解題思想方法的“嫁接”牽強不得

《小學教學參考》(教學版)2006年第7～8期刊登了張小慧老師撰寫的《智慧的美麗》一文，筆者深為教者的課堂應變能力所折服，文中對學生解題方法創新的呵護無疑是值得大家學習的。然而，筆者認為，文中所擷取的案例“空瓶換汽水”中教師所認同的創新解題方法，以及由“空瓶換汽水”引申到“分馬故事”中解題思想方法的“嫁接”過程值得商榷。

“空瓶換汽水”的題目是這樣的：小強和伙伴們買了10瓶汽水，店主告訴他們，喝完后用3個空瓶可以再換1瓶汽水。問：若不再多花錢，小強他們最多可以喝到多少瓶汽水?

文中由學生提出，后教師認可的創新解法是：先喝10瓶汽水，用9個空瓶換3瓶汽水，留下1個空瓶；再喝3瓶汽水，用3個空瓶換一瓶汽水；再喝1瓶汽水，共剩下2個空瓶，最后向店主借1瓶汽水，喝完后將3個空瓶換剛喝的1瓶汽水，所以小強共喝汽水15瓶。

這樣的解法真的科學合理嗎?張老師由此引申到“分馬問題”中的“借來還去法”，兩道題果真解題思想相同嗎?筆者查閱了相關資料，冷靜地進行了分析與思考后，覺得解題思想方法的“嫁接”牽強不得，現將觀點闡述如下。

一、應該從數學的角度思考——“空瓶換汽水”的解決策略

這樣的解題思路科學合理嗎?首先，向商家“借一還一”，商家的利益無疑會受到影響，而且這樣的邏輯商家也是可以不接受的。試想，如果最后只剩下1個空瓶，我們是不是可以向店主借1個空瓶和1瓶汽水，喝完后將3個空瓶還給店主，抵消剛喝完的1瓶汽水，這樣的“借二還二”顯然是不現實的。商家講究誠信固然不錯，然而誠信是在不影響利潤的前提下而言的。其次，本題中是10個空瓶，可以逐次換取汽水，若是買40瓶汽水或100瓶汽水，是不是也可以這樣三番五次不厭其煩地用空瓶換汽水呢?這種單純依靠生活經驗來解決數學問題是不可取的，也不是題目的本意所在。

本題合理的解題方法應該是怎樣的呢?到底有沒有辦法讓小強和伙伴們喝到15瓶汽水，而商家又心悅誠服呢?方法是有的，筆者認為，本題應該從數學的角度，用數學的思維與方法解答。對于“3個空瓶換1瓶汽水”可以作如下分析：因為“3個空瓶=1個空瓶+1個瓶中的汽水”，所以2個空瓶正好換1個瓶中的汽水。因此，小強和伙伴們第一次喝完10瓶汽水后，可以用10個空瓶換得10÷2=5(個)瓶中的汽水，所以他們其可喝15瓶汽水。若是買40瓶汽水，則可以喝40+40÷2=60(瓶)汽水。這樣的解題過程無論從思維方法上，還是從方法優化上，都是科學合理的。

所以筆者認為，數學解題不能“想當然”，數學生活化不是指用“純生活”的生活經驗來解決數學問題，而是指用數學的思維與方法解決生活問題，這樣方能彰顯“數學智慧的美麗”。如果教師對學生的解題過程缺乏理性思維與科學判斷，不能運用數學的方法切入問題的本質，純粹的“就生活論生活”，就會陷入“感性經驗豐富、理性思考匱乏”的境地。

二、“借一還一”僅是一種策略——對“分馬故事”的再思考

張老師為了引證解題過程中“借來還去”法的正確性，拓展學生思維，引用了數學史上的名題“分馬故事”讓學生繼續做深入的思考，這一出發點無疑是值得肯定的。然而，我覺得，“分馬故事”中的“借一還一”和“空瓶換汽水”中的“借一還一”是有著本質區別的。

“分馬故事”如下：有一位阿拉伯老人養了11匹馬，他臨死前給三個兒子留下一份遺囑：大兒子、二兒子和小兒子分別得到11匹馬中的1/2、1/4和1/6。你能找到解決問題的辦法嗎?

這道題的解決過程中選用了“借一還一”的策略，是有其內在原因的。因為1/2+1/4+1/6=11/12，就是弟兄3人并未能把全部的馬分完，只分得它的一部分“11/12”。所以，為了把11匹馬正好全部分完。就不能把“11匹”看作單位“1”，而應該看作某一整體的11/12，整個整體必定是“12”匹。因此，聰明的鄰居才想出了“借一還一”的巧妙方法。

仔細推敲，不難發現老人的遺囑有點問題：既然將11匹馬分給3個兒子，那么3個兒子所得馬的“份額”相加應當正好是一個整體，即單位“1”，而1/2+1/4+1/6=11/12<1，問題就恰恰出在這里。要使每人分得的馬都是整數匹，被分的馬的匹數就應當是2、4、6的公倍數。顯然，“11匹”不符合這個條件。

同時，“分馬問題”可以用解比例的方法輕松解決這道難題。

因為1/2：1/4：1/6=6：3：2，所以11×6/(6+3+2)=6(匹)，11×3/(6+3+2)=3(匹)，11×2/(6+3+2)=2(匹)。

因此，“分馬問題”中的“借一還一”僅是一種解題的策略。鄰居的1匹馬只不過借了“1匹馬”湊成“12匹馬”參與運算，在分的過程中是毫發無損的，分完后還給鄰居，鄰居也沒有任伺損失。在“空瓶換汽水”的過程中，店主借的是1瓶汽水，而小強還的是1個空瓶，還要用這個空瓶加其他2個空瓶抵消剛喝完的1瓶瓶中的汽水，這樣的邏輯店主是不會心甘情愿地接受的，也是可以不接受的。因此，“分馬”情境與“空瓶換汽水”情境真可謂是“差之毫厘，失之千里”，有著本質的區別。

在對張老師的這一課例進行冷靜的“透視”與深刻的反思之后，我認為，數學解題思想方法的“嫁接”耍理智、審慎，來不得半點“想當然”，更不能“形似神離”、“牽強附會”。教師需要用審慎的態度、科學的方法、數學的思維理智地分析與思考，切中數學問題的內涵和本質，合理地解決數學問題。只有這樣，數學教學過程中解題思想方法的“嫁接”才會走向成功，學生才會真正把握解題思想方法的本質所在，真正體驗到“數學智慧的美麗”。

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