我們?nèi)绾慰创?8×3 還是 3×8 的問題

解決“有3個盤子，每盤8個水果，一共有多少個水果？”這類問題時，如何列式才算正確，近期在網(wǎng)上引發(fā)了廣泛的關(guān)注。這一討論的起因，源于今年秋季小學(xué)數(shù)學(xué)二年級新教材中“認識乘法\"部分的微調(diào)。以人教版教材為例，教材提示學(xué)生“求5個3的和可以寫成乘法算式： 3×5=15^′ ’，將相同加數(shù)“3\"置于乘號前面，與原版教材有所不同。也就是說，上述討論的實質(zhì)在于：小學(xué)階段列算式解決乘法問題時，要不要嚴格區(qū)分被乘數(shù)與乘數(shù)？

從小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)大綱和教材的編寫歷史看，20世紀50年代至90年代末，我國一直有區(qū)分被乘數(shù)和乘數(shù)的要求。2000年后，課程標準和各版本教材都取消了對被乘數(shù)與乘數(shù)這一對概念的界定及對其書寫順序的規(guī)范。新教材在呈現(xiàn)算式時將\"3”置于乘號前，但并未給出“被乘數(shù)\"“乘數(shù)\"的概念，也并未要求嚴格區(qū)分乘號前后乘數(shù)的順序。也就是說，這種微調(diào)其實無實質(zhì)性的改變，對教學(xué)的影響是有限的。為什么不需要在形式上嚴格區(qū)分被乘數(shù)與乘數(shù)？對這一問題，可從多個方面解答。

首先，就數(shù)學(xué)本質(zhì)而言，乘數(shù)的書寫順序并不影響對乘法意義的理解。也就是說學(xué)生對乘法意義的理解并不依賴于對乘數(shù)順序?qū)懛ǖ膹娭埔?guī)定。在代數(shù)中，3個 x 或 x 個3都寫作 3x ，這一規(guī)定從初中起始終一致。正如張景中院士所指出的，乘數(shù)的順序只是一個定義問題，若從一開始就規(guī)定 2×3 和3×2 相同，既可以表示2個3相加，也可以表示3個2相加，便徹底解決了這一問題。這可以看成在最初定義乘法意義時，就引入阿貝爾群的特征，提供了運算的兩種表達方式，從而在本質(zhì)上消解了關(guān)于乘數(shù)順序的爭議。

其次，就教學(xué)過程而言，需要尊重教學(xué)邏輯。教學(xué)中應(yīng)讓學(xué)生經(jīng)歷相對完整的“識別情境一表征信息一抽象算式一遷移應(yīng)用\"的過程，通過實踐建構(gòu)乘法的意義。例如，針對“有5架小飛機，每架小飛機上有3人，一共有多少人？\"這一問題，學(xué)生需要識別其中的數(shù)學(xué)信息并進行表征。在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生可能會列出加法算式，也可能會列出乘法算式 3×5 或 5×3 。此時，教學(xué)的關(guān)鍵在于使情境圖式、語言描述和算式建立聯(lián)系。對于 3×5 或 5×3 只要學(xué)生能指出“5”表示小飛機數(shù)量，“3”表示每架小飛機上的人數(shù)，并能與加法算式建立聯(lián)系，就能充分證明他們理解了乘法的意義。而寫對乘數(shù)順序并非指向意義理解的教學(xué)自標。

最后，就評價活動而言，應(yīng)關(guān)注意義理解的本質(zhì)。重視學(xué)生對乘法意義的理解是乘法教學(xué)的共識，但如何評判這種理解存在不同觀點。通過乘數(shù)的位置來判斷是一種效度較低的評價方式。采用表現(xiàn)性評價，讓學(xué)生理解真實情境、表征乘法算式，并與情境及加法算式建立聯(lián)系，再根據(jù)學(xué)生對乘法意義的理解程度制定評價量規(guī)，能更深刻、更精準地反映學(xué)生對乘法意義的理解及其核心素養(yǎng)的發(fā)展程度。

雖然關(guān)于乘數(shù)位置的問題能引起廣泛討論頗出乎筆者預(yù)料，但討論過程本身也有助于天家對教育問題進行更深人的思考。在教學(xué)中放下對標準答案的執(zhí)念，關(guān)注教學(xué)過程，既是學(xué)生理解運算意義的一般路徑，也是體現(xiàn)數(shù)學(xué)本質(zhì)、指向核心素養(yǎng)的教學(xué)導(dǎo)向。這一討論體現(xiàn)出的教育價值追求遠超過問題本身。

（福建師范大學(xué)教育學(xué)院）