追根究底高認知 深度挖掘顯本質

226500[摘要]數學課堂教學中，教師要從學生的認知水平出發設計具有高認知水平的探究活動，引導學生在深度思考、深度探究和深度合作中真正理解數學本質，培養探究能力，發展數學核心素養。文章以“圓的周長和面積\"復習課為例，具體闡述“追根究底高認知，深度挖掘顯本質”的觀點。

教師應從學生的已有經驗和認知水平出發，設計高認知的探究活動，引導學生開展深度學習，發展學生的核心素養。基于此，數學課堂教學中，教師要從學生的認知水平出發設計高認知水平的探究活動，引導學生在深度思考、深度探究和深度合作中真正理解數學的本質，培養探究能力，發展數學核心素養。下面，筆者以“圓的周長和面積\"為例，探索在復習課教學中基于高認知探究活動發展學生的數學核心素養。

問題2：我們都知道，與圓的測量相關的主要有周長、面積。那么二者的計算公式大家還記得嗎？是如何推導得出的呢？（學生一一闡述和回答，教師用課件演示圓周長及面積的推導過程）

問題3：通過測量圓在直尺上滾動一周的長度，可以得出直徑為1厘米的圓的周長約為3厘米，即“周三徑一”。這句話的表達準確嗎？若不準確，你能修改嗎？（周 π 徑一）

問題4：問題3中，將圓周曲線轉化為線段的過程蘊含的思想是什么？ （化曲為直）

想？（化圓為方）

設計意圖：僅是知識的再現已不是新課程理念下復習課教學應有的樣態，重構學生的認知體系及無痕滲透數學思想才是復習課教學的樣態。這里，教師以問題為載體，引導學生“回頭看一看”，讓學生切實感受多個數學文化的有機融合，在數學文化的熏陶下完善已有認知結構。

一、教學過程

1.環節1：梳理舊知，探尋聯系

問題1：“圓，一中同長”，請大家談談對這句話的理解和認識。（教師出示課題后，很快拋出問題引導學生進行回憶和思考）

問題5：古代數學著作《九章算術》中，將圓面積計算公式記載為“半周乘半徑”，圖1是否可以詮釋這一說法？推導圓面積的計算公式時將圓轉化為長方形，其中蘊含什么數學思

問題6：在學習圓這個平面圖形之前，我們還學習了多個平面圖形，有什么？（三角形、正方形、長方形等）

問題7：你們認為圓的外形與這些平面圖形中的哪一個看起來更接近？ （正方形）

問題8：如圖2，假如利用相同長度的鐵絲分別去圍正方形、正五邊形、正六邊形通過觀察，你們有沒有什么新發現？（學生觀察后發現：隨著邊的變多，角也越來越多；邊越來越多，也越來越短；隨著邊變多，圖形也與圓更接近;圓可以看作是一個正 n 邊形）

圖2

設計意圖：整個小學階段中，圓是學生唯一接觸到的曲線圖形，與直邊圖形“正方形\"間仿佛毫無聯系。這里，教師為了更好地溝通直邊圖形和曲線圖形，巧妙設計了問題8，讓學生在深人觀察與思考中切實感受圖形間的聯系，促進空間想象力的發展，更重要的是為后續深度探究做好鋪墊。這樣的復習課導入，不僅吸引了學生的注意力，激發了學生的高認知思考，還讓學生體會了圓的周長與面積的本質特征。

2.環節2：顯現本質，深化認知

探究活動1：圓和正方形有何關系？

（1）現在你們覺得圓和正方形有何聯系？（有的學生認為“圓的面積可能大于正方形”，有的學生猜想“二者面積相等”，有的學生認為觀察并不是最佳方式，唯有驗證才能證實自己的猜想）

（2）用一根長12.56厘米的鐵絲分別圍成圓圈和正方形，請同桌兩人一組，一人計算圍成圓的面積，另一人計算圍成正方形的面積，最后交流結果。（學生進行探究，很快得出結論，并驗證了“周長相等時，圓的面積比正方形的大\"）

（3）如果想讓圓的面積和正方形的一樣大，該怎么辦？操作中隨之變化的還有什么？（縮小圓的面積，則直徑與半徑也隨之變小，周長也同樣變小）

（4）當將圓的面積縮小至與正方形相等時，它與該正方形的周長一樣嗎？ （正方形的周長更大一些）

（5）現在繼續縮短該圓直徑，使其與正方形邊長一樣大，你們發現了什么？（教師用課件演示，當將圓移至正方形內時，學生有了新的發現，即圓的直徑和正方形邊長相等；此時的圓是正方形內最大的圓；該圓的半徑等于正方形邊長的一半；若在正方形內畫一個最大的圓，該圓直徑就是正方形的邊長）

探究活動2：圓和長方形有何關系？

（1）現延伸正方形，構成一個長方形（長10厘米、寬4厘米），你們能在該長方形內畫一個最大的圓嗎？

圖3

（學生開始探究，教師巡視后出示圖3所示的典型作品）

（2）兩個作品的共同點想必大家都是知道的，現在誰能說一說二者的不同點？（作品 ① 的圓畫在長方形正中間，且圓心在對角線交點上，作品② 則緊靠左側）

（3）那作品 ② 是如何確定圓心的呢？請創作者說一說。（該生給出方法：“在長方形左側畫最大的正方形，該正方形的對角線交點即為圓心。\"）

（4）有沒有其他確定圓心的方法？（學生根據自己的想法給出多種方法，教師一一給予評價）

（5）對比這些方法，你們覺得哪個方法最好？為什么？（學生一致認為原創的方法最好，因為這種方法充分溝通了“正方形中畫最大的圓”）

探究活動3：長方形與半圓有何關系？

（1）如圖4，試著在各長方形內畫一個最大的半圓，則每個半圓的直徑分別是多少厘米？請大家獨立完成，然后交流思考過程。（圖4中前面的兩幅圖交流過程十分流暢，在交流圖4 ③ 時，對于直徑的長度產生了分歧，有的學生認為是2厘米，有的學生認為是3厘米）

圖4

（2）究竟哪一種的畫法正確呢？為什么？（學生思考后一致認為，這里可以視為在兩個相同長方形內畫整圓，因此應補上一個相同的長方形后，在其中畫出一個最大的正方形，半圓的直徑就是正方形的邊長，也就是大長方形的寬…）

在這一環節中，教師設計了拾級而上的探究活動，引導學生歸納特例、回歸原點、思考本質，讓學生在舉例、操作、分析、解釋中逐步透過表象理解數學本質，感知數學的奇妙，提升分析、綜合、概括、判斷、推理等邏輯思維能力。

3.環節3：挖掘本質，提升認知

問題1：在邊長是4厘米的正方形內最多可以畫幾個直徑是2厘米的圓？你們覺得如何考慮這個問題最簡捷？（4個）

問題2：現在要在這個正方形內畫直徑是1厘米的圓，你們能畫幾個？（16個）

問題3：如圖5，在不計算的情況下，這三個正方形內的涂色部分，哪個面積最大？（一樣大。學生深入地猜想：無論正方形內部畫多少個相同大小的圓，它們的面積和都為4π² 平方厘米，并進一步通過列舉法進行驗證）

圖5

設計意圖：復習課中，教師從學生認知水平出發選擇例題，引導學生通過運算和推理獲得一般性結論，助力學生突破本章節學習的重難點和易錯點。與此同時，教師通過高認知水平的問題提升學生的學習能力，使學生經歷從具體到抽象、從猜想到論證的過程，從而發展了學生的符號意識和推理意識

二、教學思考

1.正確確立教學目標是基礎

提高復習課質效，促進學生知識與技能、過程與方法、情感態度與價值觀的和諧發展是每個教師要著重思考的問題。教師要明確復習課目標，從具體學情出發巧妙設計教學活動。本課作為章節復習課，教師在課前要深思熟慮以下問題：對于圓的周長與面積，學生掌握了什么？哪些知識是學生難以理解的，哪些知識是學生易錯的？學生最需要的是什么？教師只有通過引導學生對這些問題展開深人研究，才能明確學生的認知底線，確立教學起點，設定教學目標。顯然，正是由于教師正確樹立了教學目標，才使得后續的教學推進十分流暢，使學生的思維逐步走向深處，實現了思維寬度和廣度的擴展。

2.巧妙串接活動是保證

基于學生視角思考學生需要的復習方式，并保證每個學生在復習中有所收獲是每個教師要著重思考的問題。本節課中，教師首先創設情境讓學生回顧知識，通過自主匯報和相互補充初步建立圓的知識結構；然后，充分發揮引導者的作用，讓學生通過自主探究、合作學習等方式將圓的知識串聯成網；最后，通過拓展練習梳理知識，讓學生深化對圓的認識。整個過程行云流水，學生在問題情境和探究活動的引導下思考、爭辯、討論，最終通過合作交流鞏固了知識，提升了能力。可見，這樣的復習課堂更好地踐行了“以學為中心\"的教育理念，教師通過巧妙串聯活動，實現了師生之間的積極互動，促進了全體學生的共同發展。

3.挖掘數學本質是根本

學生的復習效果如何，學習能力是否都得到發展，這些都需要通過有效練習來評價。因此，教師要充分挖掘數學本質，設計有利于知識延伸、學習能力提升的探究性問題，以發展學生的認知能力。本課中，在學生已經自主建構知識體系的前提下，教師沒有簡單地出示例題、習題，而是利用具有開放性和探究性的數學問題引導學生合作學習，讓學生在思維的“最近發展區\"深度思考。正是有了這樣的問題引導，學生才能大膽猜想和表達自己的想法，最終在小組交流和全班展示的過程中經歷從具體到抽象的學習過程，從而發展學習能力，提升認知水平。事實上，通過有效練習，學生不僅完成了對圓的基礎知識的復習，還厘清了圓的周長與面積問題的重難點。

總之，現代數學教育的基本任務在于培養和發展學生的數學核心素養。教師要基于高認知水平巧妙設計教學，為學生打造探究發現的學習平臺，“以學為中心”，通過問題情境、探究活動和創新習題引導學生挖掘數學本質，發展學生的數學核心素養。