函數(shù)與方程的轉(zhuǎn)化，函數(shù)與圖象的應(yīng)用

含參函數(shù)與方程的綜合問題，是高考數(shù)學(xué)試卷中最為基礎(chǔ)，且綜合性強(qiáng)、難度性高的一類常見考點(diǎn).此類綜合問題，場(chǎng)景熟知，知識(shí)基礎(chǔ)，設(shè)問多變，可以很好地融合函數(shù)與方程中眾多的基本概念，以及其他模塊的基本數(shù)學(xué)知識(shí)，同時(shí)又合理交匯一些相關(guān)的數(shù)學(xué)思想方法與基本技能等，是全面考查考生數(shù)學(xué)能力的重要載體，具有較高的選拔性與區(qū)分度.

1真題呈現(xiàn)

高考真題（2024年高考數(shù)學(xué)全國甲卷文 ?16 ）曲線 y=x³-3x 與 y=-（x-1）²+a 在 （0，+∞） 上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則 a 的取值范圍為

此題以一個(gè)確定的三次函數(shù)曲線，一個(gè)含參數(shù)的二次函數(shù)曲線為問題場(chǎng)景，動(dòng)靜結(jié)合，借助給定區(qū)間上兩曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的設(shè)置，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值范圍.

本題可以利用題設(shè)條件，進(jìn)行函數(shù)與方程的巧妙轉(zhuǎn)化，借助函數(shù)與方程思想，通過分離參數(shù)法、作差構(gòu)建法以及圖象關(guān)系法等思維切入，數(shù)形結(jié)合，直觀形象來確定對(duì)應(yīng)的參數(shù)取值范圍問題，實(shí)現(xiàn)問題的突破與求解.

2真題破解

解法1：分離參數(shù)法.

依題，令 x³-3x=-（x-1）²+a ，分離參數(shù)可得a=x³-3x+（x-1）²=x³+x²-5x+1.

令函數(shù) g（x）=x³+x²-5x+1，x∈（0，+∞）， 則有 g^′（x）=3x²+2x-5=（3x+5）（x-1）

令 g^′（x）=0 ，解得 x=1 或 舍去）.

當(dāng) x∈（0，1） 時(shí)， g^′（x）lt;0 ，函數(shù) g（x） 單調(diào)遞減；當(dāng) x∈（1，+∞） 時(shí)， g^′（x）gt;0 ，函數(shù) g（x） 單調(diào)遞增.

易知 g（0）=1，g（1）=-2 又當(dāng) x+∞ 時(shí)， g（x）+∞ 作出函數(shù) g（x） 的草圖，如圖1.

依題可知方程 a=x³+x²- 5x+1 在 （0，+∞） 上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則知函數(shù) g（x） 的圖象與直線 y=a 有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合可知 a∈（-2，1） ：

圖1

故填答案：（-2，1）.

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件，將對(duì)應(yīng)的函數(shù)問題方程化處理，結(jié)合分離參數(shù)，并構(gòu)造新函數(shù)，利用求導(dǎo)運(yùn)算，結(jié)合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，確定對(duì)應(yīng)函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值情況，通過作出對(duì)應(yīng)函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合來直觀分析與求解，往往是解決此類問題比較常見的一個(gè)思路過程.

解法2：作差構(gòu)建法.

依題，令 x³-3x=-（x-1）²+a ，移項(xiàng)可得 x³+ x²-5x+1-a=0.

構(gòu)建函數(shù) h（x）=x³+x²-5x+1-a，x∈（0，+∞） 則 h^′（x）=（3x+5）（x-1）. 令 h^′（x）=0 ，解得 x=1 或 舍去）.

當(dāng) x∈（0，1） 時(shí) ，h^′（x）lt;0 ，函數(shù) h（x） 單調(diào)遞減；當(dāng)x∈（1，+∞） 時(shí)， h^′（x）gt;0 ，函數(shù) h（x） 單調(diào)遞增.

依題知方程 x³+x²-5x+1-a=0 在 （0，+∞） 上有兩個(gè)不同零點(diǎn)，則函數(shù) h（x） 的圖象與 x 軸正半軸有兩個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合得 解得），a∈（-2，1）

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)題設(shè)條件，直接由兩曲線所對(duì)應(yīng)的函數(shù)解析式進(jìn)行作差處理，通過方程法的轉(zhuǎn)化，直接構(gòu)建含參的函數(shù)，利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用來分析與處理，也是解決問題的一種基本技巧方法.該解法與解法1中的分離參數(shù)法的基本思維類似，只是最后數(shù)形結(jié)合分析時(shí)的對(duì)象一者是含參的直線方程，一者是 x 軸正半軸，異曲同工.

解法3：圖象關(guān)系法.

設(shè)函數(shù) f（x）=x³-3x，g（x）=-（x-1）²+a x∈（0，+∞）

易知 f^′（x）=3x²-3=3（x+1）（x-1）. 令 f^′（x）=0 ，解得 x=1 或 x=-1（ 舍去）.

當(dāng) x∈（0，1） 時(shí)， f^′（x）lt;0 ，函數(shù) f（x） 單調(diào)遞減；當(dāng) x∈（1，+∞ 時(shí)， f^′（x）gt;0 ，函數(shù) f（x） 單調(diào)遞增.

而 f（0）=0 ， f（1）=-2 ；又當(dāng) 時(shí)，f（x）+∞ .作出函數(shù) f（x） 的草圖，如圖2.

而函數(shù) g（x）=-（x-1）²+a，x∈（0，+∞） 的圖象是開口向下，以 x=1 為對(duì)稱軸的一條拋物線在 軸右側(cè)的部分.

依題可知，曲線 y=x³-3x 與 y=-（x-1）²+a 在 （0，+∞） 上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則知函數(shù)g（x） 的圖象與函數(shù) f（x） 的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，借助圖象關(guān)系，數(shù)形結(jié)合可知{8（0）=-1+alt;0，解（204號(hào)得 a∈（-2，1） ：

圖2

點(diǎn)評(píng)：根據(jù)三次函數(shù)的解析式，通過函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用來確定其對(duì)應(yīng)的圖象，又借助二次函數(shù)的圖象，一“靜”一“動(dòng)”，結(jié)合動(dòng)靜變化規(guī)律構(gòu)成的函數(shù)圖象關(guān)系，合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等式（組），給問題的分析與求解創(chuàng)造條件.利用函數(shù)圖象關(guān)系法處理此類問題，是大部分人比較容易想到的一種基本方法，也是一種習(xí)慣性思維方式.

3變式拓展

3.1類比變式

依托高考真題的應(yīng)用場(chǎng)景，結(jié)合兩曲線在對(duì)應(yīng)區(qū)間上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的變化，合理加以類比變式與應(yīng)用，得到對(duì)應(yīng)的變式問題.

變式1曲線 y=x³-3x 與 y=-（x-1）²+a 在 （0，+∞） 上僅有一個(gè)交點(diǎn)，則 a 的取值范圍為

解析：同以上高考真題的解法3中的解析部分，作出對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象.

令 x³-3x=0 ，解得 x=0 或 （舍去）或

依題知函數(shù) g（x） 的圖象與函數(shù) f（x） 的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合，可知 g（1）=a=-2 或 ， ， 解得 a=-2 或 a?1 故填答案： {-2}∪[1，+∞）

變式2曲線 y=x³-3x 與 y=-（x-1）²+a 在 （0，+∞） 上沒有交點(diǎn)，則 a 的取值范圍為

答案： （-∞，-2）

3.2深入變式

變式3已知函數(shù) 與 g（x）= 的圖象有3個(gè)不同的公共點(diǎn)，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則 a 的取值范圍為

解析：依題，由 f（x）=g（x） ，化簡(jiǎn)可得

令函數(shù) ，代入上式有 ，化簡(jiǎn)可得 t²+（a-1）t+1-a=0

對(duì) h（x） 求導(dǎo)，得 由 h^′（x）=0 ，解得 x=e.

當(dāng) x∈（0，e） 時(shí)， h^′（x）gt;0 ，函數(shù) h（x） 單調(diào)遞增；當(dāng) x∈（e，+∞） 時(shí)， h^′（x）lt;0 ，函數(shù) h（x） 單調(diào)遞減.

而當(dāng) x+∞ 時(shí)， h（x）0. 作出函數(shù) h（x） 的草圖，如圖3所示.

由題意可知，方程 t²+（a-1）t+ 1-a=0 有一個(gè)

根 t₁∈（0，1） ，另一個(gè)根 t₂=1 或 t₂=0 或 Φ_t1∈ （-∞，0）

當(dāng) t₂=1 時(shí)，方程無意義，舍去；

當(dāng) t₂=0 時(shí)， a=1，t₁=0 ，不滿足題意，舍去；

當(dāng) t₁∈（-∞，0） 時(shí)，令 k（t）=t²+（a-1）t+1- a ，且 k（1）=1gt;0 ，則 解，得 agt;1 ：

綜上分析， a 的取值范圍為 （1，+∞） ：

故填答案： （1，+∞）

4教學(xué)啟示

在解決涉及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題時(shí)，可以借助函數(shù)的零點(diǎn)情況、方程的實(shí)根情況、曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)等不同形式來創(chuàng)新設(shè)置，巧妙交匯函數(shù)與方程等綜合知識(shí)，融合函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程思想，成為考查知識(shí)與能力等方面比較突出的一個(gè)基本考點(diǎn).

此類問題難度往往比較大，很好地融合函數(shù)與方程、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與不等式等相關(guān)知識(shí)，或依托函數(shù)的圖象與性質(zhì)，或分離參數(shù)巧妙轉(zhuǎn)化，以突破相關(guān)參數(shù)或與參數(shù)有關(guān)的代數(shù)式的最值（或取值范圍）的求法與應(yīng)用為場(chǎng)景，數(shù)形結(jié)合，直觀想象，融人其他一些相關(guān)的知識(shí)與應(yīng)用.

在實(shí)際教學(xué)與學(xué)習(xí)過程中，借助此類涉及函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用問題，以綜合創(chuàng)新的應(yīng)用場(chǎng)景，合理加以數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)的交匯與融合，基于數(shù)學(xué)“四基\"的有效落實(shí)，很好地考查考生的“四能”情況，對(duì)于考生的選拔與區(qū)分，以及關(guān)鍵能力的提升與核心素養(yǎng)的形成等方面都是有益的.Z