數列中的放縮技巧

利用放縮法判斷與證明數列不等式問題，實質上是抓住數列不等式中的不等式視角切入，結合數列的通項公式、求和公式或其他相關的關系式進行合理變形處理，對中間過程或者最后的結果，或利用裂項相消法進行放縮，或利用不等式性質進行放縮，與結論中所證明的不等式加以對比，放縮處理，巧妙證明.

1先求和再放縮

先求和再放縮，實質上是一類很常見的題目，這類放縮實質上是考查數列求和及其應用，放縮的結果也很松.實際解題過程中，往往是利用裂項相消法或錯位相減法求和后，再合理加以放縮處理.

例1（2024年河北省石家莊市高考數學模擬試卷）記 S_n 為等差數列 {a_n} 的前 n 項和，已知 a₂=-3 +S₁₀=-100

（1）求 {a_n} 的通項公式；

（2）記數列 的前 n 項和為 T_n ，證明：

（1）解析：設等差數列 {a_n} 的公差為 d ，則

整理得 解得{a=-1， ， （20所以 所以數列 {a_n} 的通項公式為 （2）證明：依題，令

由（1）可知 a_n=-2n+1 ，可得

所以

因為 n∈N^* ，可得 ，所以

感悟提升：解決此類涉及先求和再放縮的數列綜合應用問題，往往是先對數列通項公式進行合理的化簡變形，再對數列求和（可以是特殊的等差、等比數列求和，也可以是錯位相減法、分組法、倒序相加法、裂項相消法求和等），在此基礎上進行合理的放縮，完成解題目標.

2先放縮再求和

先放縮再求和，是數列放縮問題的常考類型，對放縮對象的處理需要一定的技巧，是數列放縮中的難點.實際解題過程中，往往是將通項放縮為可裂項的結構，然后裂項求和；或將通項放縮為等比結構（等差比結構），然后錯位相減求和.處理原則就是將不易求和放縮成易求和再放縮[1].

例2（2024年江蘇省南京市高考數學調研試卷）已知函數 x，把方程|f（x）|=2的正數解從小到大依次排成一列，得到數列 {a_n} . Ω_n∈N^* ·

（1）求數列 {a_n} 的通項公式；

（2）記 ，設數列 {b_n} 的前 n 項和為 T_n ，求證：

（1）解析：因為 ，令 ∣f（x）∣=2 即 ，所以 k∈Z ，解得 x= 2k+1（k∈Z） 一

所以方程 ∣f（x）∣=2 的正數解從小到大依次為1，3，5，7，… ，所以 a_n=2n-1

（2）證明：依題 ，數列 {b_n} 的前 n 項和為

所以

所以

感悟提升：解決此類涉及先放縮再求和的數列綜合應用問題要注意兩個方面.（1）使用情境：針對的是部分結構復雜、不方便直接進行數列求和的數列，但數列通項比較方便放縮（通常放縮成等差數列、等比數列、差比數列或裂項相消數列）；（2）解題步驟：先放縮數列的通項公式，再進行數列求和，完成解題目標.

3“雙向\"綜合放縮

“雙向\"綜合放縮，是數列不等式判斷與證明中的一類綜合應用問題，借助“雙向\"來混合設置.實際解題過程中，基于“雙向\"設置，同時融合先求和再放縮與先放縮再求和等不同技巧、方法，實現數列不等式的判斷與證明.

例3[2024年遼寧省大連育明高級中學高三（上）期中數學試卷]已知數列 {a_n} 中， ，且滿足3a_n，2a_n+1，a_na_n+1 成等差數列.

（1）證明：數列 是等比數列；（2）記 {a_n} 的前 n 項和為 S_n 求證：

證明：（1）依題，可得 4a_n+1=3a_n+a_na_n+1

結合 ，利用數列的遞推關系可得 a_n≠ 0恒成立，則上式恒等變形并整理可得

合理配湊有 ，即 所以數列 首項為 ，公比為 的等比數列.

（2）（

因為 （204號 ，所以 由于 所以當 n?2 時 ，S_n=a₁+a₂+a₃+…+a_nlt;

綜上分析，可知不等式 成立.

感悟提升：解決此類涉及“雙向\"綜合放縮的數列綜合應用問題，在對數列通項公式變形并放縮的基礎上加以合理放縮，同時對數列求和的結果也進一步加以巧妙放縮處理，綜合應用，“雙向\"奔赴，實現數列不等式的判斷與證明.進行放縮處理時，巧妙聯系證明的數列不等式結論，要注意放縮目標與幅度的合理把握與聯系.

其實，利用放縮法判斷與證明數列不等式問題，關鍵是抓住數列的結構特征及不等式的基本性質，通過不等式的基本性質，巧妙借助放縮法來處理，或先求和再放縮，或先放縮再求和等，都可以實現數列不等式的巧妙轉化與證明[2].

而在實際應用時，要合理根據數列不等式的結構特征選擇相應的技巧、方法來切人，同時合理綜合數列、不等式等對應知識的基本技巧與方法，融合其他相關的數學基礎知識、數學思想方法和數學能力等，全面提升綜合應用能力，培養數學核心素養.

參考文獻：

[1]李光輝.例談高考數列不等式證明中通項放縮的策略[J].高中數理化，2025（Z1）：118-121.

[2王敬博.巧放縮，妙證數列不等式[J].語數外學習（高中版中旬），2025（5）：38.Z