用導數法研究函數的零點問題

函數與導數的綜合應用是高中數學函數模塊的一個重點知識點，導數思維更是解決函數綜合復雜問題的一個重要工具.

而涉及函數零點的綜合應用問題，如函數的零點個數確定、參數范圍求解以及隱零點應用等問題，都可以很好借助導數法來分析與應用，是全面考查考生數學“四基”與數學“四能\"等方面，有效突破考生學習難點與瓶頸的一個關鍵節點.

1零點個數的確定

例1已知函數

（1）求函數 在點 （1，0） 處的切線方程；

（2）當 時，討論函數 G（x）=f（x）-tg（x） （ Γ_t∈R） 的零點個數.

解析：（1）由題知 ，則 F^′（x）= ，所以 F（1）=0，F^′（1）=e. （20

故 F（x） 在點（1，0）處的切線方程為 y=ex-e

（2）當 時， 令 G（x）=0 ，得 解得 業令函數 ，則 h^′（x）= .令 h^'（x）=0 ，得 或1.當 時，可得 h^′（x）gt;0 ，此時函數 h（x） 單調遞增；當 時，可得 h^′（x）lt; 0，函數 h（x） 單調遞減；當 x∈（0，1） 時，可得 h^′（x）lt; 0，函數 h（x） 單調遞減；當 x∈（1，+∞ ）時，可得h^′（x）gt;0 ，函數 h（x） 單調遞增.

故當 x 變化時， ，h^′（x），h（x） 的變化情況如下表1.

表1

且當 時 ，h（x）0，x+∞ 時， h（x） +∞ x0 時， h（x）0

故當 時， G（x） 無零點；

當 t=0 或 或 時，G（x） 有一個零點；當 或 時， G（x） 有兩個零點；當 時， G（x） 有三個零點.

總結提煉：利用導數法確定函數的零點個數問題時，比較常用的方法主要有以下兩種.

（1）圖象法：合理借助函數所對應的圖象，特別是確定函數的極值或最值及其對應的位置，進而數形結合來分析函數的零點問題.特別要注意的是，畫草圖時有時候需使用極限思維.

（2）函數零點存在定理法：合理借助函數零點存在定理確定對應函數在相應區間上的零點，并在此基礎上，結合導數研究函數的基本性質（單調性、極值、最值以及區間端點值的正負取值情況）來分析并判斷函數在相應區間的零點個數情況.

2參數范圍的求解

例2已知 Φ_agt;0 且 a≠1 ，函數 f（x）=log_ax+ ，若函數 f（x） 有兩個零點，求實數 a 的取值范圍.

解析：由題意知，函數 f（x） 有兩個零點可轉化為方程 在 x∈（0，+∞） 上有兩個解，等價于方程 在 x∈（0，+∞） 上有兩個解.

因此函數 的圖象在 x∈（0，+∞） 上有兩個交點.

設函數 ，求導可得到g′（x）=1-2lnχ.當g′（x）gt;0時，0′（x）lt;0 時， ，此時函數 g（x） 單調遞減.

由 2當_xgt;1 時， g（x）gt;0 ，當 時，g（x）0 ，當 x0⁺ 時， g（x）∞ 在平面直角坐標系中作出 y= g（x） 的圖象如圖1所示.

圖1

由圖1可知 ，所以 E

解得

故填答案：

總結提煉：利用導數法求解函數的參數范圍問題時，比較常用的方法主要有以下三種.

（1）分離參數法：合理利用分離參數來構建對應的函數，將問題轉化為確定相應函數的最值或值域問題，進而利用數形結合來確定兩函數圖象的交點情況；

（2）函數零點存在定理法：合理借助相應定理，巧妙構建對應的不等式來分析與求解對應參數；

（3）圖象直觀法：將相應的問題轉化為兩個熟知的函數圖象問題，借助圖象的位置關系來直觀分析，進而合理構建對應的不等式來分析與求解.

3隱零點的應用

例3已知函數 的最小值為—1.

（1）求 a 的值；

（2）已知不等式 在區 上恒成立，求實數 Ψ_m 的最大值.

（參考數據：

解析：（1）易知 令 f^′（x）gt;0 解得 Δ_xgt;e^a-1 ；令 f^′（x）lt;0 ，解得 0a-1 ：

所以，函數 f（x） 在 （0，e^αα-1） 上單調遞減，在（e^a-1，+∞） 上單調遞增.

所以 f（x）_min=f（e^a-1）=（a-1）e^a-1-ae^a-1=-1 解得 a=1

（2）由 可 得 恒成立.

令函數 2，則求導可得 h^′（x）=e^x-lnx-1

令 ，則

易知 r^′（x） 在 上單調遞增， ，且 r^′（x） 的圖象在 上不間斷.

所以存在 ，使得 r^′（x₀）=0 ，即 ，則

所以當 時， r（x） 單調遞減；當 x∈ （x₀，+∞） 時， r（x） 單調遞增.所以 r（x） 的最小值為 （20

由對勾函數性質可得 ，所以 ，從而 h^′（x）gt;0 ，則 h（x） 在 區間 上單調遞增.

所以2m≤h 1.995 25，即 m?3.9905. 故存在整數 Ψ_m 滿足題意，且整數 Σ_m 的最大值為3.

總結提煉：利用導數法求解函數的隱零點問題時，常用解決方法的基本步驟有兩步.

第一步，利用特殊點處的函數值、零點存在定理、函數的單調性、函數的圖象等，判斷零點是否存在以及零點取值范圍；

第二步，把導函數在其零點處導數值等于0作為條件代回原函數，進行化簡或消參.

基于此，用導數法研究函數的零點問題時，關鍵在于深挖題設條件的內涵與實質，從具體要求問題場景入手，采取適當措施，抓住“一個定理（函數零點存在定理）”，構造“一類函數（新函數）”，借助“一種思維（極限思維）”，多措并舉，巧妙綜合應用，合理化歸與轉化，利用函數與方程思想，或數形結合，或數學運算，或邏輯推理等，從而達到巧妙破解函數零點問題的目的.Z