讓學(xué)生邁向高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界

編者按

如何實(shí)施“美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)”

為促進(jìn)學(xué)生健康成長(zhǎng)、全面發(fā)展，《教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)規(guī)劃綱要（2024—2035年）》中明確提出，要“推進(jìn)學(xué)校美育浸潤(rùn)行動(dòng)”。2023年，教育部印發(fā)了《關(guān)于全面實(shí)施學(xué)校美育浸潤(rùn)行動(dòng)的通知》，強(qiáng)調(diào)“深入挖掘各學(xué)科蘊(yùn)含的美育價(jià)值與功能”\"分學(xué)科推動(dòng)制定美育教學(xué)指引”。探索學(xué)科美育教學(xué)改革，已成為教育強(qiáng)國(guó)建設(shè)三年行動(dòng)計(jì)劃的一項(xiàng)重要內(nèi)容?！懊烙?rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)”或?qū)⒊蔀樯罨行W(xué)數(shù)學(xué)課程教學(xué)改革的新賽道。深刻認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)學(xué)科美育的內(nèi)涵意義、育人價(jià)值、核心目標(biāo)與實(shí)施路徑，是高質(zhì)量開展美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的基礎(chǔ)。研究員作為教育部體衛(wèi)藝司組織研制的《學(xué)科美育教學(xué)指引叢書》中數(shù)學(xué)學(xué)科的主編，帶領(lǐng)其團(tuán)隊(duì)率先進(jìn)行了相關(guān)研究。本期特刊發(fā)他們的部分研究成果，為廣大教師積極探索美育浸潤(rùn)下的數(shù)學(xué)教學(xué)提供參考。

【摘要】讓學(xué)生開展高質(zhì)量學(xué)習(xí)是深化數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的核心議題，美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)則是促進(jìn)學(xué)生高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要手段。美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)，其內(nèi)涵意義是通過(guò)彰顯數(shù)學(xué)內(nèi)容、教師“教”與學(xué)生“學(xué)”的美育價(jià)值與功能，實(shí)現(xiàn)美育與數(shù)學(xué)教學(xué)的有機(jī)融合；其育人機(jī)理是學(xué)生在審美體驗(yàn)過(guò)程與問(wèn)題解決過(guò)程的交融共生中獲得高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；其實(shí)踐路徑是課程內(nèi)容“問(wèn)題化”教師教學(xué)“人文化\"和學(xué)生學(xué)習(xí)“詩(shī)性化”。

【關(guān)鍵詞】高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)；美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)；審美體驗(yàn)；問(wèn)題解決

追溯人類文明的悠久歷史，誰(shuí)能否認(rèn)“美”是令人精神愉悅、心靈溫潤(rùn)、生命蓬勃的文化向?qū)?，是塑造道德、啟迪智慧、?rùn)澤情感的寶貴源泉，是傳承文化、激發(fā)創(chuàng)造、開拓創(chuàng)新的深層動(dòng)力？詩(shī)人美學(xué)家席勒?qǐng)?jiān)定地宣稱：“通過(guò)美，人們才可以達(dá)到自由。”這意味著“審美活動(dòng)”—發(fā)現(xiàn)美、感受美、表現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美，應(yīng)是人類生活實(shí)踐的基本方式，也是追求幸福、豐富生命的必然選擇。

美育是人類高尚文化的實(shí)踐表征，美育首先是審美教育。而審美教育必然是道德教育、心靈教育、情感教育，也是豐富想象力和培養(yǎng)創(chuàng)新意識(shí)的教育，對(duì)涵養(yǎng)高尚道德、陶冶高潔情操、提升審美素養(yǎng)、培育人文精神、激發(fā)創(chuàng)新動(dòng)力與創(chuàng)造活力具有全面深刻和強(qiáng)勁持久的功能。美育的宗旨應(yīng)是讓人成為身心更加自由、完整、充實(shí)、崇高、優(yōu)雅的“更美的人”[2]112

教育部印發(fā)的《關(guān)于全面實(shí)施學(xué)校美育浸潤(rùn)行動(dòng)的通知》指出：“深入挖掘各學(xué)科蘊(yùn)含的美育價(jià)值與功能挖掘和運(yùn)用各學(xué)科蘊(yùn)含的品德美、社會(huì)美、科學(xué)美、健康美、勤勞美、自然美等豐富美育資源，分學(xué)科推動(dòng)制定美育教學(xué)指引。\"顯而易見(jiàn)，學(xué)科教學(xué)無(wú)疑是實(shí)施美育的主渠道。而將各個(gè)學(xué)科的美育資源“浸潤(rùn)\"于教學(xué)，不僅為深化教學(xué)改革提出了一個(gè)新理念，也為提升課堂育人質(zhì)量開辟了一條新路徑。

數(shù)學(xué)是人類神奇而偉大的文化創(chuàng)造。它是刻畫宇宙規(guī)律的精致語(yǔ)言，是開啟科學(xué)大門的精準(zhǔn)鑰匙，是服務(wù)人類生活的精妙工具，是開展思維活動(dòng)的精密模式，是創(chuàng)造人類思想的精良武器，是塑造人類智慧的精美花朵，是彰顯人類理性的精神高峰。數(shù)學(xué)與生俱來(lái)地充滿崇高深邃和攝人心魄的文化意義、美學(xué)意蘊(yùn)與教育價(jià)值。可以預(yù)見(jiàn)，沿著美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)這一新路徑，必將引領(lǐng)學(xué)生邁向高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界。

一、數(shù)學(xué)之美的內(nèi)涵特征

離開“美\"來(lái)談?wù)摂?shù)學(xué)是沒(méi)有意義的！古希臘數(shù)學(xué)家普洛克拉斯贊嘆：“哪里有數(shù)，哪里就有美！”亞里士多德宣稱：“硬說(shuō)數(shù)學(xué)科學(xué)無(wú)美可言的人是錯(cuò)誤的！\"而談到數(shù)學(xué)之美，數(shù)學(xué)家們則有深刻闡釋。龐加萊認(rèn)為：數(shù)學(xué)家通過(guò)追求美而發(fā)現(xiàn)真理。羅素指出：“數(shù)學(xué)不僅擁有真，而且擁有非凡的美，一種如雕塑般冷峻而樸素的美，一種屹立不搖的美。極其純凈，能夠臻于一種不可撼動(dòng)的極致，就如同只有最偉大的藝術(shù)才能呈現(xiàn)的那樣。\"[3]哈代堅(jiān)信：“數(shù)學(xué)家的模式就像畫家或詩(shī)人的模式，必須是美的；數(shù)學(xué)思想猶如色彩和文字，必須以和諧的方式組織在一起。美是第一標(biāo)準(zhǔn)：世界沒(méi)有給丑的數(shù)學(xué)留下永久位置?！?這些論斷足以說(shuō)明：數(shù)學(xué)是“真”與\"美\"的統(tǒng)一。數(shù)學(xué)理論就其反映客觀事物的本質(zhì)與規(guī)律而言是“真”，就其表現(xiàn)人的能動(dòng)的創(chuàng)造力而言就是“美”。簡(jiǎn)言之，數(shù)學(xué)之美，主要源于創(chuàng)造數(shù)學(xué)的“物質(zhì)材料”之美和“精神氣質(zhì)\"之美的內(nèi)在統(tǒng)一。

正如恩格斯的光輝論斷：“純數(shù)學(xué)的對(duì)象是現(xiàn)實(shí)世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系。\"[5實(shí)際上，“空間形式\"和\"數(shù)量關(guān)系\"是人類對(duì)現(xiàn)實(shí)世界的高度抽象，是“大美”世界的神圣密碼在人類心靈深處激蕩出的神妙音符，也是構(gòu)筑數(shù)學(xué)之美的\"物質(zhì)材料”，而高度抽象的背后，蘊(yùn)含了人類的宇宙觀念、主體意識(shí)、崇高信念、高尚情感、價(jià)值追求、詩(shī)性智慧、理性思維等隱性的思想，這是豐盈數(shù)學(xué)之美的“精神氣質(zhì)”。它們的內(nèi)在統(tǒng)一正是數(shù)學(xué)的文化意義，也是數(shù)學(xué)之美的本質(zhì)內(nèi)涵。莊子宣稱：“天地有大美而不言?！辟だ哉J(rèn)為：“宇宙天自然的奧秘寫在一本巨大的書上，而這本書是用數(shù)學(xué)語(yǔ)言寫成的。\"這是否意味著，數(shù)學(xué)之美是數(shù)學(xué)對(duì)宇宙本質(zhì)的詩(shī)意抒情，空間形式和數(shù)量關(guān)系不啻“天地大美”的“詩(shī)行”。老子以“道生一，一生二，二生三，三生萬(wàn)物”闡發(fā)宇宙生成論，聲稱“萬(wàn)物皆數(shù)\"的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派以數(shù)的和諧解釋宇宙之大美，這或許可以認(rèn)為是人類對(duì)數(shù)學(xué)之美所發(fā)出的“童年之聲”。

浩瀚的數(shù)學(xué)文化海洋，漂浮和潛藏著無(wú)窮無(wú)盡、異彩紛呈、美不勝收的數(shù)學(xué)之美。就其表現(xiàn)形式，至少包括數(shù)學(xué)的圖形美、數(shù)字美、概念美、定理美、公式美、方法美、思想美、思維美、問(wèn)題美、猜想美等。究其內(nèi)在本質(zhì)，至少體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯美、統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美、和諧美、對(duì)稱美、奇異美等。

二、美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵意義

美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵即指：在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過(guò)彰顯數(shù)學(xué)文化之美、教師教學(xué)之美與學(xué)生學(xué)習(xí)之美（如圖1），充分發(fā)揮數(shù)學(xué)內(nèi)容、教師“教\"和學(xué)生“學(xué)”這三個(gè)要素的美育價(jià)值，并努力促進(jìn)它們之間的相互滲透、融合與滋養(yǎng)，實(shí)現(xiàn)“美育”與\"數(shù)學(xué)教學(xué)”內(nèi)在的統(tǒng)一，從而發(fā)揮更加強(qiáng)大的以美育人功能。

圖1美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的內(nèi)涵

這里的數(shù)學(xué)文化之美主要是指：數(shù)學(xué)的圖形美、數(shù)字美、概念美、定理美、公式美、方法美、思想美、思維美、問(wèn)題美、猜想美，以及它們背后的數(shù)學(xué)邏輯美、統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美、對(duì)稱美、和諧美與奇異美。教師教學(xué)之美主要是指：教師對(duì)數(shù)學(xué)、對(duì)學(xué)生以及對(duì)教育教學(xué)的真摯熱愛(ài)，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科深刻透徹的理解，對(duì)數(shù)學(xué)之美與真理的追求，對(duì)學(xué)生錯(cuò)誤的理解、包容和鼓勵(lì)，以及教師精妙的教學(xué)設(shè)計(jì)、靈動(dòng)的教學(xué)組織、機(jī)智幽默的教學(xué)智慧、溫和謙遜的人格魅力、富有詩(shī)性與哲思的語(yǔ)言表達(dá)、工整優(yōu)美的板書等。當(dāng)然，教師的教學(xué)之美，絕非自我表演，而是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)課堂上沉浸于思考的樂(lè)趣、探索的激動(dòng)和發(fā)現(xiàn)的喜悅之中。當(dāng)一節(jié)課結(jié)束后，學(xué)生眼中閃爍著光芒，心中充滿對(duì)數(shù)學(xué)的渴望和對(duì)世界的好奇，這便是教學(xué)之美最動(dòng)人、最深刻的體現(xiàn)。學(xué)生學(xué)習(xí)之美主要是指：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)之美的由衷興奮和強(qiáng)烈好奇、對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的刨根問(wèn)底和深人探究、對(duì)數(shù)學(xué)任務(wù)的專注與沉醉，以及數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中的猜想與質(zhì)疑、頓悟與喜悅、自信與從容、反思與調(diào)整等。從學(xué)生主體發(fā)展動(dòng)能的狀態(tài)來(lái)著，學(xué)生學(xué)習(xí)之美意味著一一具有鮮明而突出的自主的學(xué)習(xí)意識(shí)、自覺(jué)的思考探究、自然的情感態(tài)度、自省的認(rèn)知監(jiān)控、自律的心理調(diào)適、自發(fā)的經(jīng)驗(yàn)分享等。

美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)獨(dú)有一蕃育人風(fēng)景：首先，課程內(nèi)容更科學(xué)地彰顯和融人數(shù)學(xué)文化之美，更深刻地反映和揭示數(shù)學(xué)的學(xué)科本質(zhì)，更全面地體現(xiàn)和突出數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)，更完整地設(shè)計(jì)和貫穿富于挑戰(zhàn)性、生動(dòng)性、開放性、趣味性的數(shù)學(xué)問(wèn)題。其次，教師精心創(chuàng)設(shè)讓學(xué)生展開審美體驗(yàn)的問(wèn)題情境和學(xué)習(xí)氛圍，圍繞數(shù)學(xué)問(wèn)題采取適切的教學(xué)方式展開教學(xué)，并在教學(xué)中充分調(diào)動(dòng)學(xué)生的情感與思維，充分關(guān)注和重視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的認(rèn)知問(wèn)題，并給予針對(duì)性的引導(dǎo)與指導(dǎo)，善于將學(xué)生提出的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新的學(xué)習(xí)資源。再次，學(xué)生對(duì)學(xué)習(xí)表現(xiàn)出積極濃厚的興趣，對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題充滿好奇和努力探究的欲望，善于獨(dú)立地用數(shù)學(xué)化的思維方式思考和解決問(wèn)題，善于從不同的角度思考問(wèn)題，能夠提出新的問(wèn)題和想法，善于不斷地追問(wèn)與反思，善于表達(dá)自己的思考與觀點(diǎn)，善于與同伴之間進(jìn)行交流研討，等等。試想：這樣的數(shù)學(xué)課堂，學(xué)生的數(shù)學(xué)思維必將得以深層次發(fā)展，學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)信念和信心必將得以深層次激發(fā)，學(xué)生在領(lǐng)悟和享受數(shù)學(xué)文化精神對(duì)生命的終身浸潤(rùn)上必將得以深層次實(shí)現(xiàn)。

三、美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐價(jià)值

回顧百年來(lái)國(guó)內(nèi)外中小學(xué)數(shù)學(xué)教育教學(xué)改革，卓有成效的理論研究與實(shí)踐探索都明確地表明：讓學(xué)生真正“熱愛(ài)數(shù)學(xué)\"以至\"迷上數(shù)學(xué)”，由此激發(fā)和培育學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)動(dòng)機(jī)，是切實(shí)提高數(shù)學(xué)育人質(zhì)量的決定性因素。母庸贅言，數(shù)學(xué)蘊(yùn)含著迷人的神奇魅力，至真至善至美的光輝，以及高尚高雅的氣質(zhì)，因此具有讓學(xué)生熱愛(ài)和著迷的獨(dú)特基因。

然而，現(xiàn)實(shí)的境況是：由于過(guò)分強(qiáng)調(diào)數(shù)學(xué)的高度抽象性和嚴(yán)格邏輯性，數(shù)學(xué)常被賦予“神秘高深、刁鉆冷酷、難以捉摸、令人頭疼\"的負(fù)面形象，這使得數(shù)學(xué)與學(xué)生之間保持了一份莊嚴(yán)而遙遠(yuǎn)的距離。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，由于缺少對(duì)數(shù)學(xué)內(nèi)涵本質(zhì)的揭示和文化價(jià)值的彰顯，數(shù)學(xué)難以對(duì)學(xué)生的情感和思維產(chǎn)生強(qiáng)勁的穿透力；或者過(guò)分追求課堂預(yù)設(shè)的教學(xué)流程與進(jìn)程，導(dǎo)致學(xué)生的個(gè)性化思維和動(dòng)態(tài)生成的寶貴問(wèn)題被忽略甚至扼殺，最終導(dǎo)致學(xué)生自信心、好奇心、學(xué)習(xí)興趣的挫傷，以及學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題解決的意識(shí)和創(chuàng)造性思維的消解與磨滅。在這樣的情況下，“熱愛(ài)\"對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)而言顯得尤為必要且珍貴。確切地說(shuō)，當(dāng)前我國(guó)中小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)迫切需要解決的問(wèn)題，正是如何讓學(xué)生真正“熱愛(ài)數(shù)學(xué)\"以至“迷上數(shù)學(xué)”！

進(jìn)一步追問(wèn)：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)究竟有怎樣的期待和向往？如何讓數(shù)學(xué)真正走進(jìn)學(xué)生的心靈？如何讓學(xué)生真正經(jīng)歷深刻的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)？對(duì)此，美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)具有不可替代的作用。

充滿美育之光的數(shù)學(xué)課堂，最能為學(xué)生放飛好奇心和激活想象力插上雄健的翅膀，最能為學(xué)生問(wèn)題解決能力和創(chuàng)造性思維能力的發(fā)展注人強(qiáng)勁動(dòng)力，最能把學(xué)生純真清澈的心靈引導(dǎo)到真善美。因此，也最能讓本是悅自賞心的數(shù)學(xué)真正走進(jìn)學(xué)生的心靈，最能讓本是天真好奇的學(xué)生真正經(jīng)歷刻骨銘心的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)美育，其本質(zhì)是通過(guò)數(shù)學(xué)的圖形美、數(shù)字美、概念美等形式之美，以及數(shù)學(xué)的邏輯美、統(tǒng)一美、簡(jiǎn)潔美等內(nèi)在美，讓學(xué)生產(chǎn)生神秘、驚詫、懷疑、興奮和震撼等最美好、最深刻的精神體驗(yàn)。在數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，教師通過(guò)充分挖掘和展現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的美學(xué)元素，充分彰顯和傾注對(duì)學(xué)生的尊重、關(guān)愛(ài)、激發(fā)、鼓舞、點(diǎn)撥與引導(dǎo)，必將讓學(xué)生的思維和情感在自由、積極中完滿地張揚(yáng)與釋放。伴隨數(shù)學(xué)內(nèi)容釋放出深刻飽滿的文化意蘊(yùn)與美妙迷人的審美光輝，并由此潛移默化地滋養(yǎng)著教學(xué)全過(guò)程。同時(shí)，伴隨教師展現(xiàn)溫暖親和的情感態(tài)度，營(yíng)造溫馨和諧的教學(xué)氛圍，學(xué)生則會(huì)被激發(fā)出強(qiáng)烈的求知欲望，進(jìn)發(fā)出自由的智慧。如果進(jìn)行意境化的想象，數(shù)學(xué)的神奇所激發(fā)出來(lái)的就是總能讓學(xué)生不由自主地感嘆“??？\"\"??！\"“噢！\"“什么？”“怎么會(huì)？”“為什么呢？\"“居然是這樣！\"“原來(lái)是這樣?。"\"真的是這樣??！\"“這也太不可思議啦！”美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)所追求的是讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中獲得返璞歸真、自然靈動(dòng)、意義建構(gòu)、觸動(dòng)心靈、歷久彌新的審美體驗(yàn)，其實(shí)踐品格在于：它可以讓數(shù)學(xué)的神奇激發(fā)學(xué)生的好奇，讓數(shù)學(xué)之美驅(qū)動(dòng)學(xué)生的學(xué)習(xí)，這無(wú)疑是讓學(xué)生真正“熱愛(ài)數(shù)學(xué)\"以至“迷上數(shù)學(xué)\"的根本之策！

四、美育在數(shù)學(xué)教學(xué)中的育人機(jī)理

卡爾·波普爾提出，科學(xué)知識(shí)的增長(zhǎng)遵循“P1（問(wèn)題） TT （試探性理論） $$ EE（錯(cuò)誤排除） P2 （新問(wèn)題）\"的循環(huán)模式，強(qiáng)調(diào)“科學(xué)和知識(shí)的增長(zhǎng)永遠(yuǎn)始于問(wèn)題，終于問(wèn)題一一越來(lái)越深化的問(wèn)題，越來(lái)越啟發(fā)新問(wèn)題的問(wèn)題”[6]數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)本質(zhì)上是以問(wèn)題為導(dǎo)向、以再創(chuàng)造為路徑的理性建構(gòu)過(guò)程。同時(shí)，數(shù)學(xué)體現(xiàn)了理性精神與詩(shī)性智慧的完美結(jié)合。審美驅(qū)動(dòng)性構(gòu)成了數(shù)學(xué)創(chuàng)造活動(dòng)的核心動(dòng)力，數(shù)學(xué)發(fā)明創(chuàng)造的動(dòng)機(jī)常常因美而生，數(shù)學(xué)家總是不懈地尋求數(shù)學(xué)理論和數(shù)學(xué)方法。與其他學(xué)科相比，數(shù)學(xué)是一門富有創(chuàng)造性的學(xué)科，幾乎完全受審美動(dòng)機(jī)的引導(dǎo)。在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，認(rèn)知準(zhǔn)則與審美準(zhǔn)則緊密相連，審美準(zhǔn)則往往能超越其他所有嚴(yán)肅和客觀的準(zhǔn)則。因此，在美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的過(guò)程中，必然包含兩種學(xué)習(xí)活動(dòng)：一種是認(rèn)知層面的“問(wèn)題解決”活動(dòng)，另一種是非認(rèn)知層面的“審美體驗(yàn)”活動(dòng)，它們共同構(gòu)成了雙向賦能的認(rèn)知統(tǒng)一體。其中，審美體驗(yàn)擴(kuò)展了問(wèn)題解決的意義邊界，賦予了數(shù)學(xué)之美的主觀能動(dòng)性，使得問(wèn)題解決過(guò)程不再枯燥乏味，進(jìn)而激發(fā)了新問(wèn)題的發(fā)現(xiàn)與解決；問(wèn)題解決則鞏固了審美體驗(yàn)的理性基礎(chǔ)，賦予了數(shù)學(xué)之美的客觀屬性，使得“美”不是無(wú)源之水，進(jìn)而觸發(fā)了更高階的審美創(chuàng)造?？傊?，審美體驗(yàn)與問(wèn)題解決相輔相成，共同塑造了人類認(rèn)知的創(chuàng)造性循環(huán)，讓人們?cè)诿赖膯⒌吓c真的求證之間自由徜徉。

美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)，能夠讓學(xué)生同時(shí)擁有“審美體驗(yàn)過(guò)程\"（即發(fā)現(xiàn)美、感受美、表現(xiàn)美、鑒賞美、創(chuàng)造美）與“問(wèn)題解決過(guò)程”（即發(fā)現(xiàn)問(wèn)題、提出問(wèn)題、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題）這兩條交互作用、相輔相成的學(xué)習(xí)主線。[2]113其中，充滿\"詩(shī)性\"的審美體驗(yàn)?zāi)転閱?wèn)題解決插上想象之翼，為問(wèn)題解決的過(guò)程平添靈動(dòng)智慧，而充滿“理性\"的問(wèn)題解決能為審美體驗(yàn)系上邏輯之錨，為審美體驗(yàn)過(guò)程平添深邃思維。這二者的內(nèi)在統(tǒng)一將更加強(qiáng)勁地提升學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力，激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)造力，從而讓學(xué)生享有高質(zhì)量的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)生活，這也是美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)現(xiàn)育人目標(biāo)的底層邏輯（如圖2）。

圖2審美體驗(yàn)與問(wèn)題解決相互作用的機(jī)理

例如，“九宮圖\"源自洛書。洛書中排列著1～9這9個(gè)數(shù)，蘊(yùn)藏著“橫行、縱列、對(duì)角線上數(shù)之和都等于15\"這一神奇的數(shù)學(xué)規(guī)律。

教師以此為題材設(shè)計(jì)教學(xué)，可將學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程與審美體驗(yàn)過(guò)程有機(jī)融為一體。7]架構(gòu)如下問(wèn)題結(jié)構(gòu)。

問(wèn)題1：在直覺(jué)上最想先填哪個(gè)格？填哪個(gè)數(shù)？為什么？

問(wèn)題2：能否將九宮格中除中間格外的其余8 個(gè)格進(jìn)行分類？

問(wèn)題3：能否將1～9這9個(gè)數(shù)中除5以外的其余8個(gè)數(shù)進(jìn)行分類？

問(wèn)題4：究竟哪類數(shù)要對(duì)應(yīng)地填人哪類方格中？

問(wèn)題5：能將1，3，7，9分別填人四個(gè)角的方格中嗎？為什么？

問(wèn)題6：從數(shù)學(xué)運(yùn)算角度分析，怎樣確定5必須填入中間格？

問(wèn)題7：能否從幾何的視角審視九宮圖的特征？

預(yù)設(shè)：對(duì)于問(wèn)題1，學(xué)生通常會(huì)首先選擇在中間格里填上5，其原因是對(duì)中心格和中間數(shù)以及它們之間的“和諧對(duì)應(yīng)\"的一種“審美發(fā)現(xiàn)”（或白“審美直覺(jué)”）與判斷。

上述預(yù)設(shè)過(guò)程，實(shí)際上是學(xué)生的問(wèn)題解決過(guò)程（究竟最先填哪個(gè)數(shù)呢？）與審美體驗(yàn)過(guò)程（噢！我發(fā)現(xiàn)了中間格是最獨(dú)特的！我還覺(jué)得5恰好是1～9這9個(gè)數(shù)的中間數(shù)！那就應(yīng)該在中間格里填中間數(shù)，這多么和諧美妙?。。┙蝗诨?dòng)的結(jié)果（如圖3）。

同理，學(xué)生在解決問(wèn)題2～問(wèn)題4的過(guò)程中，也會(huì)經(jīng)歷這一交融互動(dòng)的過(guò)程。其中，在解決問(wèn)題2的過(guò)程中，首先是通過(guò)幾何直觀引發(fā)審美直覺(jué)把四個(gè)角上的格看成一類，再把四個(gè)腰上的格看成一類，這樣的分類多么美妙?。。ㄈ鐖D4）

同樣，問(wèn)題3的解決也就呼之欲出一一既然方格已經(jīng)分為兩類了，那么1～9這9個(gè)數(shù)中除5外的其余8個(gè)數(shù)也應(yīng)分為兩類，這樣才能與兩類方格和諧對(duì)應(yīng)。其中，1，3，7，9和2，4，6，8正好是一類奇數(shù)，一類偶數(shù)，這多么美妙啊！

圖3問(wèn)題1的交融互動(dòng)過(guò)程

進(jìn)而，問(wèn)題4也就迎刃而解一一只要分兩種情況試一下就可以了！當(dāng)然，如果調(diào)動(dòng)邏輯直覺(jué)，可以作出預(yù)判一一應(yīng)該將4個(gè)偶數(shù)（而不是4個(gè)奇數(shù)）填入四個(gè)角的方格里，這樣才能滿足“橫行、縱列、對(duì)角線上的數(shù)之和都等于15”。

在數(shù)學(xué)之美浸潤(rùn)教學(xué)中，學(xué)生的審美體驗(yàn)過(guò)程與問(wèn)題解決過(guò)程形成動(dòng)態(tài)階梯式互動(dòng)，最終指向詩(shī)性直覺(jué)與理性邏輯的共生。這一教學(xué)旨?xì)w回應(yīng)了數(shù)學(xué)教育的雙重使命：既要探索知識(shí)之真，發(fā)展學(xué)生的理性邏輯；又要發(fā)展學(xué)生的審美體驗(yàn)，幫助學(xué)生獲得詩(shī)性直覺(jué)。審美體驗(yàn)使數(shù)學(xué)之理性詩(shī)意漸顯，問(wèn)題解決使數(shù)學(xué)之詩(shī)意理性去蔽。

五、美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的實(shí)踐路徑

美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的特質(zhì)表征主要體現(xiàn)在：數(shù)學(xué)課程內(nèi)容應(yīng)富含審美意蘊(yùn)，教師的教學(xué)活動(dòng)應(yīng)充滿審美意趣，學(xué)生的學(xué)習(xí)體驗(yàn)應(yīng)充滿審美意境。那么，對(duì)于一節(jié)數(shù)學(xué)課而言，究竟如何彰顯這些特質(zhì)呢？

（一）課程內(nèi)容\"問(wèn)題化\"—為學(xué)生提供精良的學(xué)習(xí)資源

課程內(nèi)容“問(wèn)題化\"具體的表現(xiàn)是：首先，立足文化意義的角度審視課程內(nèi)容，深入分析其蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)文化特征與育人價(jià)值;其次，深入挖掘（或構(gòu)造）數(shù)學(xué)內(nèi)容背后的學(xué)科素養(yǎng)與美學(xué)元素；最后，將數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)和美學(xué)元素嵌入具體的問(wèn)題情境中，并構(gòu)建符合數(shù)學(xué)邏輯和學(xué)生認(rèn)知邏輯的問(wèn)題結(jié)構(gòu)。課程內(nèi)容“問(wèn)題化\"的過(guò)程，實(shí)質(zhì)上是利用更具有學(xué)習(xí)誘因的問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過(guò)程。在此過(guò)程中，學(xué)生的情感、思維、態(tài)度與價(jià)值觀以及審美體驗(yàn)等，必將得到更充分的激活與釋放。這樣，學(xué)生將真正經(jīng)歷有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程。特別是在學(xué)生問(wèn)題解決過(guò)程中，數(shù)學(xué)觀念、數(shù)學(xué)思想方法等必將貫穿始終。

從教學(xué)論的角度分析，通過(guò)將“靜態(tài)的課程結(jié)構(gòu)\"解構(gòu)為“動(dòng)態(tài)的問(wèn)題材料”，再將“問(wèn)題材料\"重構(gòu)為“邏輯化的教學(xué)結(jié)構(gòu)”。當(dāng)教師依托教學(xué)結(jié)構(gòu)展開教學(xué)時(shí)，對(duì)于學(xué)生的學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，就是經(jīng)歷了對(duì)“邏輯化的教學(xué)結(jié)構(gòu)”進(jìn)行新的認(rèn)知建構(gòu)過(guò)程，從而真正實(shí)現(xiàn)有意義的學(xué)習(xí)。因此，課程內(nèi)容“問(wèn)題化”是彰顯數(shù)學(xué)美育教學(xué)育人功能的靈魂與命脈。

（二）教師教學(xué)\"人文化\"—為學(xué)生創(chuàng)設(shè)精致的學(xué)習(xí)氛圍

教師教學(xué)“人文化”具體的表現(xiàn)是：教師應(yīng)充滿激情地展現(xiàn)并陶醉于對(duì)數(shù)學(xué)教學(xué)的熱愛(ài)，讓學(xué)生感受到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的美妙與樂(lè)趣；教師應(yīng)真心善待每一個(gè)學(xué)生，關(guān)愛(ài)弱勢(shì)學(xué)生，并勇于承認(rèn)自己教學(xué)過(guò)程中的失誤或錯(cuò)誤;教師應(yīng)充分激發(fā)學(xué)生的好奇心、想象力，鼓勵(lì)學(xué)生大膽猜想、批判質(zhì)疑和無(wú)盡追問(wèn)，并給予學(xué)生足夠的思考、探究和交流時(shí)間，努力讓學(xué)生經(jīng)歷問(wèn)題解決的過(guò)程；教師應(yīng)充分尊重并保護(hù)每一個(gè)學(xué)生的獨(dú)特想法，既要熱情鼓勵(lì)學(xué)生的創(chuàng)新思維，又要包容學(xué)生的異想天開；教師應(yīng)充分關(guān)注并珍視學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中出現(xiàn)的認(rèn)知問(wèn)題，給予針對(duì)性的引導(dǎo)與指導(dǎo)，并善于將學(xué)生提出的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為新的學(xué)習(xí)資源；教師不應(yīng)輕易告訴學(xué)生解決問(wèn)題的具體方法，而應(yīng)讓學(xué)生在問(wèn)題解決的過(guò)程中嘗試犯錯(cuò)誤并“掙扎前行”。

教師教學(xué)的“人文化”所追求的境界和目標(biāo)是一一教師以學(xué)生的好奇心為樂(lè)，以學(xué)生的追問(wèn)為樂(lè)，以學(xué)生的迷茫為樂(lè)，以學(xué)生的興奮為樂(lè)，從而讓學(xué)生在經(jīng)歷充滿興趣的數(shù)學(xué)化過(guò)程中體驗(yàn)數(shù)學(xué)、享受數(shù)學(xué)和再創(chuàng)造數(shù)學(xué)。

（三）學(xué)生學(xué)習(xí)\"詩(shī)性化”—讓學(xué)生經(jīng)歷精妙的學(xué)習(xí)過(guò)程

學(xué)生學(xué)習(xí)“詩(shī)性化”具體的表現(xiàn)是：學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題充滿強(qiáng)烈好奇心和努力探究的欲望；學(xué)生能夠認(rèn)真傾聽并積極回應(yīng)教師提出的問(wèn)題以及學(xué)生對(duì)問(wèn)題的回答與解釋，并善于表達(dá)自己的思考與觀點(diǎn)，善于與同伴進(jìn)行交流研討；學(xué)生善于獨(dú)立地思考問(wèn)題，善于用數(shù)學(xué)化的思維方式思考和解決問(wèn)題，善于從不同的角度思考問(wèn)題，能夠提出新的問(wèn)題和想法，善于不斷地追問(wèn)與反思；學(xué)生在經(jīng)歷完整的問(wèn)題解決過(guò)程中，對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)獲得愉悅體驗(yàn)和充實(shí)收獲。

學(xué)生學(xué)習(xí)“詩(shī)性化\"的境界和目標(biāo)是—學(xué)生能夠以“玩一玩\"數(shù)學(xué)的態(tài)度對(duì)待數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，學(xué)生樂(lè)于“非常規(guī)思維”，從而產(chǎn)生好奇心；善于使用“發(fā)散性思維”，從而放飛想象力；敢于自主發(fā)現(xiàn)和提出問(wèn)題，從而調(diào)動(dòng)內(nèi)驅(qū)力；勇于面對(duì)問(wèn)題解決的挑戰(zhàn)，從而培育意志力。面對(duì)數(shù)學(xué)問(wèn)題，學(xué)生自然產(chǎn)生強(qiáng)烈的追問(wèn)和自信一一這究竟是什么？為什么會(huì)是那樣？我就不信我解不出來(lái)！這無(wú)疑是一種充滿張力的學(xué)習(xí)狀態(tài)，是內(nèi)心涌動(dòng)的對(duì)數(shù)學(xué)美的體驗(yàn)過(guò)程以及對(duì)數(shù)學(xué)文化的感知，是數(shù)學(xué)家的數(shù)學(xué)創(chuàng)造精神的美妙體現(xiàn)！

總之，美育浸潤(rùn)數(shù)學(xué)教學(xué)的迷人之處在于：教師充分彰顯數(shù)學(xué)學(xué)科之美，并用教學(xué)之美去點(diǎn)燃、激發(fā)和守護(hù)學(xué)生的學(xué)習(xí)之美。當(dāng)這三種美同頻共振、交相輝映時(shí)，學(xué)生自然而然邁向高質(zhì)量數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的新境界，數(shù)學(xué)課堂便能成為最美的文化風(fēng)景。

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（1.中國(guó)教育科學(xué)研究院2.天津師范大學(xué)教育學(xué)部）