逆向思維 巧妙求解

【案例】教學(xué)工作常規(guī)檢查時，發(fā)現(xiàn)六年級數(shù)學(xué)作業(yè)中有這樣一道題頗值得商榷。如下：

王老師騎摩托車從學(xué)校出發(fā)去風(fēng)景區(qū)寫生，去時每小時行40千米，回來時每小時行50千米，結(jié)果比去時少用半小時。風(fēng)景區(qū)距學(xué)校多少千米?

大多數(shù)學(xué)生的解法不外乎以下三種：

解法一：0．5×50÷(50-40)×40=100(千米)。

解法二：用方程解。

解：設(shè)去時用了x小時。則回來時用了(x-0．5)小時，列方程得40x=50(x-0．5)，解得x=2．5，40×2．5=100(千米)。

解法三：去時與同來時的速度比是40：50=4：5，路程一定，速度與時間成反比，則去時與回來時的時間比是5：4。所以0．5÷(5－4)×5=2．5(小時)，則兩地相距40×2．5=100(千米)。

其中，學(xué)生A是這樣列式的：0．5÷(1/40-1/50)=100(千米)。批改時，教師在算式的旁邊畫了一個大大的紅“×”，同時加注“40千米和50千米是速度，不是時間，這道題不是工程問題，如此列式毫無道理，結(jié)果純屬巧合”。

【策略分析】學(xué)生A的解法真的沒有道理嗎?讓我們來分析一下：行程應(yīng)用題中求路程，通常是用速度乘時間，上述大多數(shù)學(xué)生即是用這種思路。學(xué)生A的列式中，1/40和1/50究竟有沒有實際意義呢?仔細(xì)思考可以發(fā)現(xiàn)，由“每小時行1/40(或1/50)千米”可得行1千米需要1/40(或1/50)小時，這樣行1千米去時就比回來時多用1/40-1/50=1/200(小時)，又知行完全程去時比同來時多用半小時，則全程是0．5÷(1/40-1/50)=100(千米)。

多么巧妙的方法呀!學(xué)生A是把速度這個量進(jìn)行逆向思維，將它轉(zhuǎn)化為行一個單位長度所用的時間來解題，解答方法非常簡潔。

【策略應(yīng)用】例1：小明從家到學(xué)校上學(xué)，如果每分鐘走60米，則要遲到6分鐘。如果每分鐘走80米，則可提前8分鐘到校。小明家距學(xué)校多少米?

分析與解答：用兩種速度各行1米所用的時間差為1/60-1/80=1/240(分鐘)。從題中可知，用每分鐘行60米和每分鐘行80米這兩種速度分別行完全程所用的時間差為6+8=14(分鐘)，則小明家與學(xué)校間的路程是(6+8)÷1/60-1/80)=3360(米)。

例2：放學(xué)回到家，林林發(fā)現(xiàn)自己的數(shù)學(xué)課本被同桌的冬冬帶回了家，林林打電話給冬冬，約好到他家去拿。放下電話，林林立即以每分鐘80米的速度向冬冬家跑去，5分鐘后，冬冬為了讓林林盡快拿到書，決定帶書去迎接林林，每分鐘走100米，他們恰好在兩家的中點處相遇。他們兩家相距多遠(yuǎn)?

分析與解答：在兩家中點處相遇，即兩人相遇時所走的路程相等，都是全程的一半。冬冬比林林遲出發(fā)5分鐘，也就是說冬冬和林林各走全程的一半所用的時間差為5分鐘，而他們各走1米所用的時間差為1/801/100=1/400(分鐘)，則全程的一半為5÷1/400=2000(米)。那么，兩家間的路程是5÷(1/80-1/100)×2=4000(米)。

例3：小華從甲地到乙地，去時每小時走5千米，回來時每小時走7千米，來回共用2．4小時。甲、乙兩地相距多少千米?

分析與解答：由題意可知，去時行1千米用1/5小時，回來時行1千米用1/7小時，則往返1千米共用的時間是1/5+1/7=12(小時)。而往返全程共用了2．4小時，要求全程，就是求2．4小時里有多少個12小時，即2．4÷(1/5+1/7)=7(千米)。

例4：加工一批零件，李師傅計劃每小時加工50個，可提前6小時完成任務(wù)。實際每小時加工60個，結(jié)果提前10小時完成了任務(wù)。這批零件共有多少個?

分析與解答：這是一道與行程應(yīng)用題具有相通性的工程問題。申題意可知，計劃加工1個零件需要1/50小時，實際加工1個零件需要1/60小時。計劃和實際各加工1個零件所用的時間差是1/50-1/60=1/300(小時)，而完成任務(wù)計劃與實際所用的時間差是10-6=4(小時)，那么這批零件共有(10-6)÷(1/50-1/60)=1200(個)。

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文。