不等式恒成立，參數范圍確定

不等式恒成立問題是依托函數與方程、函數與不等式等之間交匯與綜合應用的一種重要考查類型，也是函數與導數的綜合應用的典型體現之一.依托不等式恒成立的場景創設與巧妙融合，可以合理與導數及其幾何意義、函數與方程、不等式等相關基礎知識進行交匯，可以以小題（選擇題或填空題）的形式出現，也可以以解答題的形式出現，一般作為壓軸題出現，難度略大[1].

此類涉及不等式恒成立及其綜合應用問題，內涵豐富多彩，綜合性強，解法靈活多變，綜合考查學生分析問題、解決問題的能力，具有較好的選拔性與區分度，備受各方關注.

1問題呈現

問題（湖北省部分市州2025年元月高三期末聯考數學試卷 ??16 已知函數 （1）當 a=1 時，求 f（x） 的極值；

（2）若不等式 a（x²-x+1）?f（x） 恒成立，求實 數 a 的取值范圍.

此題以含參的函數解析式為問題場景，通過兩道小題的設置來綜合考查函數的單調性、極值，以及不等式恒成立及其綜合應用等.

第一小問，利用參數的確定值可以直接確定對應的函數解析式，進而求解函數的極值.問題比較簡單，通過求導運算，結合導函數零點的確定，并利用導函數的正負取值情況與分類討論，即可以確定函數的極值.

第二小問，利用含參不等式恒成立的創設來確定對應參數的取值范圍，問題難度有所提升.問題以比較常規的含參不等式恒成立來設置，關鍵在于對不等式的恒等變形與轉化，以及如何借助不等式恒成立來切入與應用，或通過含參不等式的轉化，結合分析法先確定對應的參數取值范圍，再加以合理證明與分析；或通過含參不等式的分離參數，結合函數的構建與應用來確定對應的參數取值范圍.

2問題破解

解析：（1）當 a=1 時 ，定義域為 {x∣xgt;0}

求導得 .令f'（x）=0，解得x=1 當 x∈（0，1） 時， f^′（x）gt;0 ；當 x∈（1，+∞） 時，f^′（x）lt;0. 所以當 x=1 時， f（x） 有極大值 f（1）=0 ，無極小值.

（2）方法1：分析法1.

依題可知不等式 a（x²-x+1）?f（x） 恒成立，所以 ，即 α（x²+1）? lnx+1，即ax+≥

由（1）知 ，即 ，當且僅當x=1 時等號成立，所以只需 ，即 1，當且僅當 x=1 時等號成立即可，此時

下面證明當 時，不等式 a（x²-x+1）≥ f（x） 恒成立.

要證明 ，即需證明 x²+1? 成立.

構建函數 （20 求導得 區G^′（x）=0 ，解得 x=1. 當 x∈（0，1） 時， G^′（x）lt;0 ；當x∈（1，+∞） 時， G^′（x）gt;0. 所以 G（x）_min=G（1）=0 ，所以不等式 成立.

所以當 時，不等式 a（x²-x+1）?f（x） 恒成立.

所以實數 α_a 的取值范圍為

方法2：分析法2.

依題可知不等式 a（x²-x+1）?f（x） 恒成立，所以 ，即 a（x²+1）? ：

易知當 x=1 時， 2a?1 ，此時

下面證明當 時，不等式 a（x²-x+1）≥ f（x） 恒成立.

以下證明過程同方法1的對應部分.

所以實數 a 的取值范圍為

點評：依托含參不等式恒成立的條件場景，通過不等式的恒等變形與轉化，或直接推理挖掘參數的取值范圍，或利用特殊值的確定來界定參數的取值范圍等.在此基礎上，結合得到的參數的取值范圍，利用嚴謹的推理分析與數學運算來合理證明.證明過程中，往往離不開函數的構建、導數的運算與應用等，回歸函數與導數的應用，實現問題的完整性與完備性.

方法3：分離參數法1.

依題可知不等式 a（x²-x+1）?f（x） 恒成立，所以 ，即 a（x²+1）? （2號ln x+1 ，即中

構建函數 χ2+1，求導可得g（x）=

構建函數 ，求導得

設函數 ，則 .令 m^′（x）=0 ，解得 x=1

當 x∈（0，1） 時， m^′（x）gt;0 ，函數 m（x） 單調遞增；當 x∈（1，+∞） 時， m^′（x）lt;0 ，函數 m（x） 單調遞減.所以 m（x）_max=m（1）=-4lt;0 ，即 m（x）=h^′（x）lt;0 恒成立，則函數 h（x） 單調遞減，且 h（1）=0

所以當 x∈（0，1） 時， h（x）gt;0 ，即 g^′（x）gt;0 ，函數 g（x） 單調遞增；當 x∈（1，+∞ ）時， h（x）lt;0 ，即g^′（x）lt;0 ，函數 g（x） 單調遞減.

所以 所以實數 a 的取值范圍為

方法4：分離參數法2.

同方法3可得

構建函數 求導可得 g^′（x）= x .而 g^′（1）=0 ，所以當 x∈（0，1） 時，（x2+1）2g^′（x）gt;0 ；當 x∈（1，+∞） 時， g^′（x）lt;0. 所以 ，所以a =

所以實數 a 的取值范圍為

點評：依托含參不等式恒成立的條件場景，通過不等式的恒等變形與轉化，巧妙分離參數.用分離參數法解決函數與導數的綜合應用問題時，思維方式比較常規，關鍵是依托函數、方程或不等式中的對應關系式加以合理應用，進而巧妙分離參數，利用函數的構建、函數與導數的綜合應用等來分析與求解，結合函數的極值或最值的確定來解決參數的取值范圍問題.

3變式拓展

變式 （改編題）已知函數

（1）若 x=1 是函數 f（x） 的極值點，求實數 a 的值；

（2）若不等式 對任意的實數 x?1 恒成立，求實數 a 的取值范圍.

4教學啟示

作為高考命題的重點與熱點的不等式恒成立問題，命題場景與考查方式常考常新.經常以不等式恒成立為場景，或用來確定含參不等式中對應參數的最值（或取值范圍），或用來巧妙證明與之對應的不等式成立，或用來確定對應函數的零點等方面相關的應用等，命題形式豐富.而利用導數思維巧妙解決相應的不等式恒成立問題，場景新穎，求解方法靈活，是全面考查考生“四基”與“四能”的一個很好場景，具有較好的選拔性與區分度，在鍛煉學生的綜合解題能力與邏輯推理能力，促使學生養成良好的解題習慣，培養學生思維的靈活性、創造性等方面，都有著獨特的作用.

參考文獻：

[1]李世文.含參不等式恒成立問題解題策略探究[J].數學學習與研究，2024（1）：134-136.Z