“美”與“理”的交相輝映

【課例名片】

適用年級：小學五年級。內容領域：圖形與幾何。建議課時：1課時。學科知識：認識正多面體。美育元素：正多面體的幾何結構之美；數學的邏輯之美、推理之美，公式的簡潔之美；正多面體在實際應用中的文化價值之美。

【課例背景】

正多面體作為立體幾何的經典主題，蘊含著豐富的數學文化之美。從古希臘數學家對正多面體的研究，到歐拉公式與正多面體的聯系，均展現了其獨特的文化魅力；同時，正多面體的高度對稱性和規整性，彰顯了數學圖形結構之美。這種美不僅是視覺上的享受，更是數學邏輯嚴謹性的體現，能夠引導學生在感知中領略數學的內在魅力，感受數學的邏輯推理之美、公式的簡潔之美，進而激發對幾何知識的探索欲望。

將美育融入數學教學，能夠打破傳統知識傳授的單一模式，使數學學習浸潤在美的氛圍中，不僅有助于學生習得知識，更能滋養心靈、激發興趣，這是其獨特的價值所在。美麗的正多面體作為融合教學的載體，承載著明確的教學目標：在核心素養提升上，通過探究活動強化學生的空間觀念，鍛煉邏輯思維，助其形成關鍵能力與必備品格；在認知發展上，憑借其幾何美學形態，搭建從直觀感知到抽象思維的橋梁，引導學生從欣賞外在美到深入理解內在數學規律，實現認知跨越；在審美認知和能力提升上，學生通過觀察與制作，學會以審美眼光審視事物、理解內涵，將審美感知轉化為創造美的能力，推動審美素養與知識學習能力的協同發展。

本課例是基于《義務教育數學課程標準（2022年版）》的相關內容要求（認識長方體和正方體，能描述這些圖形的特征，能辨認這些圖形的展開圖，會計算這些圖形的體積和表面積；能運用相應公式解決簡單的實際問題，形成空間觀念和初步的應用意識），對北師大版教材五年級下冊第二單元“長方體（一）”的內容進行的二度創造和設計。

【學習目標】

（1）通過自主動手拼接正多面體模型，直觀認識五種正多面體的頂點、棱、面的特征，在操作中感受正多面體的幾何結構之美。（2）經歷觀察、猜想、操作、驗證、歸納等過程，自主探究歐拉公式，感受數學的邏輯之美、推理之美，公式的簡潔之美。（3）了解柏拉圖、歐拉在正多面體領域的成就，欣賞正多面體在建筑、藝術等領域的應用，激發學習熱情，增強數學文化認同感，感受正多面體實際應用的文化價值之美。

【教學設計】

本課從生活中抽象出平面圖形，認識正多邊形。以正方形拼接正方體為例，首先，回顧正方體的特點，介紹正六面體的概念，初步感知正多面體的特征。其次，通過其他正多邊形組成的圖形，引導學生經歷觀察、猜想、操作等過程，認識正多面體，感受其美與應用。最后，將正多面體展開，由立體圖形回歸平面圖形設置懸念。教學遵循從具象到抽象的認知規律，通過動手操作，達成認識正多面體、感知其美的目標。

【教學過程】

環節一：生活萬象藏形韻——從實物中剝離平面之美

師：在我們熟悉的校園場景里，你們能找到哪些平面圖形？

生：（爭先恐后地回答）正方形、圓、長方形、正六邊形、三角形、梯形、五邊形…

師：你們真棒，都會用數學的眼光去觀察世界了。

（教師出示圖1）

圖1

（在師生共同探討歸納正多邊形特點后，教師引人課題）

環節二：平面拼圖筑空間一由二維圖形綻 放立體之姿

（由學生熟悉的正方形拼成正方體，回顧正方體的特點，引導學生觀察每個頂點所連接的面數，給出正六面體定義）

（教師出示圖2）

師：（出示1個三角形）這是1個正三角形，（出示4個正三角形組成的圖形）這又是什么？

（師生互動，找到4個平面圖形都是由相同的正多邊形組成）

師：觀察，這4個圖形，它們都是由相同的正多邊形組成。它們會不會也是某個立體圖形的展開圖呢？（停頓3～4秒鐘）不妨，你們試著拼一拼，驗證一下。

（全班學生動手操作，教師巡視）

師：拼出來了嗎？

生：（得意地）拼出來了！

師：舉起來，給大家看一看！沒拼完的，同伴幫幫忙。繼續巡視）都拼好了嗎？把你的作品舉高，我們一起欣賞。你們的動手能力真強！看來，它們的確是立體圖形的展開圖。拼出來的立體圖形該叫什么呢？

（學生小組討論交流、命名）

師：分享一下，你們起了什么名字？

生：第一個，我們組命名為正四面體。

師：你們是怎么想的？

生：它有4個面，每個面都是正三角形。

師：很好，每個面都是相同的正三角形，那每個頂點都連接幾個面？

生：3個。

（學生依次將剩余3個正多面體進行命名）

師：在命名時，你們并非隨意而為，而是有一定的依據，因此你們的命名就是它們正確的名字。

師：這些立體圖形，統稱為正多面體，就是我們今天要研究的內容。

師：你們剛才拼出了正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體，誰來大膽地猜一猜，還會有哪些正多面體？

生：我覺得還有正六十四面體。

生：正三十二面體，還有正八十面體。

生：正五十六面體。

師：（搖頭）很遺憾地告訴大家，你們都猜錯了，實際上只有前面討論過的5種，（停頓幾秒）這是為什么呢？讓我們一起來探究。

（教師現場演示）

師：以正三角形為例，2個正三角形無法構成一個角，3個可以，4個可以，5個可以，但6個就坍塌成平面。同理，2個正方形不能構成一個角，3個可以，4個則形成平面。正五邊形，3個可以，4個就會有重疊；正六邊形，3個就已經是一個平面。所以正六邊形以上的正多邊形不能拼成正多面體，如圖3所示。

圖3

師：正多面體又稱為柏拉圖多面體。柏拉圖是一位著名的數學家，讓我們邀請柏拉圖“本人”，來為大家講講其中的原因。

（借助電腦動畫敘述正多面體被稱為柏拉圖多面體的原因，并講述正多面體的發現歷史）

師：剛才我們一起認識了正多面體，實際上，它們早已融入我們的生活中。那么，你們在日常生活中見過哪些正多面體的應用呢？

生：我們的玩具魔方就是正多面體！

（師生共同了解正多面體在生活中的應用）

環節三：正多面體探奧秘一一從規律探尋到文化延伸

師：正多面體帶給我們美的享受，它們不僅美觀，還具有獨特的魅力。接下來，讓我們開啟探索正多面體的神奇之旅。還記得剛才的正六面體嗎？我們研究了它的面、頂點和棱。現在我們來數一數這些正多面體的面、頂點和棱。它們的面數，還需要數嗎？

（教師出示統計表格）

生：不需要。正多少面體，就有多少個面。

師：確實如此，名稱中已經包含了這一信息。那么，頂點數和棱數是多少呢？請以小組為單位進行統計，并記錄到表格中。

（學生小組活動，教師巡視指導）

師：同學們，我剛才觀察了兩個小組，發現正四面體的統計速度很快，而正十二面體和正二十面體的統計速度較慢，且結果不統一。相信其他小組也遇到了類似的問題。有什么好方法與大家分享一下？

生：數一個，標記一個。

師：非常好，標記過的就表示已經數過。那么，就用這個方法再次進行統計。（教師繼續巡視指導）師：請同學們整理好圖形，分享一下你們組的統計結果。（學生匯報，教師根據學生的匯報，呈現統計結果，如表1所示）

表1

師：你們小組的統計非常準確。觀察表格，你們有什么發現嗎？先在小組內進行交流。

（學生在小組內交流）

師：誰愿意分享你們的發現？

生：我們小組發現正多面體的面數、頂點數和棱數都是偶數。

生：我們小組發現正多面體的面數和頂點數之和，比棱數多2。

師：是這樣嗎？大家快速驗證一下。

（給學生驗證時間）

生：太神奇了，確實如他們所說！

師：確實如此，面數加頂點數等于棱數加2。這就是著名的歐拉定理。面數、頂點數和棱數之間存在這樣的數量關系，正多面體真是奇妙無窮！但它們的奇妙之處遠不止于此，還有更多令人驚嘆的特性，仔細觀察。

生：我發現正六面體和正八面體它們的棱數相同。

師：說得很好，還有其他發現嗎？（停頓幾秒，指向正六面體、正八面體）

生：我有新發現，正六面體和正八面體面數和頂點數互相交換。

生：正十二面體和正二十面體也是這樣，棱數相同，面數與頂點數互換。

師：它們之間的這種關系，就是對偶關系。那么，什么是正多面體之間的對偶關系呢？我們可以把它想象成一種非常奇妙的好朋友關系。

師：如正六面體，它有6個面，找到每個面的中心點，連接這6個點，會得到什么圖形呢？

生：是正八面體。

師：如果連接正八面體每個面的中心點，又會得到什么圖形呢？

生：是正六面體。

（教師出示圖4）

圖4

師：它們居然能夠互相得到，你中有我，我中有你，就像一對好朋友。這就是對偶關系，這難道不令人驚嘆嗎？

師：同樣的道理，正十二面體和正二十面體也是這樣的好朋友關系。那么，正四面體的好朋友是誰？

生：（興奮地）是它自身。

師：確實如此，正四面體與自身形成對偶關系。

師：今天，我們一起經歷了從平面展開圖到立體圖形的探索過程。如果將手中的正多面體展開，會得到多少種不同的展開圖呢？這個問題，作為今天的課后作業，請大家繼續探索這些美妙的正多面體。

【課例點評】

數學之美，蘊含于嚴謹的邏輯與和諧的結構之中。正多面體作為立體幾何的經典模型，不僅是空間觀念的載體，更蘊含著對稱之韻、平衡之趣和邏輯之妙。在教學實踐中，如何突破單一維度的知識傳授，讓學生在觸摸幾何形態時感知美、在探索規律時創造美，成為學科育人的重要命題。本課例以美育為主線，將正多面體的認知過程轉化為一場“發現美、理解美、踐行美\"的旅程，讓數學核心素養在美的浸潤中自然生長。

一、以美為線，編織知識與能力的共生網絡

正多面體的教學并非孤立的概念識記，而是構建“觀察一操作一推理\"的完整認知鏈。教師從學生熟悉的正方體人手，通過對比、分析，引導學生發現正多面體的獨特之處，這種由淺入深、從已知到未知的遷移，恰似用美的絲線串聯起散落的知識珍珠，既鞏固了平面幾何的基礎知識，又為空間觀念的建立搭建了階梯。通過“紙張折疊正多面體\"的實踐活動，抽象的空間關系被轉化為可觸摸的形態。當紙張的褶皺變成規整的幾何體，知識不再是課本上的文字，而是成為“形與數”共舞的美感體驗，學生的觀察、操作與邏輯思維能力也在這一過程中同步提升。

二、在探索與協作中，讓美成為思維的催化劑

正多面體圖形的結構之美，唯有通過自主發現才能觸動心靈，小組合作則讓美的認知更加立體。探索“面數與棱數的關系”，通過不同視角的碰撞讓結構美有了更豐富的內涵。學生在傾聽中學會尊重差異，在辯論中完善邏輯，最終達成共識：數學之美，既在于形式的規整，更在于思維的多元。開展小組合作探究活動，通過交流與協作，激發思維的火花，使學習過程充滿樂趣與挑戰，同時激發學生的學習熱情。

三、以美為媒，構建浸潤式的育人場域

教師的引導藝術，是美育落地的關鍵。面對學生在學習中遇到的難題，不急于直接糾正，而是通過巧妙的啟發，引導學生在自主探索中觸摸對稱的奧妙。教師含笑的目光始終追隨著每個探索者的身影，贊許的點頭如同春風拂過，營造一個安全而溫暖的場域，讓課堂超越單純的知識傳遞，成為美自然生長的土壤。

本課例將美育與數學核心素養深度融合，在展現結構美、邏輯美、文化美、創造美的過程中，同步培育學生的直觀想象、邏輯推理、數學抽象等關鍵能力，既讓學生體會數學本身的形式與內涵之美，又在教學相長中實現學科素養與人文情懷的共振，為數學學科育人提供了生動的范例。

（遼寧省大連經濟技術開發區紅星海國際學校）