如何探索分數除以整數的運算一致性

數的運算本質上是計數單位的運算，體現了數的運算的一致性。對學生而言，整數和小數的計數單位較為直觀，而分數的計數單位則隨著分母的變化，理解起來具有一定的挑戰性。通過以下教學環節，有助于學生理解計數單位的均分原理。

一、討論多種算法，直觀理解算理

教師出示問題：把一張紙的 平均分成2份，每份是這張紙的幾分之幾？

學生通過畫圖和列式計算進行解答。

預設學生會畫出兩種圖式（如圖1）。

圖1

借助圖1中的圖式討論兩種算法。算法（1） 。算法（2） （20學生還有可能把分數轉化為小數進行計算。算法（3） 通過對上述多種算法的討論、交流，引導學生思考以下五個問題。問題1：算法（1）中的 4÷2 ”表示什么意思？問題2：算法（2）中為什么將除以2寫成乘

問題3：算法（1）和算法（2）有什么共同點？

題J異仫＼/H異仫＼H公六H點：問題4：算法（3）的計算過程，也能借助計數單位來解釋嗎？問題5：這三種算法的思考過程有什么共同點？在解決上述問題中，引導學生得出：都是把它們看成幾個的計數單位平均分成2份。

二、呈現變式問題，強化理解算理

教師呈現變式問題：把一張紙的 平均分成3份，每份是這張紙的幾分之幾？

讓學生獨立畫圖并列式計算。預設學生會畫出兩種圖式（如圖2），并提出兩種算法。

圖2

算法（1）： 部分學生無法繼續）。

算法（2）：" 4／ 5÷"3 = 4／"5× 1／"3"= 4／ 1 5"。

通過對上述兩種算法的討論、交流，引導學生思考以下三個問題。

問題1：算法（1）中將4份平均分成3份，求其中的1份存在困難，通過討論，找到這1份相當于這張長方形紙的幾分之幾？

引導學生思考：將4份平均分成3份，相當于將4份的每份都進一步平均分成3份，從而將 轉化為 進而實現12個 平均分成3份，即 " 1 2／ 1 5÷"3 = 1 2÷3／1 5 "= 4／ 1 5 "。

問題2：算法（2）的思考過程是怎樣的？

引導學生思考算法（2）的計算過程：

問題3：這兩種計算過程的共同點是什么？引導學生思考：都將 的分數單位轉化為更小的分數單位，再用12個 （分數單位）平均分成3份。

三、建立內在關聯，凸顯運算本質

教師呈現不同除法算式，引導學生觀察思考：它們在計算過程中都進行了怎樣的轉化？（1 ）30÷5=（30 個1） ÷5=6 個 1=6 （2 ）3÷5=（30 個 0.1）÷5=6 個 0.1=0.6 （3 10.3÷5=（30 個 0.01）÷5=6 個 0.01=0.06 （4） 0 $＼frac { 6 } { 1 0 0 } = ＼frac { 3 } { 5 0 } 。$

小結：在計算過程中，都將計數單位轉化為更小的計數單位進行計算。

教師呈現不同分數除法算式，引導學生觀察思考：怎樣可以快速計算出“分數除以整數\"的答案？

$（ 1 ） ＼frac { 3 } { 1 0 } ＼div 5 = ＼frac { 1 5 } { 5 0 } ＼div 5 = ＼frac { 1 5 } { 5 0 } ＼times ＼frac { 1 } { 5 } = ＼frac { 3 } { 5 0 } 。$ （204號$（ 2 ） ＼frac { 4 } { 5 } ＼div 3 = ＼frac { 1 2 } { 1 5 } ＼div 3 = ＼frac { 1 2 } { 1 5 } ＼times ＼frac { 1 } { 3 } = ＼frac { 4 } { 1 5 } 。$ $＼frac { 4 } { 5 } ＼div 3 = ＼frac { 4 } { 5 } ＼times ＼frac { 1 } { 3 } = ＼frac { 4 } { 1 5 } 。$

小結：除以一個整數等于乘這個整數的倒數。

在上述逐步深人、螺旋上升的設計中，教師以計數單位為核心概念，引導學生從多種算法中感受到算理的一致性，關注運算的本質，從而建構起完整的數的運算知識體系。

（浙江省臨海市哲商小學）