引·退·拓：在化大為小中尋找最優(yōu)方法

“找次品”一課主要是以“找次品”這一探索性操作活動為載體，讓學(xué)生通過觀察、猜測、實驗等方式探索解決問題的策略，體驗解決問題策略的多樣性和優(yōu)化思想，讓學(xué)生用直觀的方式清晰、簡潔、有條理地表示邏輯推理的過程，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析問題的能力及推理意識。

特級教師華應(yīng)龍在“找次品\"這節(jié)課中，不是將找次品的操作方法直接教給學(xué)生，而是通過一系列“找次品\"活動，由簡單到復(fù)雜，由特殊到一般，讓學(xué)生在比較、猜想和驗證等活動中逐步感悟、總結(jié)和提煉，從而歸納出解決“找次品\"這類問題的最優(yōu)方法。

一、片段一：創(chuàng)設(shè)情境，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行數(shù)學(xué)思考

師：同學(xué)們，老子說“上善若水”，指人應(yīng)具有像水一樣的品性，滋養(yǎng)萬物而無所求。我上課就喜歡看到你們的眼睛，因為人在思考時眼睛是最漂亮的。微軟公司招聘員工時出過一道考題：81個乒乓球中，只有1個球稍重。如果只能利用沒有砝碼的天平，最少稱幾次，才能保證找到這個稍重的球？如果你們?nèi)?yīng)聘，你們會怎么做呢？

生1：我覺得可能只需要1次，運(yùn)氣好的話正好1次就拿到這個稍重的球。

生2：萬一運(yùn)氣不好的話，就要一個一個測。

師：為什么要從最壞的角度考慮？題目中哪個詞提到了？

生2：才能保證找到這個稍重的球。

生3：我覺得是41次，因為天平每次能放2個乒乓球，左邊1個右邊1個，這樣稱40次，剩下1個再稱1次。

生4：我覺得41次太多了，只需要6次就行。我們可以在天平的2個盤子里分別放40個乒乓球，沉下去的那邊40個再來稱。

師：為什么這位同學(xué)在天平的2個盤子里分別放40個乒乓球，兩邊數(shù)量可以不一樣多嗎？

生4：不行，如果2個盤子放的球不一樣多，天平肯定不平衡，沒法比。2個盤子放一樣多的球有可能平衡，也有可能不平衡。

賞析：在這個教學(xué)片段中，華老師巧妙地引用中國古代哲學(xué)家老子的名言“上善若水”，以此讓學(xué)生理解數(shù)學(xué)思考方法和推理意識在解決問題中的重要性，引導(dǎo)學(xué)生在解決數(shù)學(xué)問題時應(yīng)靈活變通、深人探究。然后，華老師精心挑選了一道“找次品\"題，題目設(shè)定的情境是在一定數(shù)量的外觀完全相同的球中，有1個稍重的球，需要通過最少次數(shù)的天平稱量找出這個稍重的球。面對這個問題，學(xué)生展示了多元化的解題思路：有的學(xué)生憑借敏銳的直覺與高效的策略分析，認(rèn)為只需要進(jìn)行1次稱量就能準(zhǔn)確找到目標(biāo)球；有的學(xué)生則從最壞的情況出發(fā)，保守估計可能需要41次稱量才能確保找到；還有的學(xué)生經(jīng)過逐步推演和優(yōu)化方案后提出，只需要6次即可完成任務(wù)。在整個討論過程中，華老師并沒有急于給出標(biāo)準(zhǔn)答案，而是鼓勵學(xué)生積極表達(dá)自己的觀點，要求他們詳細(xì)闡述推理過程。華老師不僅注重培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力和邏輯思維的嚴(yán)謹(jǐn)性，更致力于幫助學(xué)生正確理解題目的內(nèi)在含義及所涉及的數(shù)學(xué)原理。

二、片段二：深度探究，在以退為進(jìn)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律

1.在2個和3個球中找次品

師：同學(xué)們，這是一個沒有砝碼的天平，重球可能在左邊，也可能在右邊，還可能在下面。我們把題目再讀一遍。同學(xué)們讀得真棒，剛才讀的時候?qū)⒅匾脑~用重音突出了。今天老師給大家?guī)砹艘粋€祖?zhèn)髅胤健煜码y事，必作于易，意思是碰到難的問題可以從容易的地方開始，找到方法和規(guī)律，難題就好解決了。現(xiàn)在這道題中81個球太多了，你們打算從幾個開始研究？

生1：從3個開始研究。如果2個球中有1個重球，我們只要在天平左右兩邊各放1個，下沉的那個就是。

師：2個球只要用1次就能保證找到。那3個球要幾次，才能保證找到呢？

生2：我覺得要用1次，第一次天平的左右兩邊各放1個，如果天平保持平衡，說明剩下的那個是重球；如果天平不平衡，沉下去的那個是重球。

師：現(xiàn)在其他同學(xué)有什么要問的？

生3：為什么2個球用1次，3個球也是用1次？不是多出了1個球？

生2：因為3個球的時候有1個球是不用稱的，我們只要稱2個球就能判斷出來了。

生4：因為每個球有三種狀態(tài)，一種是在天平的左邊，一種是在天平的右邊，還有一種是在天平的下邊。2個球剛好把天平左邊和右邊都用上了，所以1次就能找出來；3個球就是把天平的左邊、右邊、下邊都用上了，所以也只用1次就能找出來了。

賞析：在這個教學(xué)片段中，華老師讓學(xué)生在僅包含2個或3個球的簡單案例中體驗如何通過邏輯推理和天平平衡原理找出其中的次品。在具體實施過程中，華老師指導(dǎo)學(xué)生采用“假如平衡…，假如不平衡.”這樣的語句結(jié)構(gòu)，清晰地表達(dá)每次稱量后可能出現(xiàn)的情況及其對應(yīng)的后續(xù)步驟。比如在面對2個球時，將它們放在天平兩邊進(jìn)行比較，那么可能出現(xiàn)兩種情況：一是天平平衡，則說明這2個球質(zhì)量相同，都不是次品；二是天平不平衡，則較重的那個即為次品。為進(jìn)一步增強(qiáng)學(xué)生的理解和記憶，華老師鼓勵學(xué)生利用直觀圖或者流程圖的形式，結(jié)合文字說明，詳細(xì)記錄找次品的過程。這樣既鍛煉了學(xué)生的邏輯思維能力，又培養(yǎng)了他們圖形化、可視化表達(dá)問題的能力。

2.在4個、8個和9個球中找次品

師：如果4個球中有1個重球，怎么找？

生5：我會在天平的兩邊各放2個球，如果哪邊沉下去，說明沉下去的那邊有重球；再把沉下去的這2個球分別放在天平的兩邊，沉下去那邊的球就是重球。所以4個球要用2次才能保證找到重球。

生6：我是先取出2個球放在天平兩邊，如果天平沉下去了，說明沉下去那邊就是重球。如果天平平衡，說明剩下的2個球中有重球，就把剩下的2個球分別放在天平兩邊，就能確定重球。所以4個球要用2次才能保證找到重球。

師：那8個球中有1個重球，怎么找？

生7：我會先在天平兩邊各放4個球，天平沉下去那邊有重球；再在天平兩邊各放2個球，天平沉下去那邊有重球；最后在天平兩邊各放1個球，天平沉下去那邊有重球。所以8個球要用3次才能保證找到重球。

師：如果9個球中有1個重球，怎么找？

生8：我會先在天平兩邊各放4個球，如果天平不平衡，說明沉下去那邊有重球；再在天平兩邊各放2個球，天平沉下去那邊有重球；最后在天平兩邊各放1個球，天平沉下去那邊有重球。如果天平平衡，說明剩下那個是重球。所以9個球要用3次才能保證找到重球。

生9：我是把9個球平均分成3份，在天平兩邊各放3個，如果天平平衡，說明重球在剩下的3個球中；只要把剩下的其中2個球放在天平上，如果天平平衡，下面的那個球就是重球；如果天平不平衡，那么沉下去的是重球。所以9個球只要2次就能保

證找到重球。

師：老師覺得奇怪，8個球要用3次才能保證找到重球，而9個球只要用2次就能保證找到重球？有沒有可能8個球也只用2次就能保證找到重球？

生10：我先在天平兩邊放3個球，如果天平平衡，說明剩下的2個球中有重球；再把剩下的2個球分別放在天平的兩邊，沉下去的那邊就是重球，這樣用2次保證找到重球。如果天平不平衡，就說明重球在沉下去那邊的3個球中；再把這3個球中的任意2個球分別放在天平的兩邊，如果天平不平衡，沉下去的就是重球了，如果天平平衡說明剩下的就是重球了，也是用2次保證找到重球。

賞析：在這個教學(xué)片段中，華老師引導(dǎo)學(xué)生從直觀易懂的小數(shù)目開始，逐步引導(dǎo)學(xué)生理解如何在一定數(shù)量的球中利用天平找出稍重的那個次品。當(dāng)面對4個球時，學(xué)生很快發(fā)現(xiàn)只需將球平均分成兩組進(jìn)行一次稱量，若不平衡則直接找到次品；若平衡則在剩余的兩個球中再次稱量即可確定次品，因此需要2次稱量來確保找到重球。隨著問題難度的提升，當(dāng)探究8個球的情況時，學(xué)生運(yùn)用同樣的策略，將球分為2份進(jìn)行稱量，然后根據(jù)結(jié)果再對其中1份或剩余部分進(jìn)行第二次稱量，總結(jié)出至少需要3次保證找出次品。然而，在挑戰(zhàn)9個球的問題時，學(xué)生發(fā)現(xiàn)只需要2次稱量就能確保找到重球。這時，華老師敏銳地抓住了這一教學(xué)契機(jī)，鼓勵學(xué)生深入思考并探討背后的原因，讓他們對比4個球、8個球和9個球的分組方法，發(fā)現(xiàn)將球平均分成3份的方法在尋找次品的過程中實現(xiàn)了效率的最大化。在這樣的教學(xué)活動中，華老師成功激發(fā)了學(xué)生的探索精神和求知欲望，使他們不僅習(xí)得了尋找次品的具體策略，還深刻體驗了數(shù)學(xué)中的優(yōu)化思想和解決問題的靈活性，培養(yǎng)了創(chuàng)新思維和實際應(yīng)用能力。

3.總結(jié)找次品的方法

師：同學(xué)們，想一想天平有幾個盤子？生（齊聲答）：3個。師：用上第3個盤子就是高手。第3個盤子在哪呢？生（齊聲答）：下邊。師：當(dāng)我們認(rèn)識到天平有3個盤子的時候，應(yīng)該怎么去找這個重球？生11：把物體盡可能平均分成3份，每份一樣多。

賞析：在這個教學(xué)片段中，華老師通過精心設(shè)計的問題和循序漸進(jìn)的教學(xué)引導(dǎo)，讓學(xué)生在實踐中不斷摸索、反思并調(diào)整策略，引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)找次品的經(jīng)驗，不僅體驗到天平有左邊、右邊和下邊3個盤子，還總結(jié)出找重球的最優(yōu)化方法。

三、片段三：拓展應(yīng)用，解決大數(shù)目找次品問題

師：同學(xué)們，如果81個球中有1個重球，你們會怎么找？

生1：我們可以分成20、20、21這樣3份

生2：不對，這樣3份只有61個球。第一次是把81個球分成27、27、27這樣3份，第二次是把27個球分成9、9、9這樣3份，第三次是把9個球分成3、3、3這樣3份，第四次是把3個球分成1、1、1這樣3份。所以81個球只需4次便能保證找到重球。

師：同學(xué)們，現(xiàn)在能去應(yīng)聘了嗎？（能）不過我好奇微軟公司為什么拿這道題招聘員工，你們覺得是為什么？

生3：我覺得是為了讓員工碰到一些技術(shù)上的難題時能有方法解決。

生4：我覺得是想鍛煉員工，用最少的時間完成同樣的任務(wù)。

師：找次品是數(shù)學(xué)上非常著名的題目，就是讓我們在找次品的過程中慢慢品方法、品規(guī)律。（出示：道生一，一生二，二生三，三生萬物）你們現(xiàn)在是不是覺得老子太高明了？世界上的事物都是一分為三的，上、中、下，左、中、右，好、中、差，小于、等于、大于，負(fù)數(shù)、0、正數(shù)，質(zhì)數(shù)、1、合數(shù)，過去、現(xiàn)在、未來……

賞析：在這個教學(xué)片段中，教師引導(dǎo)學(xué)生利用最優(yōu)化方法成功地解決了81個球中有一個重球的問題。

在探究“找次品\"這一經(jīng)典數(shù)學(xué)問題的過程中，筆者深刻體會到華老師的教學(xué)智慧。所謂\"引”，即創(chuàng)設(shè)找次品的問題情境，引導(dǎo)學(xué)生從直觀易懂的實例出發(fā)；“退\"是要求學(xué)生在面對復(fù)雜情況時學(xué)會適時退一步思考，化繁為簡，將大數(shù)目分解成小數(shù)目，并充分發(fā)揮天平左邊、右邊和下邊3個盤子的作用，實現(xiàn)問題的簡化與轉(zhuǎn)化；“拓\"體現(xiàn)在讓學(xué)生不斷拓寬思維邊界，總結(jié)提煉出適用于更大范圍解決找次品問題的通用解題策略，從而在化大為小的實踐中找到尋找重球問題的最優(yōu)解決方案，全面提升學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。