追根溯源巧拓展，發散思維妙應用

2025-09-28 00:00:00田曦

中學數學·高中版 2025年9期

三角函數知識是高中數學教材中的一大主干知識，也是歷年高考數學試卷中的重點知識之一.而以三角函數為背景的函數與零點綜合問題，合理將函數與三角函數知識加以交匯，融合函數與方程、函數與零點等之間的關系，回歸三角函數的函數與方程本質，有效“串聯”起函數與三角函數知識之間的聯系，成為命題中的一個熱點與難點，倍受各方關注.本文中基于一道三角零點題的探究，追根溯源，變式拓展，開拓學生的數學思維

1問題呈現

問題1（2023年江蘇省南京市、鹽城市高考數學二模試卷）（多選題）已知 f（θ）=cos4θ+cos3θ ，且θ₁?θ₂?θ₃ 是 f（θ）在（0，π）內的三個不同零點，則

Ａ．

B.θ₁+θ₂+θ₃=π

C.cos D.cc

此題以三角函數為問題背景，結合對應函數在給定區間上的三個不同零點的情境創設，以多選題的形式來合理設置，進而確定與這三個零點相關的代數式、三角函數值等的關系與判斷.

依托函數的零點，合理轉化為對應的方程，進而變形為對應的三角函數問題，此時三角恒等變換、誘導公式等的應用就至關重要，給問題的切入與展開提供不同的思維方向；同時三次韋達定理以及復數思維等，也給問題的解決開拓了更加廣闊的空間，值得好好品鑒與研究.

2問題破解

2.1三角函數思維

解法1：拆角公式法.

依題，有

θ∈（L₀，L_π）

f（θ）=0 ，可得（20 k∈Z ，解得：對于選項A，則知，故選項 ?A 正確；對于選項B，則有，故選項B錯誤；對于選項C，有cosθcosθcos （2號

8，故選項C正確；對于選項D，可得

，故選

項D正確.

綜上分析，故選擇答案：ACD.

解法2：誘導公式法.

依題，令 f（θ）=cos4θ+cos3θ=0 ，則有cos 4θ=

cos（π-3θ），可得 4θ±3θ=2kπ+π，k∈Z ，結合 θ∈（0，π），解得0= 1

以下部分同解法1.

2.2復數思維

解法3：復數法.

依題，令 f（θ）=cos4θ+cos3θ=0 ，則有cos 4θ= cos（π-3θ），可得 4θ±3θ=2kπ+π，k∈Z ，結合 θ∈（0，π），解得 0易知，故選項A正確.

易得，故選項B錯誤.

構建復數 z_n=cosθ_n+isinθ_n（n=1，2，3）是方程 z⁷=-1 的根，即是方程（z+1）（z⁶-z⁵+z⁴-z³+ z²-z+1）=0 的根.

又 z_n+1≠0 ，則 z_n 是方程 z⁶-z⁵+z⁴-z³+ z²-z+1=0 的3個根，另外3個根為 z_n=cosθ_n- isin θ_n（n=1，2，3），即，則有 z³-z²+z-

x，則有z2- x（x²-2）-x ，可得 x³-x²-2x+1=0 ，它的3個根為，根據三次韋達定理可得8cos θ₁cosθ₂cosθ₃=-1，2cosθ₁+2cosθ₂+2cosθ₃= 1，則，cos 0+cos02+cos0= ，故選項C，D正確.

綜上分析，故選擇答案：ACD.

2.3方程思維

解法4：三次韋達定理法.

依題，令 f（θ）=cos4θ+cos3θ=0 ，則有cos 4θ=

cos（π-3θ），可得 4θ±3θ=2kπ+π，k∈Z ，結合 θ∈

（0，π），解得 =

易知，故選項A正確.

易得 7，故選項B錯誤.

而 f（θ）=cos4θ+cos3θ=2（2cos²θ-1）²-1+ 4cos ³θ-3cosθ=8cos⁴θ+4cos³θ-8cos²θ- 3cos θ+1=（cosθ+1）（8cos³θ-4cos²θ-4cosθ+1）又 θ∈（0，π），由 f（θ）=0 可得8cos ³θ-4cos²θ- 4cos θ+1=0 ，利用三次韋達定理可得cos ;θ₁?cosθ₂ ：cos 8，cos 0+cos 0+cos 0= ，故選項C，D正確.

綜上分析，故選擇答案：ACD

點評：根據三角函數以及對應給定區間上的零點，依托三角函數的場景，利用三角函數知識來切入與應用，是解決問題最為常見的基本技巧與方法，關鍵在于三角關系式的恒等變形與轉化；而回歸函數的本質，利用零點性質來處理，從函數與方程的轉化入手，通過韋達定理的應用來處理；合理結合問題場景引入復數，借助復數的應用實現問題的突破與求解.

3題源探尋

探尋以上模擬題的根源，合理追根溯源，發現其是在相應的IMO賽題基礎上的深入變形與轉化.

問題2 （第5屆IMO第5題）證明：cos CO