小學數學思考：數學活動的起點與歸屬

一、課標解讀

“圓\"單元在“圖形和幾何領域\"第三學段中占據舉足輕重的地位，它標志著學生對圖形認識與測量的深入。根據課程標準的“內容要求”，學生不僅要了解圓和扇形的基本概念，還要掌握實際操作的技能。同時，學生需要理解圓周率這一核心概念，它是連接圓的周長與直徑的橋梁，揭示了圓的本質特性。

在“學業要求”上，學生應能夠熟練掌握圓的基本屬性，如周長、半徑和直徑，并理解它們之間的數學關系。特別是，學生需要明白圓的周長與其直徑之間的比值是一個固定的數，即圓周率。此外，學生還應具備運用圓的周長和面積公式解決實際問題的能力，這不僅是對學生數學知識掌握程度的檢驗，更是對其邏輯思維能力和問題解決能力的綜合考查。通過學習“圓”單元，學生將進一步拓展對圖形的認識，提升數學素養。

二、教材分析

“圓”是蘇教版數學五年級下冊第六單元的內容，是對學生空間圖形知識體系的重要擴展。在已掌握直線圖形的基礎上，學生將接觸到曲線圖形圓，及其相關概念如扇形、周長和面積。這一轉變不僅豐富了學生對圖形世界的認知，還為他們提供了全新的學習體驗。通過學習圓，學生將深化對圖形特征的理解，并發展多元化的空間觀念。此外，這一單元的知識還為后續學習圓柱、圓錐等復雜圖形和繪制統計圖奠定了堅實的基礎。

三、學情分析

“圓\"這一單元對于五年級學生來說，既是知識上的深化，也是思維上的跨越。學生在生活中已積累了對圓的直觀感知，如騎自行車時車輪的滾動、使用圓規繪制圖形等，這些經驗為他們理解圓的基本特征提供了基礎。然而，從直線圖形到曲線圖形的轉變，要求學生在思維上做出重大調整。五年級學生正處于具象思維向抽象思維過渡的階段，對于圓的精確定義和特性的掌握需要一定的引導與訓練。他們好動、好奇，喜歡通過實際操作探索新知。因此，在教學中，教師應充分利用學生的這一特點，通過實踐操作、觀察討論等活動，引導學生深人理解圓的特性，并探索其與生活的密切聯系，讓學生在愉快的氛圍中構建新的知識體系，在潛移默化中提升學科核心素養。

四、教學目標

小學數學教學活動的起點與歸屬在于培養學生的核心素養，為此，基于圓這一單元，教師應以核心素養為導向，設計如下教學目標（如表1所示）。

表1“圓\"教學目標

續表

五、教學重難點

教學重點：掌握圓的基本特征及其周長、面積的計算公式，掌握簡單組合圖形的面積計算技巧。

教學難點：推導圓的面積計算公式以及理解簡單組合圖形的面積計算方法。

六、教學過程

（一）認識圓與扇形

1.圓的認識

首先，在開始課程階段，教師將圓形、其他多邊形等放入一個不透明的袋子中，讓學生閉上眼睛隨機摸出一個物體，并嘗試描述其形狀，以此激發學生的學習興趣。然后教師提問：“你們在生活中見過圓嗎？能舉些例子嗎？\"學生思考并回答，如盤子、車輪、太陽等。

接著，教師可以借助課件，使用動畫或圖示等，展示圓心、半徑和直徑的概念：圓心是圓內的一點，所有的半徑端點都經過它；半徑是從圓心到圓上任意一點的線段；直徑則是經過圓心且兩端都在圓上的線段，其長度是半徑的兩倍。然后，教師要求學生利用圓規等工具繪制圓，標出圓心、半徑和直徑，并用相應的字母表示。教師巡視指導，確保學生正確理解和應用這些概念。繼而，教師提問：“圓的大小是由什么決定的？”借助問題引導學生思考、觀察、比較不同大小的圓，由此發現：圓的大小與半徑的長度有關，半徑越長，圓越大。

最后，教師出示例題，如“一個圓有幾條半徑？幾條直徑？半徑和直徑的長度有什么關系？\"讓學生思考并嘗試回答。學生分組討論相關問題，并分享自己的答案和思路。教師引導學生總結圓的性質，如一個圓有無數條半徑和直徑；半徑的長度是直徑的一半。

2.認識扇形

首先，教師可以展示包含扇形的圖形，如部分涂色的圓盤、扇形餅圖等，引導學生仔細觀察這些圖形，特別是涂色的部分。然后，教師提問：“請大家觀察這些圖形中的涂色部分，它們有什么共同的特點或特征？\"學生通過觀察，發現這些涂色部分都是由圓的某一部分和兩條半徑圍成的，從而引出扇形的概念。

接著，教師在展示的圖形中明確標出圓心角的位置和范圍，并提問：“根據定義，圓心角是由什么組成的？它的頂點在哪里？”學生回答：“圓心角由兩條半徑和頂點在圓心的角組成。”然后，教師利用圓規繪制一個輪廓為虛線的圓形，在該圓形的邊緣選擇兩個標記點A和 B ，用實線將這兩點連接起來，從而形成了從A到 B 的一段弧線，以此演示如何繪制弧_AB 。在此基礎上，教師指導學生找出與弧AB對應的圓心角，并讓學生用彩筆涂色表示。學生通過操作，發現弧與圓心角之間的關系，即圓心角的大小決定對應弧的長度。

最后，教師提問：“請大家想一想，在生活中有哪些例子是扇形？\"學生積極思考并舉例，如扇子、扇形窗戶、比薩的切片等，以此幫助學生將扇形概念與實際生活相聯系，加深理解。

（設計意圖：本次教學活動通過引導學生深入理解圓的基本概念、性質和特點，掌握圓心、半徑、直徑等圓的基本元素及其關系，同時，通過引入扇形的概念等，旨在激發學生的學習興趣和探究欲望，培養學生的觀察能力、空間想象能力等，提高學生的數學核心素養。）

（二）圓的周長

首先，教師使用圖示或實物向學生展示一個圓，并明確指出：“圓的周長是指圍成這個圓的曲線的長度。”繼而，教師提問：“我們應該如何測量圓的周長呢？\"學生通過交流討論，提出各種方法，如繞繩法和滾動法。繞繩法：使用一根細繩或細線，沿著圓的邊緣繞一圈，然后測量細繩或細線的長度。滾動法：在圓上做一個標記，然后將圓沿著一條直線滾動，直到標記首次回到起點，滾動的距離即為圓的周長。

接著，教師指導學生分組進行實驗，每組準備不同大小的圓和測量工具。實驗步驟：（1）使用圓規或其他工具，畫出幾個不同直徑的圓。（2）使用繞繩法或滾動法測量圓的周長。（3）將每個圓的周長除以直徑，得到周長與直徑的比值。教師指導學生匯總實驗數據，并進行觀察、分析，由此學生發現：不同大小的圓，其周長與直徑的比值都接近一個常數。由此教師可以引出 π 的概念，并給出其近似值3.14。學生根據實驗數據和圓周率 π ，推導出圓的周長公式：C=πd 或 C=2πr 。公式中 d 代表直徑， r 代表半徑，\"是圓周率。

最后，教師可以通過具體實例展示如何應用圓的周長公式：假設我們有一個圓形的餐桌，我們知道它的直徑是1.2米，那么圍繞這個餐桌放一圈裝飾帶，共需要多少米的裝飾帶？在這一問題任務的驅動下，學生根據圓的周長公式 C=πd ，將直徑 d=1.2 來代人公式中，得到： C=π×1.2，π 的近似值為 3.14，C≈3.14× 1.2=3.768 米。因此，學生最終得出結論：圍繞這個餐桌放一圈裝飾帶大約需要3.768米。

（設計意圖：此教學環節旨在通過實踐操作和觀察分析，引導學生深入理解圓的周長概念，并自主推導出圓的周長公式。最后讓學生借助公式展開實際應用。整個教學設計注重學生的參與和探究，旨在培養學生的數學思維、實驗能力、問題解決能力等，使學生的核心素養得到有效提升。）

（三）圓的面積

首先，教師展示不同大小的圓，并詢問學生：“你們覺得圓的面積可能與什么有關？為什么？”學生提出各種猜想，如可能與半徑、直徑等有關。教師總結學生的猜想，并指出這些猜想都是基于圓的直觀

特性。

接著，教師出示不同半徑的圓與對應邊長的正方形，讓學生觀察并思考它們之間的關系。學生通過深度探討、多維交流，描述圓與正方形面積之間可能存在的關系，如圓的面積可能是正方形的邊長平方的3倍多一些；圓的面積或許是半徑平方的 π 倍。在此環節，教師不直接給出答案，而是鼓勵學生繼續探索。

為了驗證學生的猜想，教師可以借助信息技術演示將圓平均分成16份并拼成近似的長方形的過程，并提問學生關于拼成圖形的形狀與原圓的關系，引導學生理解這種變換的幾何意義。在此基礎上，教師進一步引導學生想象將圓平均分成64份、128份等，拼成的圖形會如何變化，由此學生逐漸發現：當分的份數越多，拼成的圖形就越接近一個長方形。此時，教師可以追問：“如果圓的半徑是 r ，那么拼成的長方形的長和寬要如何表示？綜合長方形面積的計算方法，圓的面積應怎么計算？”由此引導學生思考長方形的長和寬分別對應什么。教師可以根據學生的回答，板書圓的面積 S=πr×r=πr² 。

最后，教師可以出示應用題：一個圓形花壇的半徑是5米，為了美化花壇，園林工人計劃在花壇周圍鋪設一條寬度為1米的水泥路。請問這條水泥路的面積是多少平方米？學生則靈活應用所學知識，進行解題：首先，計算原始花壇的面積，使用圓的面積公式 S=πr² ，其中 r 是圓的半徑，本題中 _r=5 。接著，計算包含水泥路的大圓的面積，由于水泥路的寬度是1米，所以大圓的半徑是 5+1=6 米。最后，水泥路的面積就是包含水泥路的大圓面積減去原始花壇的面積。具體計算：原始花壇的面積 S₁=π×5²=78.5 平方米。包含水泥路的大圓面積 S₂=π×6²=113.04 平方米，水泥路的面積 S₂-S₁=34.54 平方米。所以這條水泥路的面積是約34.54平方米。

（設計意圖：本教學設計旨在通過觀察、猜想、實驗、推導和應用等過程，讓學生自主發現和理解圓的面積公式，體會從具體到抽象的思維過程，從而強化學生的空間想象能力、邏輯推理能力等，多維度、多層面培養學生的數學核心素養。）

（四）簡單組合圖形的面積

首先，教師通過多媒體展示生活中各種包含簡單組合圖形的場景，包括房屋的平面圖、花園的規劃圖、機器零件的設計圖等，引導學生仔細觀察圖形，隨后提問：“在這些圖形中，你們能發現哪些基本圖形組合在一起呢？”為此，學生積極觀察并回答。如有的學生指出有長方形與三角形組合、圓形與正方形組合等多種情況。通過這一環節，學生能夠對組合圖形形成初步的感性認識，明確組合圖形是由多個基本圖形構成的，從而引出主題一一簡單組合圖形的面積計算。

接著，教師給出具體的簡單組合圖形，即由長方形和半圓組成的花壇形狀（長方形作為花壇的主體部分，半圓在長方形的一端作為裝飾），然后提問：“我們該如何計算這個組合圖形的面積呢？”以此鼓勵學生自主思考、小組討論，探索計算方法。學生在討論過程中可以提出將組合圖形分割成已知面積公式的基本圖形，分別計算面積后再相加的思路。教師對學生的想法給予肯定，并引導學生進一步細化分割方案。

在學生討論出分割方法后，教師可指導學生在練習本上畫出分割線，并標注出每個基本圖形的相關數據。以上述花壇圖形為例，假設長方形的長為8來，寬為4米，半圓的半徑為2米。學生可根據長方形面積公式 S= 長 × 寬，計算出長方形部分的面積為8×4=32 平方米；再根據圓的面積公式 S=πr² ，半圓的面積為 1/2×π×2²=2π 平方米（ π 取3.14時，半圓面積約為6.28平方米），最后將兩部分面積相加，得到組合圖形的面積約為 32+6.28=38.28 平方米。教師則巡視各小組，觀察學生的計算過程，及時給予指導和糾正，確保學生掌握正確的計算方法。

最后，教師可以布置一道綜合性的練習題：一個公園的休閑廣場是由一個梯形和兩個四分之一圓組成（梯形的上底為30米，下底為50米，高為20米，兩個四分之一圓的半徑均為10米）。針對該練習題，學生需計算廣場的面積，并嘗試用多種方法解題。由此，學生能夠進一步鞏固計算簡單組合圖形面積的方法，同時，于無形之中培養了學生靈活運用知識、多角度思考問題的能力。

（設計意圖：此教學環節通過展示生活中的實例，引導學生自主探索、討論交流計算組合圖形面積的方法，讓學生認識到組合圖形在實際中的廣泛應用，從而激發學生的學習興趣，培養學生的觀察能力、分析能力和空間想象能力。同時，在練習過程中，教師鼓勵學生嘗試多種方法解題，能夠培養學生思維的靈活性、創新性，提高學生解決實際問題的能力，從而全面提升學生的數學素養。）

七、教學反思

本次關于圓與扇形的教學活動整體上達到了預期的教學目標。其成功之處在于：一方面，教師注重實踐操作與探究學習的有效結合，通過實物模型和動手實驗，讓學生直觀地理解圓的基本概念和性質。這種教學方法不僅激發了學生的學習興趣，還加強了他們對知識點的理解和記憶。另一方面，教師強調以學生為中心的教學方式，鼓勵學生主動思考、討論和分享，如在探討圓心角與弧長的關系時，讓學生自己操作和涂色，發現二者之間的聯系，由此有助于學生的主動學習，培養學生的批判性思維能力。此外，教師強調即時性的練習，如在簡單組合圖形的面積教學中，出示多種組合圖形并布置綜合性的練習題，引導學生展開探討、實踐，培養了學生的多種能力。

但不可忽視的是，此次教學也存在弊端。一方面，雖然學生能夠使用圓的周長和面積公式進行計算，但對于公式的來源和推導過程的理解仍然較弱。未來可以增加關于如何從基本原理導出這些公式的教學，幫助學生深化對公式背后數學邏輯的理解。另一方面，當前教學中雖已使用了多媒體和實物等教學輔助工具，但還可以進一步豐富，如引人更多與學生生活密切相關的案例，或者使用更多互動性強的教學軟件和技術，以適應不同學習風格的學生，提升教學效果。希望未來的課程設計能夠深度聚焦上述方面，展開全方位、系統性的改進，為不同學習層次和風格的學生打造適宜的學習環境，更好地滿足學生的多元學習需要。

（作者單位：南外仙林分校宿遷學校）

編輯：孫守春