凸顯數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性

整數(shù)、小數(shù)與分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)方式在本質(zhì)上是一致的，都是基于計(jì)數(shù)單位的累加。但分?jǐn)?shù)較為特殊，它的計(jì)數(shù)單位不像整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位那樣相對(duì)固定。加之，分?jǐn)?shù)的意義是多元的，在不同情境中，分?jǐn)?shù)既可以表示具體的數(shù)量，又可以描述兩個(gè)量之間的倍比關(guān)系。因此，無論在教材編寫還是教學(xué)實(shí)踐中，“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”序列知識(shí)一直是研究的熱點(diǎn)。

大量實(shí)踐表明，師生在使用教材開展教學(xué)活動(dòng)時(shí)仍存在諸多困惑。一是教材處理上的混淆。在“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)”中，許多版本教材在編寫時(shí)設(shè)計(jì)的整體學(xué)習(xí)路徑以“分率\"為主，但在學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)\"前的練習(xí)中夾帶了形如“5分米=（ 米”\"8角 元\"這樣用分?jǐn)?shù)表示具體“數(shù)量\"的練習(xí)。無疑，這是為后續(xù)學(xué)習(xí)“小數(shù)的初步認(rèn)識(shí)”作孕伏，不過，在先前的學(xué)習(xí)中突然呈現(xiàn)用分?jǐn)?shù)表示具體數(shù)量的練習(xí)，容易使尚處于分?jǐn)?shù)認(rèn)識(shí)初始階段的學(xué)生產(chǎn)生困惑。二是學(xué)生概念的混淆。學(xué)生常將平均分的“份數(shù)\"和具體的“個(gè)數(shù)\"混淆，在認(rèn)識(shí)一個(gè)物體（或圖形）的幾分之一和幾分之幾時(shí)，這個(gè)問題還不突出，但到了認(rèn)識(shí)一個(gè)整體的幾分之一和幾分之幾時(shí)，這個(gè)問題就很明顯。例如，當(dāng)教師圖文結(jié)合地出示“一盤有6個(gè)桃，平均分給2只小猴，每只小猴分得這盤桃的幾分之幾？\"這類題目時(shí)，很多4 ”學(xué)生的答案都是‘ ”。顯然，他們腦海中的分?jǐn)?shù)？的意義還是依托看得見的“個(gè)數(shù)\"來建構(gòu)的。面對(duì)上述教學(xué)過程中的尷尬和困惑，《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》已作出積極回應(yīng)，要求學(xué)生初步體會(huì)數(shù)是對(duì)數(shù)量的抽象，感悟數(shù)的概念本質(zhì)上的一致性，形成數(shù)感和符號(hào)意識(shí)。這些要求對(duì)新一輪的教材編寫具有重要的指導(dǎo)意義。但在新教材尚未全部面世的當(dāng)下，“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”序列知識(shí)的教學(xué)如何彰顯課標(biāo)理念，促進(jìn)學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體理解和把握，是擺在一線教師面前的一個(gè)重要課題。

一、整合均分對(duì)象

每一個(gè)數(shù)學(xué)概念都是事物在數(shù)量關(guān)系和空間形式方面概括抽象出來的理性結(jié)果，是人們對(duì)事物本質(zhì)屬性的認(rèn)識(shí)，需要學(xué)生經(jīng)歷概念的抽象形成過程，從整體上感悟數(shù)學(xué)概念的屬性特征，突出概念的本質(zhì)。1]

現(xiàn)行各版本教材普遍從“平均分物\"引入分?jǐn)?shù)的學(xué)習(xí)，雖然具體的編排方式不盡相同，但大體上都根據(jù)平均分的對(duì)象，分為“一個(gè)物體（或圖形）\"和“一個(gè)整體”。這一編排方式完全符合知識(shí)的發(fā)展邏輯。然而，從學(xué)生的學(xué)習(xí)邏輯來看，這種編排方式人為地割裂了知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，導(dǎo)致知識(shí)呈散點(diǎn)式學(xué)習(xí)，不利于學(xué)生對(duì)知識(shí)進(jìn)行整體建構(gòu)，導(dǎo)致學(xué)生始終不能將兩次學(xué)習(xí)成果進(jìn)行整合。直到五年級(jí)，在以單位\"1\"統(tǒng)整平均分的物體后，學(xué)生才勉強(qiáng)接受這一事實(shí)。

實(shí)際上，在以“平均分物\"情境開展“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)\"教學(xué)時(shí)，應(yīng)關(guān)注“平均分的份數(shù)\"以及“表示的份數(shù)”，而不是平均分的物體是什么，有多少個(gè)。厘清了這一點(diǎn)后，“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)\"的教學(xué)可這樣設(shè)計(jì)：創(chuàng)設(shè)兩名學(xué)生野餐活動(dòng)分食品的情境，在學(xué)生將4個(gè)蘋果、2瓶礦泉水和1個(gè)蛋糕平均分成2份后，引導(dǎo)學(xué)生通過比較發(fā)現(xiàn)其共同點(diǎn)：不管是什么食品，都是平均分成了2份，每人得到其中的1份。在此基礎(chǔ)上，揭示“把平均分成2份，每份是它的 的意義。

當(dāng)教學(xué)整合均分對(duì)象、以結(jié)構(gòu)化素材呈現(xiàn)并在比較中聚焦三次平均分的共同之處時(shí)，學(xué)生的注意力會(huì)從具體物體及個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)向“每一份占整體的多少\"這一核心問題。這樣，學(xué)生在初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)時(shí)便準(zhǔn)確地建構(gòu)了分?jǐn)?shù)的意義。這一意義具有一致性原則，有助于后續(xù)幾分之一、幾分之幾直至五年級(jí)歸納分?jǐn)?shù)意義的學(xué)習(xí)。目前，筆者以“認(rèn)識(shí)二分之一\"為題開展了教學(xué)實(shí)踐，并分析了前后測(cè)試數(shù)據(jù)。初步分析顯示，在整合均分對(duì)象采用整體教學(xué)時(shí)，學(xué)生表現(xiàn)更好。當(dāng)然，這樣安排對(duì)學(xué)生學(xué)習(xí)“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”序列知識(shí)是否有正面影響，還有待進(jìn)一步驗(yàn)證。

二、強(qiáng)化多元表征

“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”序列知識(shí)的學(xué)習(xí)最終都是為了讓學(xué)生運(yùn)用該知識(shí)解決分?jǐn)?shù)的實(shí)際問題。其中，應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘、除法解決實(shí)際問題被公認(rèn)為小學(xué)數(shù)學(xué)中難教難學(xué)的內(nèi)容之一。追根溯源，造成其難教難學(xué)的核心原因在于：面對(duì)具體情境中的某個(gè)分?jǐn)?shù)時(shí)，學(xué)生往往難以確定把哪個(gè)數(shù)量看作單位“1”，導(dǎo)致其無法正確、迅速、多元地表征出具體情境中的分?jǐn)?shù)。這也說明我們前期關(guān)于分?jǐn)?shù)意義的教學(xué)存在一定問題。

回想“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)”序列知識(shí)的學(xué)習(xí)過程可知：在三年級(jí)初步認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)和五年級(jí)深入理解分?jǐn)?shù)的意義時(shí)，學(xué)生大多有直觀的“圖”（實(shí)物或圖形）作支撐，此時(shí)單位\"1\"的量在視覺上是清晰可見的。學(xué)生看“圖\"讀取分?jǐn)?shù)或根據(jù)分?jǐn)?shù)在“圖\"中涂色表示時(shí)，分?jǐn)?shù)在他們腦海中是具體的、形象的，因此學(xué)習(xí)難度較低。而到了六年級(jí)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)乘、除法解決實(shí)際問題時(shí)，學(xué)生面對(duì)的分?jǐn)?shù)通常被置于一個(gè)個(gè)具體情境中。此時(shí)，單位“1\"的量被隱藏在文字中。若學(xué)生不能將文字情境轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的“圖”，就難以準(zhǔn)確讀取分?jǐn)?shù)的意義，解決相關(guān)實(shí)際問題自然會(huì)遭遇困難。因此，五年級(jí)“分?jǐn)?shù)的再認(rèn)識(shí)\"在該序列中具有承前啟后的關(guān)鍵作用。教師在教學(xué)這部分內(nèi)容時(shí)，不應(yīng)簡單重復(fù)三年級(jí)的已有認(rèn)知，而應(yīng)給予學(xué)生充分的時(shí)間讓其自主體驗(yàn)、多元表征不同情境中的分?jǐn)?shù)，融通表征分?jǐn)?shù)時(shí)常用的實(shí)物、言語、符號(hào)、模式等元素。例如，可經(jīng)常出示類似“五年級(jí)一班學(xué)生中，會(huì)打乒乓球的占 “地球表面有 被海洋覆蓋\"等含有分?jǐn)?shù)的信息，引導(dǎo)學(xué)生用語言、文字、示意圖、線段圖等多種表征方式表達(dá)對(duì)分?jǐn)?shù)意義的理解。通過這樣的練習(xí)，可以在模式與符號(hào)、模式與言語、符號(hào)與言語之間分別建立雙向邏輯關(guān)系，即模式 $$ 符號(hào)、模式 $$ 言語、符號(hào) $$ 言語。通過上述多個(gè)維度的表征與訓(xùn)練，學(xué)生能夠更全面地理解分?jǐn)?shù)的意義，從而為應(yīng)用分?jǐn)?shù)乘、除法解決實(shí)際問題搭建思維的臺(tái)階，掃除思維的障礙。

三、凸顯分?jǐn)?shù)單位

從數(shù)組成的角度來看，整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)均是基于“計(jì)數(shù)單位\"建構(gòu)的。整數(shù)和小數(shù)的計(jì)數(shù)單位就是十、個(gè)、十分之一、百分之一等，分?jǐn)?shù)的計(jì)數(shù)單位是隨著單位“1\"被平均分的份數(shù)的變化而變化的，它不像整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位那樣固定且相鄰計(jì)數(shù)單位都是10倍的關(guān)系。在實(shí)際教學(xué)中，由于現(xiàn)行各版本教材沒有凸顯分?jǐn)?shù)單位的重要作用，師生在教與學(xué)的過程中也就容易忽略分?jǐn)?shù)單位的核心地位。事實(shí)上，分?jǐn)?shù)單位對(duì)于理解假分?jǐn)?shù)以及進(jìn)行分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算都具有不可替代的作用。

為進(jìn)一步凸顯分?jǐn)?shù)單位的核心地位，教師在教學(xué)分?jǐn)?shù)單位時(shí)，需充分挖掘與分?jǐn)?shù)有關(guān)的教學(xué)素材，放慢教學(xué)節(jié)奏，并圖文并茂地介紹分?jǐn)?shù)的發(fā)展史。如引人“埃及分?jǐn)?shù)\"的故事，這樣的安排既可以激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的興趣，又可以為“分?jǐn)?shù)單位\"的揭示找到一個(gè)最佳契合點(diǎn)。接著，教師可直接出示一幅長方形圖，把它平均分成5份，并通過課件逐11 （20步涂色表示 這一過程看似瑣碎，卻恰到好處地彰顯了分?jǐn)?shù)單位的作用，引領(lǐng)學(xué)生的思維慢慢經(jīng)歷 不斷累加的過程，幫助學(xué)生自然感悟分?jǐn)?shù)單位的不斷累加便能形成不同的分?jǐn)?shù)，從而達(dá)成預(yù)期的教學(xué)目標(biāo)。隨著課堂教學(xué)的推進(jìn)和研究的深人，還可以引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合具體的例子，在觀察、比較、思考中進(jìn)一步認(rèn)識(shí)\"幾個(gè)一是幾\"“幾個(gè)幾分之一是幾分之幾\"和“幾個(gè)十分之一是幾點(diǎn)幾”的含義，從而有效溝通整數(shù)、小數(shù)、分?jǐn)?shù)在計(jì)數(shù)方式上的一致性。在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)過程中，適時(shí)體現(xiàn)這一主線并滲透這樣的一致性，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)基本概念的表達(dá)形式，培養(yǎng)和發(fā)展符號(hào)意識(shí)等與抽象思維有關(guān)的核心素養(yǎng)。3]

四、完整意義表達(dá)

動(dòng)作表示和語言表述是個(gè)體建構(gòu)知識(shí)的兩個(gè)重要認(rèn)知工具，二者之間的相互促進(jìn)和相互轉(zhuǎn)化在知識(shí)建構(gòu)中具有重要作用。4在三年級(jí)\"分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)\"的教學(xué)實(shí)踐中，教師往往注重引導(dǎo)學(xué)生在折一折、分一分、涂一涂等動(dòng)手操作活動(dòng)中認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)，但卻常常忽視學(xué)生對(duì)每個(gè)分?jǐn)?shù)實(shí)際意義的精準(zhǔn)表達(dá)。

究其原因，一是因?yàn)椴糠纸處熣J(rèn)為對(duì)于三年級(jí)學(xué)生而言，分?jǐn)?shù)的意義略顯抽象。如果學(xué)生結(jié)合具體的示意圖，能夠說出一個(gè)分?jǐn)?shù)，便可不進(jìn)一步追問理由或讓學(xué)生完整表述。二是因?yàn)樵诮虒W(xué)時(shí)，有部分教師非常在意學(xué)生表述分?jǐn)?shù)意義時(shí)是否用上“平均分”，若學(xué)生只說\"分成”，教師便立即指出。雖然關(guān)注“平均分\"有其意義，但過分拘泥于表述形式容易忽視學(xué)生在具體情境中用“分成\"所表達(dá)的實(shí)際含義，他們往往已經(jīng)隱含了“平均分”的意思，只不過他們表達(dá)得不夠嚴(yán)謹(jǐn)。教師根本沒意識(shí)到完整表達(dá)的重要性，判斷學(xué)生理解分?jǐn)?shù)的意義的標(biāo)準(zhǔn)是學(xué)生能夠結(jié)合具體情境正確說出一個(gè)分?jǐn)?shù)而已。實(shí)際上，倘若學(xué)生不能明確表達(dá)部分與整體的關(guān)系，則說明他們的理解并不完整，教學(xué)尚未到位。

以“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)\"為例，在學(xué)生將4個(gè)蘋果、2瓶礦泉水和1個(gè)蛋糕平均分成2份的學(xué)習(xí)過程中，教師應(yīng)通過引領(lǐng)學(xué)生表述和適度提供語言支架，幫助學(xué)生校正表述中不夠準(zhǔn)確的地方。具體教學(xué)時(shí)，教師要引導(dǎo)學(xué)生比較三次平均分的共同點(diǎn)，既關(guān)注分的過程一一把平均分成份，也關(guān)注分的結(jié)果一一每份是它的 從而使學(xué)生深刻領(lǐng)悟分?jǐn)?shù)的意義，有效發(fā)展了學(xué)生思維。因此，需要從三年級(jí)教學(xué)“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識(shí)\"時(shí)就開始強(qiáng)化精準(zhǔn)的表達(dá)，通過語言的表述加深學(xué)生對(duì)部分與整體關(guān)系的認(rèn)識(shí)。學(xué)生只有認(rèn)識(shí)到這是一種“關(guān)系”，才能認(rèn)識(shí)分?jǐn)?shù)的“份數(shù)”定義的本質(zhì)。同時(shí)，可以嘗試將這種關(guān)系與學(xué)生先前學(xué)習(xí)的“倍”的知識(shí)進(jìn)行聯(lián)系，進(jìn)一步凸顯知識(shí)的本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生感悟知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，逐步完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)。

總之，“分?jǐn)?shù)的認(rèn)識(shí)\"序列知識(shí)的教學(xué)還有待一線教師在實(shí)踐中不斷探索、完善。只有整體、系統(tǒng)把握教學(xué)內(nèi)容，注重教學(xué)內(nèi)容與核心素養(yǎng)的關(guān)聯(lián)，分?jǐn)?shù)教學(xué)才能真正幫助學(xué)生建構(gòu)穩(wěn)固且可遷移的數(shù)學(xué)知識(shí)體系。

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（江蘇省南京市教學(xué)研究室）