)概念途徑

數(shù)學(xué)概念本身是抽象的，所以，新概念的引入，一定要堅(jiān)持從學(xué)生的認(rèn)識水平出發(fā)，要密切聯(lián)系生產(chǎn)、生活實(shí)際。不同的概念的引進(jìn)方法也不盡相同。對于一些原始概念和一些比較抽象的概念，教師應(yīng)通過一定數(shù)量的感性材料來引入，要密切聯(lián)系生活實(shí)際，使學(xué)生“看得見，摸得著”。引用實(shí)例時一定要抓住概念的本特征，要著力于揭示概念的真實(shí)含義。如“平面”的概念，可讓學(xué)生觀察生活中一些如桌面、平靜的水面等，通過自己的探索和與同學(xué)們的交流得出結(jié)論。但是，教師一定要想辦法讓學(xué)生自己得到“無限延伸性和沒有厚度”的本質(zhì)特征。

（二）形成概念的方法

認(rèn)識一個特殊的心理過程，由于每個學(xué)生之間存在一些差異，那么完成這個過程所需的時間也不一定相同。但是就認(rèn)識過程而言，卻不能跳躍。教學(xué)中，引入概念、并使學(xué)生初步把握了概念的定義以后，還不等于形成了概念，還必須有一個去粗取精、去偽存真、由此及彼、由表及里的改造、制造，必須在感性認(rèn)識的基礎(chǔ)上對概念作辯證的分析，用不同的方式進(jìn)一步提示不同概念的本質(zhì)屬性。

1.在掌握了概念的本質(zhì)屬性之后，要引導(dǎo)學(xué)生作一些練習(xí)。例如，引入分解因式的概念后，可選下列一類練習(xí)讓學(xué)生回答。

下列由左到右的變形，哪些是屬于分解因式？哪些不是？為什么？

①（x+2）(x-2)=x²-4;

②(a²-9)=(a+3)(a-3);

③a³-9a=a(a²-9);

④x²-y²+1=(x+y)(x-y)+1;

⑤x²y+x=x²(y+1)

通過回答問題，特別是說明理由，可以初步培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用概念作簡單判斷的能力。同時，每做一次判斷，概念的本質(zhì)屬性就會在大腦里重現(xiàn)一次。因而，對于促進(jìn)概念的形成是行之有效的。

2．通過變式或圖形，深化對概念的理解。又如學(xué)習(xí)梯形這個概念時，可提供如下圖形讓學(xué)生觀察：

這里，要注意三點(diǎn)：第一，所提供的感性材料（梯形）要足量，不可太少，也沒有必要太多。太少不利于學(xué)生從中悟出規(guī)律，形成表象；太多會造成時間和精力上的浪費(fèi)。第二，要引導(dǎo)學(xué)生對每一個材料加以分析和綜合。第

三，要注意變式，全部材料要能反映出本要領(lǐng)的全部本質(zhì)屬性。

3．抓住概念之間的內(nèi)在聯(lián)系，通過新舊概念的對比，形成正確的概念。又如教學(xué)約數(shù)和倍數(shù)的概念時，可從“整除”這一概念入手，引出概念。

（三）概念的發(fā)展

學(xué)生掌握某一概念后，并不等于概念教學(xué)的結(jié)束，要用發(fā)展的眼光教概念。

1.不失時機(jī)地擴(kuò)展延伸概念的含義。一個概念總是嵌在一些概念的群體之中。它們之間有縱橫交錯的內(nèi)在聯(lián)系，必須揭示清楚。如學(xué)習(xí)比的意義之后，就要及時地把“比”、“分?jǐn)?shù)”、“除法”三者聯(lián)系在一起，找出三者的聯(lián)系和區(qū)別后，使學(xué)生居高臨下，在一個廣闊的背景下審視“比”這個概念，加深對概念的理解。

2.在一定的階段形成一定的認(rèn)識。抽象概念不要超越教材要求，否則會超越學(xué)生的承受能力。如一年級學(xué)習(xí)加法，只讓學(xué)生認(rèn)識到，加法表示“合并在一起”，“把兩個數(shù)合并在一起”要用加法即可，而不能告訴學(xué)生確切的定義：“把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運(yùn)算，叫做加法”。

總之，提高中小學(xué)數(shù)學(xué)概念教學(xué)的水平，在概念教學(xué)實(shí)踐中，教師要有意識地訓(xùn)練學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式、品質(zhì)、能力和方法。加深學(xué)生對于數(shù)學(xué)概念的理解，是使學(xué)生融會貫通地掌握數(shù)學(xué)知識、增強(qiáng)能力的前提和關(guān)鍵，是把知識學(xué)好學(xué)活的必由之路。