2024年新課標Ⅱ卷第19題的證明、推廣與背景分析

1試題呈現

2024年新高考 I 卷第19題如下：

已知雙曲線 C：x²-y²=m （ mgt;0） ，點 P₁（5，4） 在 c 上， k 為常數， 0n（n=2，3，…） ，過點 P_n-1 作斜率為 k 的直線與 c 左支交于點 Q_n-1 ，令 P_n 為 Q_n-1 關于 y 軸的對稱點，記 P_n 的坐標為 （x_n，y_n）

（1）若 ，求x2，y2；

（2）證明：數列 {x_n-y_n} 是公比為 的等比數列；

（3）設 S_n 為 ΔP_nP_n+1P_n+2 的面積，證明：對任意的正整數 n，S_n=S_n+1 ：

2解法探究

（I）第（1）問的探究

由 P₁（5，4）∈C ，知 m=5²-4²=9 ，所以 C：x²- y²=9 .由已知可得 ，即 y= .聯立 與 c 可得 y²-4y=0 ，解得 y=0 或 y=4 ，故 Q₁（-3，0） ，則 P₂（3，0） ，即 x₂=3，y₂=0

（Ⅱ）第（2）問的探究由題意，結合直線 P_n-1Q_n-1 的方程可知

y_n=k（-x_n-x_n-1）+y_n-1

即 y_n+kx_n=y_n-1-kx_n-1

因此

①-② ，得 x_n²-x_n-1²=y_n²-y_n-1²

③×④ ，得 x_n-x_n-1=-k（y_n+y_n-1）

④÷⑤ ，得 y_n-y_n-1=-k（x_n+x_n-1）

⑤-⑥，易得-y=

所以，數列 {x_n-y_n} 是以1為首項 為公比的等比數列

點評：第（2）問由于涉及到 x_n-y_n，x_n-1-y_n-1 和斜率 k ，因此需要結合直線 P_n-1Q_n-1 的方程和點P_n-1，P_n 在雙曲線上，然后利用點差法來解決.

（Ⅲ））第（3）問的探究

由圖1不難發現， S_n=S_n+1 等價于 P_n+1P_n+2//P_nP_n+3

1-k，由（2）可得xny_n=t^n-1（x₁-y₁）=t^n-1.

又因為 ，所以由以上兩式解得

所以

所以 P_n+1P_n+2//P_nP_n+3 ，即 ΔP_nP_n+1P_n+2 和ΔP_n+1P_n+2P_n+3 的面積相等.故 S_n=S_n+1 ：

點評：觀察幾何圖形，主抓幾何特征，回歸幾何本質，這樣處理可減少運算量，提高解題速度.

3試題推廣

已知雙曲線 C：x²-4y²=m（mgt;0） ，點 在 c 上， k 為常數， ，按照如下方式依次構造點列 {P_n} ：過點 P_n-1（n≥2，n∈N^* ）作斜率為 k 的直線與 C 的左支交于點 Q_n-1 ，令 P_n 為 Q_n-1 關于 軸的對稱點，記 P_n 的坐標為 （x_n，y_n）

（1）若 4，求x2，y2；

（2）證明：數列 {x_n-2y_n} 是公比為 的等比數列；

（3）設 S_n 為 ΔP_nP_n+1P_n+2 的面積，證明：數列 {S_n} 為常數列.

解析：由 P₁∈C ，得 以 記直線 P_αnQ_n，n=1，2，…

（1）若 則 l₁：2x-8y+1=0 ，代入 C：x²- 4y²=4 ，易得 則

所以 A

（2）由 P_n（x_n，y_n）∈C ，得 Q_n-1（-x_n，y_n）∈C∩ l_n-1 .于是有

⑦-⑧ ，得 x_n²-x_n-1²=4（y_n²-y_n-1²）

⑨×⑩ ，得 x_n-x_n-1=-4k（y_n+y_n-1）

⑩÷⑩ ，得 y_n-y_n-1=-k（x_n+x_n-1）

?×2-? ，易得 x_n-2y_n=q（x_n-1-2y_n-1） ，其

所以數列 {x_n-2y_n} 是公比為 的等比數列.

（3）由已知得 ，于是可 得 x_n-2y_n=q^n-1 ，進一步可得 x_n+2y_n=4q^1-n

易見

（把第2列的2倍加給第1列，再把第1列的 倍加給第2列，然后提取公因子

為常數， n=1，2，…

所以數列 {S_n} 為常數列.

點評：把行列式展開，通過化簡可得到 S_n=

4背景分析

本質上來說，本題中此曲線的幾何性質可以歸結為：如圖2所示，此曲線上6個點，若P_nQ_n//P_n+2Q_n+2 且 P_n+1Q_n// Q_n+2P_n+3 ，則 P_n+1P_n+2 //PnPn+3·

圖2

用文字來敘述就是：此雙曲線的內接六邊形（可以是折六邊形或者凹六邊形）中，有兩對邊互相平行，則第三對邊互相平行.

事實上，這對所有的二次曲線都是成立的，這其實是大名鼎鼎的帕斯卡（Pascal）定理的特例.帕斯卡定理的內容為：二次曲線的內接六邊形三對對邊的交點共線[1].

利用帕斯卡定理及其特例，可命制許多圓錐曲線試題，感興趣的讀者可繼續探究.

參考文獻：

[1李鴻昌.高考題的高數探源與初等解法M].合肥：中國科學技術大學出版社，2022.Z