實建模·真應用：問題驅動下高中函數應用教學的實踐路徑

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出，數學教學應注重情境創設與問題解決，發展學生的數學建模能力與應用意識。函數作為聯系數學與現實的重要紐帶，其應用教學是培養數學核心素養的關鍵環節。然而，當前教學中存在“重解題技巧，輕實際建模”的傾向，學生難以將抽象函數知識與實際問題有效關聯。基于此，本文以高中數學必修第一冊“函數的應用（一）”為例，探索問題驅動教學模式在函數教學中的實踐路徑，通過真實情境與結構化問題鏈，引導學生主動構建數學模型，提升數學應用能力。

一、問題驅動下高中函數應用教學的設計思路

數學教育的本質其實是學習者對數學“再創造”的過程，強調數學教育要面向社會現實，必須聯系生活實際，注重培養和發展學生從客觀現象中發現數學問題的能力。基于此，問題驅動下的函數應用教學設計，必須充分尊重學生在學習中的主體地位，以現實為依托，以“創造”的方式引領學生學習。

（一）實施單元教學設計，整體把握教學內容

單元教學設計能夠為問題驅動模式提供系統性支撐，也是提升學生建模能力的關鍵突破點。教師在實施基于問題驅動的函數應用教學設計時，應當先從單元的整體視角出發，引領學生從具有統領性的問題、思維和研究方法展開學習，從而幫助其從整體上把握學習內容，構建知識網絡。

“函數的應用（一）”是“函數的概念與性質”單元中的最后一節內容，展示的兩個例題都是對給定數學模型的實際應用。這節課的教學設計需承上啟下：引導學生基于原有的學習認知，有機整合函數概念、性質及其蘊含的思想方法，解決簡單的實際問題。由于兩個例題都是分段函數，所以教師應教會學生用一次函數建立簡單的函數模型，讓他們體驗數學在解決生活問題中的價值，完成單元學習目標的升華。

（二）厘清知識來龍去脈，揭示數學知識本質

數學知識大多數來源于現實生活，因而，教師應理清數學知識的脈絡，引導學生用數學眼光觀察世界，用數學思維思考世界，用數學語言表達世界。

“函數的應用（一）”這一節主要是引領學生從實際情景中提取變量，尋求變量的變化范圍及變量間的對應關系，建立函數模型去描述現實世界中事物的變化規律，以此解決相應的實際問題，其本質上是數學抽象的過程。

如第一個例題個稅問題中，對“應繳納個稅稅額”“應納稅所得額”“綜合所得收入額”三個概念進行抽象，對三者的關系進行分析，應用數學語言進行表達，提升學生的數學抽象素養。在用數學模型解決實際問題時，學生需將實際問題化歸為數學問題，再通過運算、推理，求解函數模型，最后利用函數模型的解，說明實際問題的變化規律，達到解決問題的目的。比如在第一個例題的第二個問題中，學生提取信息，找到對應的量，轉化為函數關系中的自變量，通過函數模型計算出函數值，將函數值再轉化為實際問題的結果，從而完成實際問題的求解。通過對實際問題的解決，強調數學與實際生活的聯系，提升學生應用數學知識解決實際問題的能力。

（三）基于問題驅動教學，構建數學知識體系

教師在教學中設立的問題，應當符合知識的產生過程和學生的發展規律。符合知識的產生過程，并不是將歷史的過程演繹出來，而是基于教學目標，設置合理的問題，重新梳理知識的產生過程。在數學建模的教學中，這通常是指實際問題的解決過程，一般遵循提出與發現問題、分析問題、解決問題的步驟。符合學生的發展規律，是指在設置問題時，要基于學生已有的知識體系，對其進行拓展或重構，從而形成新的知識體系，獲得對數學本質的理解。

二、問題驅動下高中函數應用教學的實踐案例

以“函數的應用（一）”教學設計為例，下面具體闡述基于問題驅動的函數應用教學的有效實施路徑。

（一）教學目標與核心素養指向

知識目標：掌握分段函數的建模方法，理解函數模型的實際意義。

能力目標：能夠從實際問題中抽象變量關系，建立函數模型并解決問題。

素養目標：發展數學抽象、數學建模、數學運算素養，增強應用意識。

（二）教學問題診斷與突破策略

學情分析：學生已掌握一次函數、分段函數的概念，對函數有了一定的認識和理解，能建立簡單實際問題的解析式，具備一定的分析與解決問題的能力。

難點突破：以問題引導的形式化繁為簡，根據實際問題的若干條件確定變量的個數，以及它們之間的關系，從而將實際問題抽象為數學問題。

問題鏈引導：通過階梯式問題分解復雜情境，降低思維難度。

信息技術輔助：利用圖表與公式動態呈現變量間的關系，強化直觀理解。

（三）教學過程：以個人所得稅計算為例

1.發現問題：激活已有經驗

情境導入：回顧課本個人所得稅例題，引導學生梳理變量關系。

問題 ① ：題目中涉及哪些變量？如何建立應繳稅額與收入額的關系？

設計意圖：復習分段函數模型，明確“應納稅所得額”為中間變量，為后續建模作鋪墊。

2.提出問題：激發探究欲望

引導語：若給定不同收入額，如何計算個稅？能否逆向求解收入額？

問題 ② ：根據上述信息，還能提出哪些問題？

學生生成問題：收入額與個稅稅額的函數關系是什么？收入額為多少時個稅稅額為0？

設計意圖：培養學生從數學角度發現和提出問題的能力。

3.分析問題：構建數學模型

關鍵問題：問題 ③ ：如何建立收人額 x 與個稅稅額 y 的分段函數關系？

設計意圖：通過數學抽象與運算，體驗分段函數建模的全過程。

4.解決問題：模型的實際價值

問題 ④ ：該模型能解決哪些實際問題？

學生總結：直接計算個稅、逆向求解收入額、分析稅率臨界點等。

設計意圖：回應問題 ② 中學生提出的部分問題，理解解決問題的價值，提高學生提出問題的興趣。

5.遷移應用：強化建模能力

分析理解汽車行駛速率與時間的關系圖。

學生活動：提出并解決問題，如“建立路程與時間的函數關系”等。

設計意圖：通過圖像信息提取變量關系，鞏固建模方法，實現知識的有效遷移。

6.教學反思

結構化問題鏈（建模 $$ 分段 $$ 應用）引導學生層層深入學習，突破思維障礙，體現數學的實用價值。教師應增加小組合作探究環節，引入更多跨學科案例，拓寬應用視野。

總之，基于問題驅動的數學教學，將教學問題情境化，數學內容問題化，教學過程探索化，通過“以問促思、以問導學”的方式，培養學生解決真實問題的能力。

責任編輯羅峰