數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)

汪新凡

[摘要] 數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)的整合是當(dāng)前大學(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)創(chuàng)新的有力生長點(diǎn)。在課堂教學(xué)形式下，如何整合數(shù)學(xué)建模、信息技術(shù)與大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，構(gòu)建新型教學(xué)模式具有重要的現(xiàn)實(shí)價值。

[關(guān)鍵詞]數(shù)學(xué)建模，信息技術(shù)，數(shù)學(xué)教學(xué)，整合，教學(xué)模式。

[中圖分類號]O13[文獻(xiàn)標(biāo)識碼]A[文章編號]1005-4634(2006)04-0326-04

計算機(jī)的迅速普及和數(shù)學(xué)建模技術(shù)的廣泛應(yīng)用給數(shù)學(xué)本身及數(shù)學(xué)教育帶來強(qiáng)勁的沖擊和深遠(yuǎn)的影響，數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育改革的兩個最關(guān)鍵因素。數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)的整合已成為21世紀(jì)數(shù)學(xué)課程教學(xué)創(chuàng)新的有力增長點(diǎn)。

1數(shù)學(xué)建模和信息技術(shù)為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育注入活力

數(shù)學(xué)建模將實(shí)際問題數(shù)學(xué)化，是一種創(chuàng)造性過程，它展現(xiàn)給學(xué)生的是一個“微型”的科研過程。通過數(shù)學(xué)建模將學(xué)過的數(shù)學(xué)知識和方法同周圍的現(xiàn)實(shí)世界聯(lián)系起來，不僅使學(xué)生知道數(shù)學(xué)有用、怎么用，體會到在真正的實(shí)際應(yīng)用中還需要繼續(xù)學(xué)習(xí)，而且可以使學(xué)生體驗到數(shù)學(xué)的魅力和價值。數(shù)學(xué)建模表現(xiàn)出獨(dú)特的作用：①有利于培養(yǎng)學(xué)生的洞察力、想象力和抽象能力。實(shí)際問題常常是非常規(guī)的，沒有標(biāo)準(zhǔn)答案。只有發(fā)揮創(chuàng)造性，通過觀察、聯(lián)想、判斷、解釋，才能在看似無序的狀態(tài)中找出結(jié)構(gòu)；②有利于培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維和數(shù)學(xué)意識。建模過程需要調(diào)用各種數(shù)學(xué)知識與方法去分析，才能把表面上完全不同的實(shí)際問題用相同或相類似的數(shù)學(xué)模型去描述；③有利于培養(yǎng)學(xué)生綜合運(yùn)用各種知識的能力。事實(shí)上，在數(shù)學(xué)建模中，學(xué)習(xí)者面臨的問題往往是復(fù)雜的、綜合性的，學(xué)習(xí)過程中涉及的知識面是跨學(xué)科的，需要綜合運(yùn)用多方面的知識才能予以解決，這不僅是數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用，也是不同學(xué)科知識的綜合運(yùn)用；④有利于培養(yǎng)學(xué)生應(yīng)用計算機(jī)求解數(shù)學(xué)問題的能力。建模過程中利用計算機(jī)的強(qiáng)大功能進(jìn)行數(shù)據(jù)處理、過程模擬、分析求解，能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)與計算機(jī)的結(jié)合；⑤有利于培養(yǎng)學(xué)生的交流、合作、團(tuán)結(jié)和創(chuàng)新精神。數(shù)學(xué)建模需要多個人方方面面的合作，既有分工負(fù)責(zé)，又有合作交流，可以陶冶情操，培養(yǎng)合作攻關(guān)的科研能力；⑥有利于培養(yǎng)學(xué)生求真務(wù)實(shí)的科學(xué)態(tài)度。數(shù)學(xué)建模由于沒有既定的模式，所以失誤在所難免。學(xué)生在不斷修改錯誤、發(fā)現(xiàn)真理的過程中，可以鍛煉意志品質(zhì)，克服恐懼、依賴心理，增強(qiáng)應(yīng)變能力。

信息技術(shù)集文字、聲音、圖形、影像、動畫等各種信息表現(xiàn)形態(tài)于一身，為數(shù)學(xué)教學(xué)提供了一個理想的環(huán)境和操作平臺：①信息技術(shù)的集成功能，可以提供多元化的學(xué)習(xí)情境，產(chǎn)生多樣性的外部刺激，有利于學(xué)生對知識的獲取和保持；②信息技術(shù)的再現(xiàn)功能，可以對一些抽象的過程、微觀的現(xiàn)象進(jìn)行模擬，對動態(tài)的過程、瞬間的現(xiàn)象進(jìn)行定格分析，使教學(xué)內(nèi)容變得具體生動；③信息技術(shù)的虛擬功能，使教學(xué)內(nèi)容的呈現(xiàn)擺脫了文字平面化敘述方式，學(xué)生既可進(jìn)入微觀世界，也可進(jìn)入宏觀領(lǐng)域；④信息技術(shù)的超文本功能，能實(shí)現(xiàn)教學(xué)信息組織表達(dá)的最優(yōu)化，使過去難以實(shí)現(xiàn)的教學(xué)設(shè)計變?yōu)楝F(xiàn)實(shí)；

⑤信息技術(shù)的擴(kuò)充功能，使教學(xué)內(nèi)容突破對教科書和教學(xué)輔導(dǎo)書的局限，實(shí)現(xiàn)教學(xué)資源的多樣化；⑥信息技術(shù)的交互功能，能實(shí)現(xiàn)人－機(jī)、人－機(jī)－人之間的多向溝通，實(shí)現(xiàn)人－機(jī)之間的交互學(xué)習(xí)。

數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)的整合使數(shù)學(xué)變得更加現(xiàn)實(shí)了，使數(shù)學(xué)模型思想發(fā)展到了一個前所未有的水平，它可以把數(shù)學(xué)家頭腦中的“數(shù)學(xué)實(shí)驗”變成現(xiàn)實(shí)。如利用計算機(jī)可以左右實(shí)驗的進(jìn)程，可改變模型的初始條件、計算方法等，它為研究許多不同的假說創(chuàng)造了條件；利用計算機(jī)可以創(chuàng)造一種模擬實(shí)驗環(huán)境，重現(xiàn)所要描述的客觀現(xiàn)象，進(jìn)而對呈現(xiàn)的某些規(guī)律作出判斷、預(yù)測。如中子擴(kuò)散、地震效應(yīng)就是采用計算機(jī)模擬形式對其運(yùn)動規(guī)律作出判斷預(yù)測的；利用計算機(jī)可以對大型工程項目的多種設(shè)計方案進(jìn)行比較，以選取最佳方案。如大慶油田某個區(qū)的開發(fā)方案，便是利用計算機(jī)比較了兩千多個方案后才確定的。尤其對于那些危險性很大或投資多的實(shí)驗，數(shù)學(xué)實(shí)驗正在逐步取代實(shí)物實(shí)驗。

數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)的整合為現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育注入生機(jī)和活力，還產(chǎn)生了兩門新課程——《數(shù)學(xué)實(shí)驗》和《數(shù)學(xué)建模》，這兩門新課程的建設(shè)已成為高校數(shù)學(xué)教育改革的重頭戲和推進(jìn)劑。

2基于數(shù)學(xué)建模、信息技術(shù)的數(shù)學(xué)教學(xué)模式——數(shù)學(xué)建模實(shí)驗

數(shù)學(xué)建模實(shí)驗是一種科研方法。科學(xué)家使用數(shù)學(xué)軟件研究數(shù)學(xué)問題（探索、猜想、求解、驗證），解決實(shí)際問題（建立數(shù)學(xué)模型、求數(shù)值解、進(jìn)行計算機(jī)模擬）；數(shù)學(xué)建模實(shí)驗也是一種學(xué)習(xí)手段。學(xué)習(xí)者可以借助計算機(jī)（數(shù)學(xué)軟件）繪函數(shù)圖形，做動態(tài)畫面，從觀察中發(fā)現(xiàn)某些現(xiàn)象，從現(xiàn)象中猜測某些性質(zhì)，對猜測的性質(zhì)進(jìn)行證明或反證，對證明的性質(zhì)進(jìn)行推廣應(yīng)用，在教師指導(dǎo)下進(jìn)行數(shù)學(xué)的發(fā)現(xiàn)和學(xué)習(xí)，獲得在傳統(tǒng)學(xué)習(xí)環(huán)境中無法獲得的知識信息。隨著數(shù)學(xué)教育改革的深入，“數(shù)學(xué)建模實(shí)驗”已逐步成為一種新的極具生命力的數(shù)學(xué)教學(xué)模式。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗課的教學(xué)可分三個層次進(jìn)行：

1）基本能力層。教師通過在工科數(shù)學(xué)教學(xué)中融合數(shù)學(xué)建模實(shí)例或集中開設(shè)《數(shù)學(xué)實(shí)驗》課程，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行簡單的數(shù)學(xué)實(shí)驗，讓學(xué)生體驗數(shù)學(xué)建模思想，體驗數(shù)學(xué)應(yīng)用，體驗嘗試成功的喜悅和反復(fù)調(diào)試的苦惱，提高學(xué)生用計算機(jī)求解數(shù)學(xué)模型的意識和能力；

2）具體能力層。通過開設(shè)全校性選修課《數(shù)學(xué)建模》，系統(tǒng)介紹數(shù)學(xué)建模的方法和步驟，使學(xué)生能模仿建立數(shù)學(xué)模型，掌握數(shù)學(xué)建模軟件的使用，會設(shè)計算法，編制程序，并上機(jī)調(diào)試，會進(jìn)行各種數(shù)學(xué)處理和計算，這是學(xué)生數(shù)學(xué)建模能力培養(yǎng)的重要階段；

3）問題解決層。這是數(shù)學(xué)建模教學(xué)的高級階段，主要通過每年的全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽活動，以數(shù)學(xué)建模競賽集訓(xùn)形式展開。要求學(xué)生具有對生產(chǎn)、生活、工程等實(shí)際問題的洞察力、理解力和抽象能力，通過采集、整理、分析判斷數(shù)據(jù)和信息，發(fā)現(xiàn)量與量之間的關(guān)系，建立數(shù)學(xué)模型，利用計算機(jī)對所建立的模型設(shè)計算法，編制程序，上機(jī)計算，對計算結(jié)果進(jìn)行分析處理、檢驗與評價，從而有效地解決實(shí)際問題，最終還要寫成科技論文。學(xué)生可根據(jù)自己的具體情況提出問題，可發(fā)揮自己的特長和個性，從不同角度、層次探索問題解決的方法，從而獲得綜合運(yùn)用所學(xué)知識和方法解決實(shí)際問題的經(jīng)驗，發(fā)展學(xué)生的創(chuàng)新意識和創(chuàng)新能力。

數(shù)學(xué)建模實(shí)驗關(guān)鍵在于“實(shí)驗”，“實(shí)驗”這兩個字恰恰是現(xiàn)行數(shù)學(xué)教育最缺乏的東西，因而數(shù)學(xué)建模實(shí)驗作為一門課程是對現(xiàn)行數(shù)學(xué)教育的一種重要補(bǔ)充和揚(yáng)棄。其體現(xiàn)出如下基本特征：

1）應(yīng)用性。應(yīng)用性是數(shù)學(xué)建模實(shí)驗的最基本特征。第一，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗重在數(shù)學(xué)知識技能的應(yīng)用，不在于數(shù)學(xué)知識量的掌握；第二，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗提高了學(xué)生的應(yīng)用意識；第三，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗使數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性得到充分體現(xiàn)，使學(xué)生感受到數(shù)學(xué)是無所不在的；

2）綜合性。在數(shù)學(xué)建模實(shí)驗中，學(xué)習(xí)者面臨的問題往往是復(fù)雜的、綜合性的，學(xué)習(xí)過程中涉及的知識面是跨學(xué)科的，需要綜合運(yùn)用多方面的知識才能予以解決，這不僅是數(shù)學(xué)知識的綜合運(yùn)用，也是不同學(xué)科知識的綜合運(yùn)用。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗是一種真正意義上的綜合課程；

3）主體性。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗既然是實(shí)驗就要求學(xué)生多動手、多上機(jī)。教師不再作為知識的權(quán)威而將預(yù)先組織的知識體系傳遞給學(xué)生，學(xué)生不再作為知識的接受者被動地聽任教師的擺布，課程成為師生共同探索新知識的發(fā)展過程；

4）過程性。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗并不是一種知識教育，而重在實(shí)驗的過程。“數(shù)學(xué)實(shí)驗就是對數(shù)學(xué)進(jìn)行折騰”，“就是讓學(xué)生自己折騰，自己動手做，自己用眼睛觀察，自己從觀察到的現(xiàn)象中得出結(jié)論，猜測和驗證規(guī)律。”在數(shù)學(xué)建模實(shí)驗過程中，學(xué)習(xí)者是否掌握某項具體的知識或技能并不重要，關(guān)鍵是能否對所學(xué)的知識有所選擇、判斷、解釋、應(yīng)用，從而有所發(fā)現(xiàn)、有所創(chuàng)造。換句話說，數(shù)學(xué)建模實(shí)驗的過程本身也就是它所追求的結(jié)果；

5）體驗性。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗既重視學(xué)習(xí)過程中的理性認(rèn)識，又十分重視感性認(rèn)識，即學(xué)習(xí)的體驗。因此，教學(xué)目標(biāo)不是教完多少知識點(diǎn)、多少種算法，而是強(qiáng)調(diào)讓學(xué)生嘗試和體驗，通過實(shí)驗的過程嘗試和體驗數(shù)學(xué)的探索、發(fā)現(xiàn)和應(yīng)用。體驗了，嘗試了，嘗到味道甚至只是聞到氣味了，就達(dá)到了教學(xué)效果；

6）合作性。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗是問題解決的學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)者面臨著復(fù)雜的綜合性問題，因此需要依靠學(xué)習(xí)伙伴的集體智慧和分工協(xié)作。這有利于培養(yǎng)學(xué)生的合作意識與能力，體現(xiàn)了時代和社會的要求；

7）創(chuàng)新性。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗中，需要對事物系統(tǒng)、運(yùn)動變化過程有深刻而全面細(xì)致的了解，需要對實(shí)際背景做去偽存真、去粗取精、簡化變換等步驟，需要對于對象及對象體系中的復(fù)雜眾多的數(shù)值進(jìn)行排列、集中、表示、計算、分組、分層、分類、直觀化、函數(shù)化等等工作，這些工作需要豐富的想象力和敏銳的洞察力，需要一定的直覺思維能力和發(fā)散思維能力，需要一定的靈感和頓悟，因而數(shù)學(xué)建模實(shí)驗有助于培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力。

3數(shù)學(xué)建模與信息技術(shù)的整合引發(fā)數(shù)學(xué)教育的三大質(zhì)變

3.1從重“做”數(shù)學(xué)到 “做”與“用”并重

傳統(tǒng)教學(xué)中，學(xué)生的數(shù)學(xué)活動只是“做”數(shù)學(xué)。教師在黑板上講數(shù)學(xué)，學(xué)生則每天在課堂上聽數(shù)學(xué)和在紙上做數(shù)學(xué)題。而現(xiàn)代科學(xué)的發(fā)展要求各類專業(yè)科技人才應(yīng)該具有將他所涉及的專業(yè)實(shí)際問題建立數(shù)學(xué)模型的能力。故現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育不僅注重培養(yǎng)學(xué)生的抽象思維能力、邏輯推理能力、空間想象能力和數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，而且注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模能力與數(shù)值計算能力（含數(shù)據(jù)處理能力），即注重培養(yǎng)學(xué)生“用”數(shù)學(xué)解決實(shí)際問題的能力，會用計算機(jī)進(jìn)行科學(xué)計算的能力。

3.2從重“思維”到“思維”與“實(shí)驗”并重

在傳統(tǒng)觀念中，學(xué)數(shù)學(xué)只需動腦，不必動手，輕視實(shí)驗。認(rèn)為數(shù)學(xué)學(xué)科是一種具有嚴(yán)謹(jǐn)系統(tǒng)的演繹科學(xué)，數(shù)學(xué)活動只是高度的抽象思維活動，始終逃脫不了定義、公式、定理、法則、例題、習(xí)題的模式。實(shí)際上，數(shù)學(xué)與其它自然科學(xué)一樣，也要使用“觀察”和“實(shí)驗”來形成、發(fā)展、檢驗理論。G波利亞曾指出：“數(shù)學(xué)有兩個側(cè)面，一方面它是歐幾里德式的嚴(yán)謹(jǐn)科學(xué)，從這個方面看，數(shù)學(xué)像是一門系統(tǒng)的演繹科學(xué)；但另一方面，創(chuàng)造過程中的數(shù)學(xué)，看起來像是一門實(shí)驗性的歸納科學(xué)。”弗賴登塔爾也曾指出：在傳統(tǒng)的課堂里，再創(chuàng)造方法不可能得到自由的發(fā)展。它要求有個實(shí)驗室，學(xué)生可以在那兒個別活動或是小組活動。

不過，傳統(tǒng)的數(shù)學(xué)觀仍然認(rèn)為即使數(shù)學(xué)需要實(shí)驗也只是進(jìn)行所謂的思想上的實(shí)驗（歐拉、拉卡托斯稱之為“準(zhǔn)實(shí)驗”）。而計算機(jī)促成了實(shí)驗數(shù)學(xué)的誕生，使之與純粹數(shù)學(xué)、應(yīng)用數(shù)學(xué)鼎足而立。正如郝柏林院士等人所指出的：“近20年來一部分?jǐn)?shù)學(xué)家已經(jīng)在熱烈討論‘實(shí)驗數(shù)學(xué)的發(fā)展。人們把計算機(jī)作為數(shù)學(xué)實(shí)驗室，不僅直接解決無法用解析方法處理的難題，尋求有助于抽象思維的特例或反例，而且還把它作為導(dǎo)致新發(fā)現(xiàn)和嚴(yán)格數(shù)學(xué)結(jié)果的工具。”著名的“四色定理”，便是借助于計算機(jī)獲得證明的。混沌學(xué)的創(chuàng)立和發(fā)展，則可以說是計算物理與實(shí)驗數(shù)學(xué)相結(jié)合的成果。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育不僅重視思維，而且重視實(shí)驗。數(shù)學(xué)不僅是思維的科學(xué)，也是實(shí)驗的科學(xué)。

3.3從重“教”到“教”與“學(xué)”并重

傳統(tǒng)教學(xué)片面強(qiáng)調(diào)教師與教師的教，其表現(xiàn)有二：一是以教為中心，學(xué)圍繞教轉(zhuǎn)；二是以課堂為中心，學(xué)在課堂里轉(zhuǎn)。數(shù)學(xué)建模、信息技術(shù)整合于數(shù)學(xué)課程教學(xué)，帶給教師教的過程與學(xué)生學(xué)的過程以極大的變革。數(shù)學(xué)建模實(shí)驗以實(shí)驗室為基礎(chǔ)，以學(xué)生為中心，以問題為主線，是學(xué)生積極、主動、自覺地探求知識、解決問題的過程。教學(xué)不再顯得機(jī)械、沉悶，顯現(xiàn)出勃勃生氣。

現(xiàn)代數(shù)學(xué)教育不僅重視教，也重視學(xué)。不僅要求學(xué)生具有主動探究的精神，而且要求學(xué)生對自己的探究過程主動做出監(jiān)控和調(diào)節(jié)，對自己的探究結(jié)果做出總結(jié)和評價。教圍繞學(xué)轉(zhuǎn)，以激發(fā)學(xué)生的主動性、自主性和創(chuàng)造性。

總之，數(shù)學(xué)建模、信息技術(shù)蕰涵著先進(jìn)的教育理念，同時為實(shí)現(xiàn)新教育提供了技術(shù)、方法和認(rèn)知工具，支撐著新型教學(xué)模式的建構(gòu)。要努力讓學(xué)生接受到高質(zhì)量的數(shù)學(xué)知識、思想、方法的教育，特別是數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)實(shí)驗和數(shù)學(xué)軟件的教育，如此才能體現(xiàn)出數(shù)學(xué)教育的活力和價值。

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