例談學生空間觀念的培養

傳統的課程致力于數學學科結構和形式體系的構建，在實施中，也更為看重知識的傳授和技能的訓練，對幾何部分的教學主要側重于長度、面積和體積等的計算。然而，隨著時代的發展，人們越來越關注幾何課程的豐富內涵和價值，“義務教育階段，幾何課程的首要目標是使學生更好地理解人們賴以生存的空間，發展學生的空間觀念和幾何直覺。”［１］“發展學生的空間觀念是空間與圖形課程的核心目標。”［２］這些理念意味著一種新的價值觀的誕生。為了適應數學課程這一教育價值取向的變化，適應時代發展的要求，在教學實踐中，我努力把這些理念與數學教育的目標和課程內容有機地結合起來。在這過程中，遇到了不少的困惑，于是試圖從各種角度作出分析，并積極思考對策，作出行為更進。下面結合教學實際，談一些具體的做法。

問題一：煙囪有幾個面？

學習了《長方體和正方體的表面積》后，在課堂練習中我安排了這樣一道練習：“一個鐵皮煙囪長２０厘米，寬２０厘米，高４０厘米，做５０個這樣的煙囪，至少要多少平方厘米的鐵皮？”在學生的作業中，有不少同學的算式是：“（２０×２０＋２０×４０＋２０×４０）×２×５０＝２０００００平方厘米”。當我問他們為什么這樣算時，他們回答得振振有詞：“我是根據今天學的長方體的表面積計算公式來做的呀！”“你們學得真不錯！”我沒有批評他們，“那你們這個煙囪的煙該從哪里進去？哪里排出來？”“哦！我知道了！煙囪只有４個面！”這下他們恍然大悟了。

是呀，我們的孩子對于能機械地使用公式進行計算的題目往往不在話下，可一旦遇到實際問題，便經常束手無策，這正是我們數學教學的悲哀。如何走出這種教學的誤區？有意識地在不同的時機安排適量的不同形式的生活實際問題，不失為一種行之有效的辦法。如：

△填空：一個抽屜有（）個面，一個魚缸通常是（）個面。

△應用：

①做一個無蓋的長方體魚缸，長６０厘米，寬４８厘米，高５０厘米，做這個魚缸至少需要多少平方厘米的玻璃？

②一個游泳池長４０米，寬２０米，深１．５米，要在它的四周和底面貼上瓷磚，需要多少平方米的瓷磚？

③火柴盒有里盒與外盒，有一個長５厘米，寬３厘米，高１厘米的火柴盒，里、外兩個盒的總面積是多少？……

空間與圖形的內容有著豐富的實際背景，在現實世界中有著極其廣泛的應用，因此，數學課程應注重將現實世界中有關空間與圖形的問題作為學習的素材，將數學拓寬到生活的空間，使學生從生活的空間中發現這些圖形，經歷從現實生活源泉中抽象出數學模型的過程，體驗到圖形與現實世界的緊密聯系，從而提高學生靈活應用知識解決實際問題的能力，促進學生的發展。在上述教學中，通過讓學生解決一些生活實際問題，如計算魚缸、游泳池、火柴盒等物體的表面積，讓學生“走進生活”，在計算表面積之前，首先要考慮究竟要求幾個面的面積，這樣有利于溝通數學與現實生活的緊密聯系，使學生清楚地認識到“數學來源于生活，應用于生活，而又高于生活”的道理，并培養學生具體問題具體分析的能力和習慣。

問題二：表面積是怎樣變化的？

有這樣一道練習題：“一個邊長為４厘米的正方體，分別在６個面的中心位置各挖去一個棱長為１厘米的正方體，求表面積。”大部分同學的算式是：４×４×６－１×１×６×６＝６０平方厘米。當問他們為什么這樣解答時，他們的意見是那么一致：“大正方體的表面積為９６平方厘米，每個小正方體的表面積為６平方厘米，挖去６個小正方體，表面積當然就少了３６平方厘米。”……

學生的想當然使我感到意外，但也使我意識到，這是一個很好的教學契機，有什么方法能讓學生感受到正方體表面積的變化情況？對這一題，我沒有進行講解和分析，而是布置了這樣的家庭作業：“每個同學用蘿卜或橡皮泥根據題目意思去試一試，寫下你的發現，明天帶來你做的模型”。第二天，我剛到辦公室，馬上有同學興沖沖地跑來告訴我：“老師，我知道了，挖去一個正方體后表面積不是減少了６平方厘米，而是增加了４平方厘米。”“是嗎？”看著孩子那一臉的興奮，我舒心地笑了。

在課堂上，我首先讓孩子們來交流自己的發現，當他們借助演示都確信“挖去一個正方體，表面積就增加４個正方形的面積”后，我又提出了“是不是切下一個正方體，表面積就一定會增加４個面的面積呢？”這一問題，一石激起千層浪，他們通過再次的動手實踐，發現“如果在８個頂點上切，表面積大小不變”，“如果在兩個頂點之間的棱上切下一個正方體，表面積只增加兩個面”這些結論……

“利用操作并且將操作與思考相結合，對于發展學生的空間觀念與推理能力是必不可少的。”［３］這次教學實踐活動，使我對這句話有了更為深刻的認識。同時，也使我深深地感受到，學生空間觀念的形成，只靠觀察、想像還是不夠的。由于小學生的思維處在由形象思維向抽象邏輯思維過渡階段，因此，教師還必須適時引導學生進行眼、手、耳等多種分析器官共同參與的操作實踐活動，使學生有較多的機會體驗內容豐富的圖形符號，經歷觀察、操作的探究過程，強化體驗，積累歸納和類比的經驗，使學生的空間觀念得以形成和鞏固。

那么，在教學中，如何借助操作實踐活動來發展學生的空間觀念呢？筆者以為，這樣的活動并不是越多越好，而是要找準時機，在關鍵的地方，通過操作活動，揭示數學的內在聯結，形成知識網絡，使這些知識網絡點成為學生思維的激活點。學習之初應鼓勵學生先動手，后思考，以后則應鼓勵學生先想像，再動手。如在教學完“長方體、正方體的表面積和體積”后，我專門設計了一節《立體圖形的切拼》課，借助動手操作來研究“把一個棱長為１０厘米的正方體木塊鋸成兩個相等的長方體，兩個長方體的表面積的和是多少？如果切兩刀呢？切四刀呢？”這些問題，通過組織學生動手分一分，他們發現“每切一刀，就增加兩個面”這樣的結論，然后組織一系列的變式練習：

①一根長方體方木，長８５厘米，從中間鋸成兩個長方體后，表面積增加１０平方厘米，原方木的體積是多少？

②把一個表面積為５４平方厘米的正方體木塊鋸成兩個一樣的長方體，每個長方體的表面積是多少？

③把３個同樣的正方體拼成一個長方體，表面積減少２４平方厘米，原來每個正方體的體積是多少？

④某種肥皂是一個長１２厘米，寬８厘米，厚４厘米的長方體，每１０條肥皂裝成一箱，怎樣包裝，才能使表面積最小？請你設計。

以上教學，超越教材的局限，充分挖掘可供學生操作的教學內容，讓學生在分一分，疊一疊等操作活動中，積累豐富的直接經驗，親身感受圖形的多方面性質，從而獲得更多的對圖形的“洞察”。

問題三：“我不明白題目的意思！”

在去年六年級一次數學測試中，有這樣一道填空題：把一個棱長為１分米的正方體木塊，切割成若干個棱長為１厘米的小正方體（不計損耗），如果把這些小正方體一個挨一個連起來，可以排（）長？

測試的結果令我吃驚，在兩個班９６名學生中，做對的只有４９人，正確率只有５１％。事后，我找學生了解原因，許多同學的回答是：“我不明白題目的意思。”“那你知道１立方分米等于多少立方厘米嗎？”“１０００立方厘米！”

“學生為什么不明白題目的意思？”帶著這樣的問題，我們教研組進行了一次研討，通過分析學生試卷的錯誤情況及學生的談話，認為學生都掌握“１立方分米＝１０００立方厘米”這一知識點，而當題目以另一種方式呈現時，學生卻無從下手，最主要的原因是缺乏空間能力想像能力。

那么，該如何來培養學生的想像能力呢？這學期我做了許多嘗試與實踐。首先，在平時的教學中，盡可能讓學生在課前搜集一些不同的平面圖形或立體圖形，在課堂上組織學生進行廣泛的觀察、交流和提問，如在“認識長方體、正方體”這一課時，學生帶來了牙膏盒、藥盒等各種形狀的盒子，組織學生從不同的角度，不同的方位觀察立體實物，并對自己的觀察結果進行描述。“老師，一個立體圖形最多只能看到三個面。”“老師，我知道了，長方體的６個面可以分為上下、前后、左右３組，每組的兩個面的大小相等。”……通過大量的觀察活動，學生積累了從不同角度觀察實物的經驗，在此基礎上，組織學生把觀察到的畫在紙上。其次，組織學生開展根據幾何形體畫出與之相應的平面圖形展開圖的活動，為了讓學生把展開的平面與立體圖形中的每個面對應起來。教學中一方面通過演示一些長方體、正方體表面積剝離的過程，讓學生說說展開圖中每個面在立體圖上的對應位置；另一方面，請學生自己用硬紙做立體圖形的模型，這些活動，便于學生在頭腦中積累一定的圖像結構，又能為他們學習長方體、正方體的表面積作準備。再次，是組織學生開展想像活動。如：

△應用：把４立方米的沙子鋪在長４米，寬２米的沙坑里，能鋪多少厚？并及時提問：沙坑里的沙子鋪成什么形狀？你能想像出來嗎？

上述活動，以培養學生的想像能力為出發點，讓學生由實物的形狀想像出幾何圖形，由幾何圖形想像出實物的形狀，進行幾何圖與其三視圖、展開圖之間的轉化，并在課堂教學的各個層面上展開。通過搜集和觀察活動，讓學生在不知不覺中完成對立體圖形的認識，有助于培養學生的觀察能力，在頭腦中形成對圖形的直觀印象，積累空間想像的經驗。在由從平面圖形、文字想像成幾何體的活動中，學生要將自己頭腦中的印象表現出來，實際上這是將空間觀念不斷發展為一種實踐的能力，這個想像過程，是一個充滿挑戰和趣味的活動過程，在這個過程中，學生不僅獲得對空間的理解，有效地發展了空間觀念，而且在數學思考、情感態度等方面都獲得了充足的發展。

發展學生的空間觀念離不開有價值的數學思考，離不開教師在教學層面上的有效引領和提升。因此，教師必須把握教材中“空間與圖形”的知識特點，設計大量觀察、操作、想像、推理、交流、反思等活動，讓學生在有挑戰性的充滿想像和富含思考的過程中，加深對空間與圖形的認識，借助和利用學生已有經驗，創設豐富的情境，加強直觀體驗等教學方式，促進學生學會思考，有效內化，形成空間觀念，使課程變成一種動態的具有生長性的生態環境。

參考文獻

[１]劉兼，黃翔，張丹．數學課程設計[Ｍ]．北京：高等教育出版社，２００３（８）．１９１．

[２]孔企平．小學兒童如何學數學［Ｍ］．上海：華東師范大學出版社，２０００．９７．

[３]劉兼，黃翔，張丹．數學課程設計［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００３（８）．１９８．