基于 “大單元”“大概念”理念的動點軌跡方程教學探索

作者簡介：尹燕花（1978一），女，山東省東營市教科院。

一、前言

解析幾何一直是高中數學教學的重點和難點，而動點軌跡方程的求解是解析幾何中的一個核心內容，它不僅要求學生具有扎實的代數運算能力，更要求學生具備一定的幾何直觀、邏輯推理能力和數學建模能力。在當前的數學教學中，回歸數學本質已成為提升教學質量的關鍵，尤其是在新高考模式下，解析幾何教學面臨著新挑戰[2]。在傳統的教學模式下，動點軌跡方程教學存在諸多問題：一是知識碎片化，學生孤立地學習各種求解方法（定義法、直接法、相關點法、參數法等），缺乏對方法背后幾何本質的思考，缺乏對知識間聯系的思考；二是重技巧輕概念，學生往往是套用公式或者模板解題，對于軌跡是什么、方程怎樣體現軌跡等問題沒有深入思考；三是思維固化，學生遇到變式問題時常常束手無策，缺乏靈活運用知識解決問題的能力。

隨著新高考改革的深入展開，高考對學生數學核心素養的要求也持續升級，邏輯推理、數學建模、直觀想象等關鍵詞常被提及。數學教學重回本質，注重學生對概念的理解和把握概念之間的聯系，學生思維的發展成為教學重點。在此背景下，“大單元”“大概念”理念的出現，為破解教學困局給出了新思路。“大單元”強調知識組織的結構化和完整化，打破課時或者章節間的邊界，把知識整理到一起，形成具有內在邏輯關聯的學習單元。“大概念”則是學科核心層面能遷移、有統攝力的概念，它能引領單元的內容，讓學生在知識間搭建起聯系通道，讓知識變得可靈活使用和可遷移[3]

構建知識體系，數學教學應當回歸本質。下面筆者對山東省東營市優秀課例“挖掘圓的定義，求動點軌跡方程”展開討論，分析如何基于“大單元、大概念”教學理念，利用定義法來求解平面上的動點軌跡方程并構建高效課堂，總結定義法在培養學生數學核心素養、改進課堂教學策略等方面的關鍵價值。

二、理論基礎

（一）“大單元”“大概念”教學理念

“大單元”主張以一個主題或核心概念作為線索，把散亂的知識點組織成一個有結構的知識系統，從而讓學習變得更加有整體性、有關聯性。教師要跳出一節課的限制，從單元整體的角度來進行教學設計，重視知識發生的過程、知識發展的過程、知識應用的過程。“大概念”是在學科知識中具有持久價值、可遷移的核心概念，它可以把許多具體的知識事實和技能都聯系起來進行解釋。教師圍繞“大概念”展開教學，有助于學生形成深層次的理解，使知識得到結構化存儲和靈活提取。在本研究中，“軌跡”與“方程”之間的聯系，還有“用代數的方法來研究幾何”的解析幾何思想，可視為貫穿整個單元的大概念。

（二）建構主義學習理論

建構主義學習理論強調，學習是學習者在已有經驗的基礎上建構知識的過程。有效的教學活動需要創造真實、有價值的學習情境，引發學生的認知沖突，引導學生在問題探索、合作、反思中建構對新知識的理解。如在“動點軌跡方程”的教學中，教師引導學生從圖形直觀地入手，觀察、猜想、驗證、推理，讓學生自主發現定義與方程的關系。

三、高中數學動點軌跡方程教學現狀分析

第一，在概念理解上，部分學生往往是淺表化地把軌跡看成“點的集合”，沒有真正理解形成軌跡的動態變化過程和軌跡的幾何條件，以及方程是軌跡的代數描述，對概念的理解存在割裂。第二，方法教學存在孤立化傾向，部分教師把定義法、直接法、相關點法、參數法等當作彼此獨立的技術性技巧去傳授，缺少對其適用情境、內在邏輯關聯及所含數學思想價值的剖析，導致學生選擇和判斷能力比較差，在碰到具體問題的時候，常常需要外界提示。第三，為了滿足考試的需要，解題過程程式化與模板化，學生沒有真正探究問題的本質，很難應對復雜多變的問題情境，不利于培養學生創新思維及高階問題解決能力，不利于學生厘清知識之間的關系。教學內容的呈現和整合缺乏系統性和連貫性，導致學生知識體系零散，難以形成一個系統的知識網絡，不利于學生實現知識遷移和運用。

四、基于“大單元”“大概念”理念的動點軌跡方程教學策略

本文提出的教學策略的核心在于回歸數學本質，充分展示了“大單元”“大概念”理念，通過將其貫穿課堂始終，幫助學生從宏觀的角度理解解析幾何的本質，注重通過定義法引導學生進行自主探究，激發其數學素養和思維能力。

（一）生活情境，多維啟智：激趣引思，奠定基礎

把抽象的數學概念放進學生熟悉的形象、具體的生活情境之中，讓其變得可視、可感、可親，可以激起學生的學習興趣，喚起學生腦海中原有的有關圓的知識，從而很自然地引出圓的幾何定義，突出軌跡的動態生成過程。教師展示生活中的圓的圖片、動畫，從生活中的各種各樣的圓，到數學中圓的定義，再到從平面幾何、集合、旋轉等多個角度感受圓，認識圓，順利展開本節課“挖掘圓的定義，求動點軌跡方程”的主題。全方位的展示能夠幫助學生從不同的角度去感受圓的意義，為后續知識的學習還有求動點軌跡方程等打好基礎。

在解析幾何教學中，把幾何對象變成代數方程是關鍵。拿圓的標準方程推導來說，教學主要圍繞著從幾何直觀到代數表達的轉換進行。首先是建立坐標系，教師要發問引導學生思索怎樣去建立最便利的坐標系，并提議將圓心設為坐標原點 O（0，0） =如果圓心不位于原點位置，就把它當作 O（a，b） ，這樣的坐標系創建方法表現了數學上的優化思維，為后面的代數運算打下了基礎。其次，設圓上任意一點為 P（x，y） ，并引導學生根據圓的幾何定義，即“點P 到圓心 o 的距離等于半徑r”列出幾何條件。在此過程中，教師需強調幾何條件對代數表示起到的橋梁作用，即兩點間距離公式。通過將幾何條件|OP|=r 轉化為代數方程（以圓心在原點為例），實現了從幾何到代數的初步轉化。最后，利用代數化簡得到 x²+y²=r² ，讓學生明白這道方程其實與我們幾何定義下的圓有著千絲萬縷的關系，因為這道方程不僅能夠表達出圓上任意一點符合圓的定義，而且表示了圓的代數形式，也就是我們所說的圓的標準方程：若圓心坐標是 （a，b） ，則方程為 （x-a）²+（y- b）²=r² 。這一小節的教學，呈現了從幾何問題到代數問題是如何轉化的，即建立坐標系、設點列式、化簡方程等過程，揭示了幾何對象的代數本質，體現了數學知識之間的內在統一。

（二）概念為基，變式探究：深化理解，靈活應用

在解析幾何的教學過程中，教師應著重對方程x²+y²=r² 的解集與圓上所有點的關系進行分析討論，意在讓學生能夠跳出方程這種形式化的記憶框架，深入理解幾何圖形的性質。教師可組織學生展開對“方程的解 （x，y） 和圓上的點存在怎樣的聯系”的探討，以此來提醒學生每一個方程的解 （x，y） 都對應著圓周上獨一無二的位置，而圓周上的每一個點也都對應了一個方程的解。這一雙向對應的關系，精準地闡述了軌跡方程的純粹性和完備性，即凡是軌跡上的點都滿足方程，凡是滿足方程的點都在軌跡上，從而從數學邏輯層面建立起了幾何圖形和代數方程之間的等價性。教師需要在教學中反復強調，“動點滿足的幾何性質”是軌跡方程求解的起點也是終點，讓學生意識到軌跡方程是對幾何條件的代數翻譯，避免讓學生誤以為軌跡是一條憑空產生的曲線。

教師可以設計一系列圍繞核心概念展開的變式問題，可以是動點所對應的幾何條件中的某一個要素發生變化，比如定點的變化、定長的改變、幾何條件的微調（由距離關系變為比例關系）、坐標系的選擇等。如題目“長為 2a 的線段 _AB 的兩個端點分別在 x 軸和 y 軸上滑動，求線段 _AB 的中點的軌跡方程”，教師可講解常規的相關點代入法、定義法、直接法，讓學生靈活地運用不同的數學工具解決實際問題，從而提升他們的數學素養和解題能力。在此基礎上，教師可設計變式問題：“長為 2a 的梯子 AB 的兩個端點分別在 x 軸和 y 軸上滑動，求線段 _AB 的三等分點 N （靠近A）的軌跡方程。”萬變不離其宗，通過變式問題，學生能夠深入理解幾何圖形的性質及如何將這些性質應用于求解軌跡方程，從而提升他們的幾何直覺和問題解決能力。

（三）網織知識，鏈通單元：融會貫通，提升素養

通過建立知識網，實現跨單元鏈接，打破知識點的孤立狀態，將動點軌跡方程的學習放置在更寬廣的數學知識空間內，可促使學生融會貫通，達到“活”的境界。例如，與阿波羅尼斯圓相關的問題主要考查學生對于阿波羅尼斯圓的條件、特征的了解及圓的性質的記憶。阿波羅尼斯圓最先以幾何條件進行定義，這種條件的表述反映了幾何中對稱性和比例的關系，是描述一個幾何圖形的基礎。隨著數學的發展，數學家們對于阿波羅尼斯圓的幾何特征進行了代數化的表達。在坐標系下，阿波羅尼斯圓能夠以代數方程式表示，如此將代數化的表達方式與幾何化的表達方式相結合，使我們得到阿波羅尼斯圓的解析表達，相關的結論更加簡潔明了，相關問題更加容易解決。從知識角度看，掌握了這些知識點之后，學生就可以更自由地解決與阿波羅尼斯圓相關的問題了。教師還可以引入雙紐線（在平面直角坐標系中，到定點 F₁（-a，0） 和 F₂（a，0） 距離之積等于 a²（agt;0） 的點的軌跡）的概念，幫助學生學習新的定義和新的圖形，促進學生創新意識的發展，提高學生的數學抽象能力和運用幾何知識解決幾何問題的能力。

（四）評促結合，彰顯其華：關注發展，優化教學

在基于“大單元”“大概念”理念的教學實踐活動中，教師已不再是單純的知識傳授者，而是學生學習過程的精心引導者、積極促進者和多樣評價者。這種角色轉變的本質是將評價滲透到教學活動的各個環節中，使之成為學生前進的內驅力[4]。教師利用課堂教學觀察、有針對性的提問及對學生的課堂練習情況加以反饋等多種方式手段，隨時關注學生的學習情況并給予相應的啟發性、針對性強的反饋和評價。當學生思維受阻時，教師的評價是指引方向的燈塔；當學生取得成功時，教師的評價是鼓勵的掌聲，讓學生感受成功的同時，堅定他們的信心。評價與發展互促互進，評價為發展提供證據，而發展讓評價落地生根，評價與發展在學生的認知活動中發揮著協同的作用，讓學生在動態的調整中加深理解、提升能力。

五、結論和展望

基于“大單元”“大概念”理念對動點軌跡方程教學進行探索，是對傳統教學的一次反省與改革。通過營造教學情境、推動探究活動、凸顯定義的重要性、創建聯系網絡、融合評定要素等途徑，能夠建立起一套更加完整、相關聯且具備探索性質的教學體系。這不僅可以幫助學生消除對動點軌跡方程問題的畏難心理，加深學生對于幾何本質及其與代數表達之間關系的認知，還能有效地促進學生自主搭建知識框架，發展數學抽象思維能力、邏輯推理能力及數學建模能力等核心能力。為更好地滿足差異化教學的要求，能否借助“大單元”“大概念”理念規劃更具彈性、更符合個性化學習需求的教學方案？能否利用動態幾何軟件、在線互動平臺等工具，賦予學生更多自行探究與思考的機會？這些問題都值得我們在未來的教學實踐中進一步探究。

[參考文獻]

[1］中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）［M].北京：人民教育出版社，2020：36-50.

[2]周軍.素養旨歸下的單元學習“元指導”：以“平面向量”單元為例［J］.數學月刊（中學版），2023（31）：18-22.

[3］呂立杰.大概念課程設計的內涵與實施［J」，教育研究，2020，41（10）：53-61．

[4］張奠宙，宋乃慶.數學教育概論［M］.2版.北京：高等教育出版社，2008：180-201.