從結果認知到過程理解的概念教學設計

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱\"2022年版課標\"）明確指出，數學教學應重視“過程性體驗”，倡導通過“做中學\"的方式引導學生從具體操作中抽象出數學本質，構建結構化的知識體系。平均分作為小學數學“數與代數\"領域的一個重要概念，是學生從表內乘法向表內除法過渡的關鍵環節。理解平均分的本質將直接關系到后續除法運算的學習及數學建模能力的培養。然而，在以往的教學中，學生往往只關注“分得同樣多\"的靜態結果，而忽略了實現公平分配的動態過程，這導致他們對概念本質理解不足。基于此，本文以人教版新教材二年級上冊“1～6的表內除法\"單元中“平均分”例2的教學為例，依據學生的認知特點，設計了強調動態分配的活動，并運用操作、圖式、語言、符號等多元表征方式，構建從情境感知到理性抽象的多維路徑，旨在促進學生數學活動經驗的積累，深化學生對平均分的理解，從而實現學生數學思維的進階發展。

傳統人教版教材將平均分作為除法的基礎，通過\"1個1個地分\"\"2個2個地分\"等方法來理解平均分，強調分法的多樣性，這種編排方式更側重于分的方法。而人教版新教材則將其視為數學思維發展的載體，重視過程理解和概念構建，更注重分的過程。新教材設計了將18個橘子平均分到6個盤子里的問題情境，展現了平均分橘子的過程，引導學生觀察每份數量相同的特征，要求學生從關注分的結果轉向關注分的過程（如圖1）。這種從“分得同樣多\"的結果導向，進階到“如何在分的過程中實現公平分配\"的思維轉變，使數學知識從運算工具升華為思維發展媒介。

一、教材分析

圖1

二、學情分析

（一）測試對象及測試題目

為了了解學生對平均分的先前經驗，選取由兩個不同教師授課的二年級教學班，共計84名學生作為研究對象。所有學生均未學習過“平均分\"的相關內容。研究旨在探究學生是否能夠像新教材所強調的那樣，不僅關注分配結果，還關注分配過程。同時考查學生是否能夠通過畫圖或文字描述等方式展現其分配過程。為此，設計了如下測試題目：把12個橘子平均分到3個盤子里，你會怎么分？請把你的分法表示出來（可以圈一圈、連一連、寫一寫或畫一畫），答題時間限定為5分鐘。

（二）測試結果分析

通過對所有學生測試問卷的分析，整理得出不同水平層次學生的具體表現及相應占比（如表1）。

表1

調查結果顯示，學生在解決“把12個橘子平均分到3個盤子里\"的問題時，其表現存在一定差異。約 76.19% 的學生能夠通過4個4個圈起來的操作方法，或利用乘法口訣“三四十二\"得出每個盤子分到4個橘子的結論。然而，這些學生在解題過程中雖能獲得正確答案，卻普遍無法闡明“平均分\"的含義及其數學本質，僅停留在分得的具體結果層面。進一步觀察數據發現，另有小部分學生處于更低的理解層次，回答完全偏離問題或僅重復數字，盡管其中有學生能機械地運用畫圖或列算式得出結果，但同樣無法解釋\"平均分\"的含義。僅約 14.29% 的學生能夠基于乘法的意義解釋分配過程，并通過多種表征方式說明其合理性，體現了對概念的理解。鑒于大部分學生止步于關注結果而未能深入理解過程與原理，筆者在分析中思考：是否存在一種更貼近學生真實思維過程的教學情境，能夠引導他們親身體驗平均分的動態操作過程，從而深刻地感受并把握平均分的數學本質，而非僅獲取靜態的分配結果？

三、基于過程理解的教學設計

（一）教學目標設計

基于上述教學內容分析和學情調查，確立以下教學目標。

（1）通過動手分物品的活動，體會等分的過程，進一步鞏固平均分的概念，加深對平均分的理解。（2）創設真實情境，通過平均分的多元表征，重視平均分的表達，體會平均分的過程。（3）通過操作活動，形成仔細觀察和獨立思考的良好學習習慣，感受數學與日常生活之間的聯系。

（二）教學活動設計

1.從情境體驗到理性表達的循序提升

皮亞杰提出“心理、智力、思維起源于主體的動作”。學生的數學活動經驗需要在不斷觀察、操作、體驗與反思的過程中積累，并逐步過渡到理性表達，最終促進學生數學思維能力的培養。

【教學片段1平均分概念的體驗與表達

（教師出示12個橘子）

師：上節課我們學習了平均分，現在請你們把12個橘子平均分到3個盤子里，你們準備怎么分？

生：每個盤子放4個橘子。

生：1個1個分，分4次，每個盤子分到4個橘子。

生：2個2個分，分2次，每個盤子分到4個橘子。

生：我先3個3個分，再1個1個分，每個盤子也分到4個橘子。

小結：不管我們怎么分，每份分得同樣多，這樣就叫作平均分。

在教學中，讓學生經歷分物的操作過程，借助實物操作幫助他們回顧平均分的含義，從而積累數學活動經驗。

2.從結果認知到過程理解的雙向建構

掌握與運用數學概念不僅是對結果的認知，還應體現在對過程的理解上。學生只有在實踐操作的過程中，才能更好地把握數學知識的內在邏輯和結構，從而在面對新的數學問題時，能夠靈活運用所學數學知識進行有效地分析和解決。因此，在本環節中，需要通過動手操作及多元表征，幫助學生深人感受平均分的等分過程。

【教學片段2】從平均分的結果思考平均分的過程

（教師出示一袋未知數量的橘子和6個盤子）

（1）創設情境：這里有一袋橘子，請你們把這些橘子平均分到6個盤子里，你們準備怎么分？

學生表示從袋子里先拿出6個橘子，每個盤子里放1個。

（2）追問：“為什么每次拿6個？”

（3）操作演示：每次拿6個，一個盤子放1個橘子，共拿3次。

小結：每次拿出6個橘子，每個盤子放1個，一共拿了3次，所以每個盤子分到3個橘子。

對小學生而言，將小數目的實物進行平均分，他們一眼就能看出平均分的結果，從而忽視了平均分的過程。教師通過創設未知數量的實物情境要求平均分，區別于傳統教學中“分得同樣多\"的靜態結果。在分未知數量的橘子時，學生必須采用“每次拿6個\"的方法，這促使學生從結果回溯分的過程，這種認知轉向突破靜態結果觀，建立“分配過程決定分配結果”的動態認知模型，從而使學生感知等分的本質。

【教學片段3】平均分過程的圖式表征（教師出示圖片：18個橘子，平均分成6份）

（1）請你們用畫圖的方式將剛剛分橘子的過程表示出來。

（2）交流反饋。

畫法1：

畫法2：

（3）教師提問：“哪種畫法更能表示分橘子的過程？”

（4）小結：原來用畫圖的方法，也能夠表示出分橘子的過程。

圖式表征屬于靜態的表征方式，亦是學生在動作表征后對平均分過程的抽象和優化。本活動在學生經歷“把未知個數的橘子平均分成6份\"的動作表征后，讓學生用連一連、圈一圈的方式記錄等分的過程，使得等分的過程變得具體和可視，更能凸顯數量關系，進一步加深學生對等分概念的理解和掌握。通過這種方式，學生不僅學會了如何將物品平均分配，還能夠通過圖式表征來理解等分背后的數學原理，從而在脫離真實情境后，依然能夠靈活表示等分的過程。

【教學片段4】平均分過程的語言表征

（借助分橘子的圖式表征，引導學生用語言表達）

教師引導：“通過剛才的操作和畫圖，請你們試著將分橘子的過程用一句話概括一下，并和同桌說一說。”

第一種：有6個盤子，每次拿6個橘子，每個盤子分1個，一共分了3次，所以每個盤子分到3個橘子。

第二種：每次拿6個橘子，每個盤子分1個，分了3次，每個盤子分到3個橘子。

本活動中，教師借助操作和畫圖，引導學生用簡潔的語句概括平均分的過程，從而實現由具體操作向抽象理解的轉變。從情境到畫圖，再到文字概述，這是數學化過程。其用畫圖的方式增強了抽象性，用語言概述增強了概括性。當學生能夠以語言形式準確表述時，表明他們已經實現了知識的內化，從而呈現了理解與概括的思維活動過程。

【教學片段5】平均分過程的符號表征

（1）教師提問：“你們能用算式表示剛剛分橘子的過程嗎？”（讓學生列式計算）（2）交流反饋。生： 6+6+6=18 。生： 3×6=18 。生： 18-6-6-6=0 。

（3）小結：把18個橘子平均分到6個盤子里，我們既可以用加法表示，也可以用減法表示，還可以用乘法表示，都表示了平均分的過程。

符號表征是認知發展的關鍵因素。2022年版課標提出，符號的使用是數學表達和數學思考的重要形式。在平均分橘子的操作中，學生在掌握具體分配方法的基礎上，通過應用不同的運算表征同一過程，能更直觀地理解除法是乘法的逆運算。

3.從具體操作到抽象演繹的有機融合

數學學習不僅要求學生掌握數學概念，還要求他們在具體操作和抽象演繹相結合的過程中，探索和發現數學規律，以達到對數學知識的深人理解和靈活應用。

【教學片段6整體建構，強化理解

（1）基礎練習：用小棒代替香蕉分一分。

① 平均分給2只小猴，每只小猴分到根。

② 平均分給3只小猴，每只小猴分到根。

③ 平均分給6只小猴，每只小猴分到根。

（2）拓展練習：圈一圈，說一說。

①14 根玉米，每2根裝一袋，可以裝袋。

② 如果是18根玉米，每2根裝一袋，可以裝袋。

對二年級學生而言，區分平均分的兩種不同情況一一等分和包含分比較困難。新教材通過畫圖的方式，弱化了兩種情況的區別，幫助學生在多樣性中發現統一性：不論過程有什么不同，最終都是把一個數分成了幾個幾，因此都屬于平均分。

綜上所述，本文以“平均分”例2的教學為例，通過分析新舊教材編排的變化、學情特點以及教學實踐，揭示了從“結果認知\"到“過程理解\"的轉變。整個教學過程，教師借助“動手操作一圖式表征一語言表征一符號表征\"的多元表征方式，有效地幫助學生完成了從具體操作到抽象演繹的進階，從而使學生深刻理解平均分的本質，最終實現核心素養的發展。

參考文獻：

[1]盧雪珠.單元開啟課：在動手操作中建構數學概念：以“分物游戲”的教學為例[J].小學教學研究，2024（22）：51-52，58.

[2]朱紅利，宋怡楠，孫全娟.經歷操作比較規范均分過程：人教版教材二年級下冊“平均分”教學實踐研究[J].教學月刊·小學版（數學），2023（4）：17-19，31.

（浙江省金華市雙溪實驗學校）