基于“數(shù)與運(yùn)算”的基本內(nèi)容，探索命題評價的五個維度

從2018年開始，遵循“一年監(jiān)測，三年改進(jìn)\"的反饋機(jī)制，開展自主教育質(zhì)量綜合評價監(jiān)測工作，在縣（市、區(qū)）域?qū)用妫瑢^(qū)域評價監(jiān)測報告進(jìn)行深人分析，針對主要問題，通過數(shù)據(jù)挖掘和問題歸因，解決關(guān)鍵問題，促進(jìn)課堂教學(xué)改進(jìn)。本文依據(jù)2018年、2021年及2024年浙江省中小學(xué)教育質(zhì)量綜合評價小學(xué)數(shù)學(xué)監(jiān)測結(jié)果，對第二學(xué)段（3～4年級）“數(shù)與運(yùn)算”主題進(jìn)行評價反饋，對存在的問題進(jìn)行分類分析。目的在于以命題改進(jìn)為切入點(diǎn)，通過命題評價促進(jìn)課堂教學(xué)改進(jìn)，進(jìn)而提升本區(qū)域在“數(shù)與運(yùn)算\"主題教學(xué)方面的教學(xué)水平。“數(shù)與運(yùn)算”主題的命題研制強(qiáng)調(diào)深人理解數(shù)概念的內(nèi)涵，加強(qiáng)數(shù)概念的遷移應(yīng)用能力；理解運(yùn)算能力的內(nèi)涵，認(rèn)識運(yùn)算在培養(yǎng)數(shù)學(xué)思維中的重要性，增強(qiáng)靈活運(yùn)用運(yùn)算方法的意識，豐富運(yùn)算策略，以提高運(yùn)算能力。基于此，筆者根據(jù)《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡稱“2022年版課標(biāo)\"）中的教學(xué)內(nèi)容以及學(xué)業(yè)質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)的要求，將第二學(xué)段“數(shù)與運(yùn)算”主題細(xì)化為五個命題評價維度，即“數(shù)的認(rèn)識”“運(yùn)算意義\"“理解算理\"“掌握算法\"\"運(yùn)算策略”，并呈現(xiàn)具體的試題案例，為“數(shù)與運(yùn)算\"主題的教學(xué)評價提供可資參考的命題評價框架。

一、數(shù)的認(rèn)識

數(shù)是對數(shù)量的抽象。命題評價主要要點(diǎn)指向“數(shù)表示什么？\"第二學(xué)段“數(shù)的認(rèn)識”命題的考查內(nèi)容可以按認(rèn)數(shù)的先后順序細(xì)分為數(shù)的產(chǎn)生、數(shù)的表征、數(shù)的應(yīng)用。

（一）數(shù)的產(chǎn)生：通過史料和位值概念進(jìn)行考查

數(shù)的產(chǎn)生是人類在長期的生產(chǎn)與生活實(shí)踐中逐漸抽象出來的概念，經(jīng)歷了從具體到抽象、從簡單到復(fù)雜的漫長演變過程。

1.史料視角

通過對數(shù)學(xué)本質(zhì)的直觀理解，培養(yǎng)跨學(xué)科思維與文化包容性，滲透數(shù)學(xué)思想方法。

【試題1考查點(diǎn)：小數(shù)的意義和性質(zhì)。水平層次：理解。

算籌記數(shù)的規(guī)則最早記載于《孫子算經(jīng)》，其內(nèi)容為\"凡算之法，先識其位，一縱十橫，百立千僵，千十相望，萬百相當(dāng)”。意思是使用算籌表示數(shù)的時候，個位、百位、萬位等采用“縱式”，十位、千位等采用\"橫式”，使用時相鄰的數(shù)位縱橫交錯。元朝數(shù)學(xué)家劉瑾把小數(shù)部分降低一行來表示小數(shù)，例如用算籌表示3.72，就擺成圖 ① 的形式。

（1）小宇用9根算籌擺出了一個兩位小數(shù)（如圖 ② ），這個小數(shù)是。

（2）小麗用6根算籌擺出一個兩位小數(shù)，這個小數(shù)保留一位小數(shù)后是1.2，這個兩位小數(shù)可能是。請你在圖 ③ 的框中畫出用算籌擺放的樣子。

2.位值原則

數(shù)是由數(shù)字符號及其所在位置（數(shù)位）來表達(dá)的。一個數(shù)字在不同位置上表達(dá)的數(shù)值不同，位值制的兩個基本要素是符號和基底，它們是理解數(shù)的本質(zhì)、構(gòu)建數(shù)學(xué)邏輯的基礎(chǔ)。

【試題2考查點(diǎn)：大數(shù)的認(rèn)識。水平層次：掌握。

《說文解字》提到“神農(nóng)氏結(jié)繩為治，而統(tǒng)其事”。有一位神農(nóng)氏時代的村民，用結(jié)繩來記錄獵物的數(shù)量，方法是“從右往左，滿五進(jìn)一”（如下圖），第三幅圖表示只獵物。

A.5 B.17 C.21 D.32

（二）數(shù)的表征：通過數(shù)形結(jié)合進(jìn)行考查

數(shù)的表征是數(shù)學(xué)的“語言系統(tǒng)”，它連接了具體經(jīng)驗(yàn)與抽象數(shù)學(xué)。常用的直觀表征工具有數(shù)軸、面積模型、體積模型等。

1.借助直觀，理解數(shù)的意義

直觀呈現(xiàn)能幫助學(xué)生建立“數(shù)\"的初始概念，深化對數(shù)的組成與結(jié)構(gòu)的理解，為數(shù)學(xué)運(yùn)算奠定 基礎(chǔ)。

【試題3】考查點(diǎn)：小數(shù)的初步認(rèn)識。水平層次：理解。

如下圖，點(diǎn)A表示的數(shù)是，點(diǎn) B 表示的數(shù)是。

2.借助直觀，比較數(shù)的大小關(guān)系

通過直觀描述（如數(shù)線、面積模型）方式，比較簡單的小數(shù)的大小和分?jǐn)?shù)的大小，形成數(shù)感、符號意識和運(yùn)算能力。

【試題4考查點(diǎn)：小數(shù)的大小比較。水平層次：掌握。

a，b，c 是三個小數(shù)，在三根不同的數(shù)軸上分別表示出了它們的位置，如下圖所示，其中最大的是，最小的是。

3.借助直觀，促進(jìn)數(shù)的意義和運(yùn)算的聯(lián)系

數(shù)的運(yùn)算對象都是數(shù)，對算理的理解要追溯數(shù)的意義，通過直觀工具與數(shù)學(xué)符號之間的雙向聯(lián)結(jié)，使算法可視化。

【試題5考查點(diǎn)：小數(shù)的意義和加減法。水平層次：掌握。

如圖所示， n-m 的結(jié)果大約在處。

（三）數(shù)的應(yīng)用：通過具體情境進(jìn)行考查

依據(jù)2022年版課標(biāo)中“會運(yùn)用數(shù)描述生活情境中事物的特征\"的要求，數(shù)的應(yīng)用考查要回歸具體的生活情境去解釋和運(yùn)用。

【試題6考查點(diǎn)：小數(shù)的意義。水平層次：應(yīng)用。

某次田徑比賽中，前3名選手的成績?nèi)缦卤怼８鶕?jù)成績，當(dāng)時沖刺時最有可能的情況是。

二、運(yùn)算意義

運(yùn)算意義是數(shù)量關(guān)系與邏輯結(jié)構(gòu)的本質(zhì)表達(dá)，用于分析問題和解決問題。命題評價主要要點(diǎn)指向“什么是運(yùn)算？”面對情境鼓勵學(xué)生選擇合適的方法進(jìn)行運(yùn)算。

（一）結(jié)合情境理解運(yùn)算意義

聯(lián)系生活經(jīng)驗(yàn)，理解運(yùn)算中各數(shù)代表的實(shí)際含義，選擇合理的運(yùn)算方法，解決實(shí)際問題，并能解釋運(yùn)算的理由。

【試題7考查點(diǎn)：簡單的小數(shù)加、減法。水平層次：應(yīng)用。

如圖所示，小臨媽媽點(diǎn)了一份外賣，她實(shí)際支付元。說說為什么這樣算。

（二）逆向解釋理解運(yùn)算關(guān)系

依據(jù)限定的運(yùn)算程序，選擇與之匹配的信息、問題和情境。在辨析過程中凸顯模型，強(qiáng)化運(yùn)算的意義。

【試題8考查點(diǎn)：多位數(shù)乘一位數(shù)。水平層次：掌握。

下列問題中，能用算式“ 90-20×3 ”解決的是

A.足球每個90元，壘球每個20元，各買了3個。足球總價比壘球總價貴多少元？

B.足球原價90元，現(xiàn)在降價20元，買了3個，一共花了多少元？

C.足球每個90元，每個壘球比每個足球便宜20元，買3個壘球一共多少元？

D.小沙有3張20元的人民幣，買一個單價90元的足球，還差多少元？

三、理解算理

算理是對運(yùn)算推理的理解。命題評價主要要點(diǎn)指向“為什么這樣算？\"數(shù)與運(yùn)算的命題應(yīng)關(guān)注運(yùn)算背后的思想、原理、方法，以促進(jìn)學(xué)生對算理的深度理解。

（一）過程性理解

通過直觀圖式展示運(yùn)算的全過程，考查學(xué)生識別、理解、抽象的能力。

【試題9】考查點(diǎn)：除數(shù)是一位數(shù)除法。水平層次：理解。

小明用下面的小棒圖表示了一道除法算式，這道算式是。

（二）數(shù)形互譯

通過運(yùn)算過程和直觀模型的一一對應(yīng)，考查學(xué)生對關(guān)鍵步驟的理解，使思維可視化。

【試題10】考查點(diǎn)：兩位數(shù)乘兩位數(shù)。水平層次：理解。

如圖所示，一塊長方形花園，長22米，寬13米。歡歡用豎式計算了這塊長方形花園的面積。乘法豎式中虛線框內(nèi)的數(shù)字對應(yīng)的是長方形花園的部分。

A ① B ② C.③ D ④

（三）運(yùn)算模型

通過抽象運(yùn)算模型，考查位值制、計數(shù)單位及個數(shù)在運(yùn)算中的意義及價值。

【試題11】考查點(diǎn)：小數(shù)加、減法。水平層次：理解。

如圖所示的方框中，百分位不夠減，需要向“4”退“1”，這個“1\"表示。

5.4 10] -2.7 9 2.6 1

A.10個0.001 B.10個0.01

C.10個0.1 D.10個1

四、掌握算法

算法是基于算理的具體運(yùn)算方法。命題評價主要要點(diǎn)指向“一般怎么算？\"考查學(xué)生能否理解和運(yùn)用數(shù)學(xué)運(yùn)算的步驟和方法，解決基本運(yùn)算問題。

（一）理解算理與算法關(guān)系

通過將程序性知識與概念性知識建立聯(lián)系，促進(jìn)學(xué)生對算理和算法的深人理解，培養(yǎng)推理能力，提升問題解決的靈活性。

【試題12】考查點(diǎn)：除數(shù)是一位數(shù)除法。水平層次：理解。

媽媽去購買年貨，一箱砂糖橘重5千克，媽媽買了3箱，總共付了138元。請問平均每千克砂糖橘多少元？下列能正確表達(dá)題目中信息和問題的是。

（二）理解算法多樣化與優(yōu)化關(guān)系

通過將新知轉(zhuǎn)化為舊知，體現(xiàn)計算方法的多樣化，考查學(xué)生能否在不同計算方法之間建立聯(lián)系，異中求同，發(fā)現(xiàn)本質(zhì)。

【試題13考查點(diǎn)：兩位數(shù)乘一位數(shù)。水平層次：理解。

下面計算“ 14×5^′ 的方法中，和其他的3種算法的道理不同。

（三）理解運(yùn)算的一致性

通過對各種運(yùn)算進(jìn)行比較，感悟運(yùn)算必須基于相同計數(shù)單位的內(nèi)在邏輯，考查學(xué)生對運(yùn)算一致性的理解。

【試題14】考查點(diǎn)：小數(shù)加、減法。水平層次：了解。

下面算式中哪兩個“9”不能直接相加減？

A.493+1295 B. 9 9

C.6.91-0.79 D.5.9-0.97

五、運(yùn)算策略

運(yùn)算策略是指在掌握基本算法的基礎(chǔ)上，面對具體的情形，先確定是否需要計算，再確定需要什么樣的計算方法（口算、筆算和估算等）。命題評價主要要點(diǎn)指向“怎么算方便？”要求學(xué)生能說出運(yùn)算律的含義，運(yùn)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，解決相關(guān)的簡單實(shí)際問題，形成運(yùn)算能力。

（一）運(yùn)算律應(yīng)用

計算過程算理運(yùn)算的依據(jù)是運(yùn)算律，它有助于簡化計算、優(yōu)化算法，使計算靈活、高效。

1.運(yùn)算律的識別

采用幾何圖形的方式表征運(yùn)算律，考查學(xué)生能否對運(yùn)算律進(jìn)行識別和判斷。

【試題15考查點(diǎn)：運(yùn)算律。水平層次：理解。

下圖表示的運(yùn)算律是。

A.加法結(jié)合律B.乘法結(jié)合律 C.乘法交換律 D.乘法分配律

2.運(yùn)算律的表達(dá)

通過運(yùn)算律模型在不同場景中的表達(dá)方式，尋求其中的共性，把握其本質(zhì)。

【試題16】考查點(diǎn)：運(yùn)算律。水平層次：理解。

下面的算式和圖式中，不能說明乘法交換律的是。

A. ②④ B.③④ （204號 C.②③④ D.①②③

3.運(yùn)算律的應(yīng)用

應(yīng)用運(yùn)算律進(jìn)行簡便運(yùn)算，關(guān)鍵在于根據(jù)數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，改變運(yùn)算順序，拆分和組合相關(guān)的數(shù)，將較復(fù)雜計算通過“湊整\"“湊相同\"轉(zhuǎn)化為簡單的計算。

（1）在開放式計算中應(yīng)用

設(shè)計開放式命題，考查學(xué)生能否根據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，主動檢索并匹配運(yùn)算律以進(jìn)行合理計算。

【試題17】考查點(diǎn)：運(yùn)算律。水平層次：應(yīng)用。99×29+

在橫線上填上一個數(shù)，使其可應(yīng)用定律進(jìn)行簡算。

（2）在說理判斷中應(yīng)用

在說理、解釋、判斷和比較的情境式命題中，考查學(xué)生能否主動運(yùn)用運(yùn)算律作為推理工具。

【試題18】考查點(diǎn)：運(yùn)算律。水平層次：應(yīng)用。

已知 A=26×37 B=27×36 ，要比較 A 和 B 的大小，除了計算出它們的結(jié)果進(jìn)行比較外，還可以借助長方形的面積圖來比較大小，如下圖所示。

因?yàn)?A=26×37= ）+（ ），又因?yàn)?B=27×36=（μ）+（μ） ，所以AB（填“大于\"“小于\"或“等于\"）。

（二）估算策略

在解決問題的過程中，選擇合適的方法進(jìn)行估算。如何估算取決于問題情境和對結(jié)果精度的要求。估算命題通常可以從以下兩個方面著手：一是數(shù)據(jù)的開放式設(shè)計，考查估算方法的掌握和推理能力；二是提供有效的信息和情境支持，考查學(xué)生體會估算意義和實(shí)際價值。

1.通過推理進(jìn)行估算

設(shè)計無法通過精確計算的開放式情境，考查學(xué)生是否能夠依據(jù)數(shù)據(jù)特點(diǎn)，結(jié)合數(shù)學(xué)推理，靈活運(yùn)用估算解決問題。

【試題19】考查點(diǎn)：小數(shù)加、減法。水平層次：應(yīng)用。

1.3+9.□7的得數(shù)不可能是。

A.29.57 B.28.37 C.38.37 D.20.37

2.結(jié)合情境進(jìn)行估算

結(jié)合實(shí)際情境考查學(xué)生能否運(yùn)用估算解決問題，增強(qiáng)估算意識。

【試題20】考查點(diǎn)：兩位數(shù)乘兩位數(shù)。水平層次：應(yīng)用。

王大伯把收獲的蒜頭分別裝進(jìn)大小相同的袋子中，一共裝了60袋。為了估算總產(chǎn)量，他任意抽取了其中5袋進(jìn)行稱重，具體結(jié)果如下表所示。

根據(jù)稱重結(jié)果，你能想到什么？請估算王大伯大約一共收獲多少千克蒜頭。

（浙江省教育發(fā)展研究學(xué)院）