對(duì)一道高考題進(jìn)行改編的新嘗試

1試題呈現(xiàn)

（改編題） 已知實(shí)數(shù)函數(shù) ，其中 a，b∈（0，+∞）

（1）若對(duì)于任意的 bgt;e⁴ ，函數(shù) f（x） 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) a 的取值范圍；

（2）當(dāng) a=2 時(shí)，對(duì)任意 bgt;e⁴ ，函數(shù) f（x） 的兩個(gè)零點(diǎn)分別為 x₁，x₂（x₁2） ，求證 （參考值：

原題（2021年浙江卷第22題）設(shè) a，b 為實(shí)數(shù)，且 agt;1 ，函數(shù) f（x）=a^x-bx+e²（x∈R）

（1）求函數(shù) f（x） 的單調(diào)區(qū)間；（2）若對(duì)任意 bgt;2e² ，函數(shù) f（x） 有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求 a 的取值范圍；（3）當(dāng) a=e 時(shí)，證明：對(duì)任意 bgt;e⁴ ，函數(shù) f（x） 有兩個(gè)不同的零點(diǎn) x₁，x₂（x₂gt;x₁） ，滿足 （注：e=2.7182…….是自然對(duì)數(shù)的底數(shù).）

函數(shù)的雙變量問(wèn)題是高考試題中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)問(wèn)題，對(duì)思維能力的要求很高.參考2021年浙江卷第22 題，本文中我們找了一個(gè)“二次型 + 對(duì)數(shù)型”的函數(shù)模型，題目形式簡(jiǎn)單，難度適中，但解法經(jīng)典基礎(chǔ)，符合高中數(shù)學(xué)對(duì)基本知識(shí)、基本能力的要求，適合中等偏上學(xué)生使用.

該改編題第一稿考慮了函數(shù) 有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí) a，b 滿足的充要條件.作圖可以說(shuō)明該問(wèn)題的可行性，具體可以結(jié)合函數(shù)單調(diào)性得零點(diǎn) X₀ 滿足 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求 =lnx的解1，（20只要 x₀gt;x₁ ，到此該問(wèn)題陷入僵局.第二稿修改成“二次型 + 對(duì)數(shù)型”，可以進(jìn)行但也有不足，比如想設(shè)置一個(gè)隱零點(diǎn)問(wèn)題.因?yàn)樵撃Ｐ蜕燥@簡(jiǎn)單，所以證明起來(lái)相對(duì)容易.

3試題分析

3.1第（1）問(wèn)解法分析

解法一：由函數(shù)單調(diào)性把問(wèn)題轉(zhuǎn)化成恒成立問(wèn)題，屬于常規(guī)解法.

解法二：將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問(wèn)題，再由函數(shù)切點(diǎn)處的大小關(guān)系得到結(jié)論.

思維導(dǎo)圖如圖1所示：

圖1

2命題過(guò)程

該題的命制過(guò)程主要考慮了函數(shù)模型的選擇.2021年浙江卷第22題是指數(shù)型和一次型的模型，2018年全國(guó)I卷第21題 年新高考全國(guó)I卷第21題 _lna，2018 年全國(guó) I 卷第21題 f（x）=e^x-ax² 考查了單變量函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題.

3.2第（2）問(wèn)解法分析

解法一：直接構(gòu)造函數(shù)放縮要證的不等式，再次構(gòu)造函數(shù)利用單調(diào)性證得.

解法二：先將零點(diǎn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化成交點(diǎn)問(wèn)題，通過(guò)多次構(gòu)造函數(shù)，放縮不等式得證.

思維導(dǎo)圖如圖2所示：

圖2

4解答過(guò)程

4.1第（1）問(wèn)的解析

解法一： .令 f^′（x）=0 ，得 x=

所以當(dāng) 時(shí)， f^′（x）lt;0，f（x） 單調(diào)遞減；當(dāng) 時(shí)， f^′（x）gt;0，f（x） 單調(diào)遞增.

所以 （20

當(dāng) x0⁺ 時(shí)， f（x）gt;0 ；當(dāng) 時(shí)， f（x）gt;0 [由 可放縮原式為二次函數(shù)，經(jīng)討論可得到兩個(gè)點(diǎn)分別使 f（x）gt;0.3

若函數(shù) f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)，則 即

因?yàn)?bgt;e⁴ ，所以 ，則 0lt;2a?e² ，解得 （2號(hào)

解法二：函數(shù) f（x） 有兩個(gè)零點(diǎn)，等價(jià)于方程 有兩個(gè)不相等實(shí)根.

設(shè)函數(shù) 的圖象與函數(shù) 的圖 象相切，切點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 x₀ ，則

解得xo=e，則切點(diǎn)的縱坐標(biāo)為yo=ae2+所以，兩條曲線的公切線的方程為 2ae²+b ，即 y=2aex

若方程 有兩個(gè)不等的實(shí)根，則

所以 b≥2e²a 對(duì)于任意的 bgt;e⁴ 恒成立.

故 2e²a?e⁴ ，解得

4.2第（2）問(wèn)的證明

證法一：由（1）知，當(dāng) a=2 時(shí)，函數(shù) f（x）=2x²- bln 有兩個(gè)零點(diǎn).

又 所以 ：

欲證明 只需證

易得

又因?yàn)楹瘮?shù) 在（e⁴，+∞） 上是減函數(shù)，所以 1≈ 0.20+0.69-1lt;0 ，則 ，所以原命

題成立.

證法二：由 ，得

設(shè)

當(dāng) 時(shí)， g（x）lt;0 ；當(dāng) 時(shí)，g（x）gt;0

當(dāng) 時(shí)， g^′（x）lt;0，g（x） 單調(diào)遞減；

當(dāng) x∈（e，+∞） 時(shí)， g^′（x）gt;0，g（x） 單調(diào)遞增.

當(dāng) 時(shí)， g（x）+∞ ，所以 又 ，所以

欲證明 只需證

因?yàn)? ，所以 ，則只需證

因?yàn)? ，所以只需證明

因?yàn)楹瘮?shù) h（b） 在 （e⁴，+∞ ）上單調(diào)遞增，且有 ，所以結(jié)論得證.

對(duì)上題我們做了變式，都可以用以上方法證得.

5變式

已知函數(shù) （0，+∞） ，且 bgt;agt;0，bgt;e³

（1）若 f（x） 在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù) α_a 的取值范圍；

（2）當(dāng) a=1，bgt;e³ 時(shí)， f（x） 的兩個(gè)零點(diǎn)分別為x₁，x₂（x₁2） ，求證 （其中l(wèi)t;）

（1）解：求導(dǎo)，得 f^′（x）=（x+1）（ae^x-b）

當(dāng) 時(shí)， f^′（x）lt;0，f（x） 單調(diào)遞減；

當(dāng) 時(shí)， f^′（x）gt;0，f（x） 單調(diào)遞增.

若 f（x） 在定義域內(nèi)存在兩個(gè)零點(diǎn)，則 f（x）_min= ，得 ，即 bgt;e²a 進(jìn)而得 a∈（0，e]

（2）證明：當(dāng) a=1，bgt;e³ 時(shí)

bx+2b ，且

因?yàn)? ，所以x₁∈（1，2） ：

欲證明 ，只需證

因?yàn)?f（x） 在 單調(diào)遞增，所以只需證

易得 （204號(hào) （204號(hào)

X

因?yàn)?h（t） 在 （3，+∞） 上是減函數(shù)，所以 h（t）lt; h（3）=-1lt;0

所以 2lt;0 ，從而 .因此原命題成立.

6實(shí)測(cè)結(jié)果

該題我們?cè)O(shè)置第一問(wèn)5分，第二問(wèn)7分.對(duì)于第一問(wèn)，大多學(xué)生能做到單調(diào)性和求出最小值，簡(jiǎn)單的恒成立問(wèn)題可以求出結(jié)果.第二問(wèn)學(xué)生可以求出第一個(gè)零點(diǎn)的范圍，少數(shù)學(xué)生能求出第二個(gè)零點(diǎn)的范圍，而能夠通過(guò)放縮轉(zhuǎn)化證明問(wèn)題的學(xué)生更少，即使是重點(diǎn)班的學(xué)生在處理導(dǎo)數(shù)問(wèn)題的常用方法上掌握得也還是不到位.教學(xué)中應(yīng)該加強(qiáng)基本功的訓(xùn)練與常規(guī)方法的掌握，凸顯強(qiáng)化轉(zhuǎn)化與化歸思想、函數(shù)思想等重要思想的培養(yǎng).

7體會(huì)

面臨新高考的不斷改革，數(shù)學(xué)命題推陳出新，本題命制參考?xì)v年優(yōu)秀高考題的思想，吸取精華，不斷地嘗試驗(yàn)證求解，最后的試題雖然成形但也有許多可以改進(jìn)的地方.命制高質(zhì)量有思想的數(shù)學(xué)試題，是一件很有挑戰(zhàn)性的工作.但筆者始終堅(jiān)信，只要在探索的道路上不停止，就會(huì)有不一般的收獲.Z