從“數(shù)”與“形”的交融破解高中數(shù)學(xué)難題

“數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難人微.\"華羅庚的這句話描述了“數(shù)”與“形”的緊密關(guān)系，也為解決數(shù)學(xué)問題指明了方向.眾所周知，高中數(shù)學(xué)知識點多，習(xí)題情境多變，單進行“數(shù)\"的運算或“形”的觀察有時難以找到切入點，而將“數(shù)”與“形\"結(jié)合起來，實現(xiàn)二者的優(yōu)勢互補，往往可以尋找到一條高效的解題路徑.

1破解函數(shù)難題

解答函數(shù)習(xí)題的思路較靈活，其中根據(jù)習(xí)題創(chuàng)設(shè)的情境將“數(shù)”的運算問題轉(zhuǎn)化為“形”的關(guān)系的分析問題，可以達到簡化計算、提高解題效率的目的.這里的“形”主要指函數(shù)圖象，因此，正確畫出函數(shù)圖象是解題的關(guān)鍵.畫函數(shù)圖象一般有兩種思路：其一，聯(lián)系基本初等函數(shù)圖象，或?qū)境醯群瘮?shù)進行平移、對稱等變換，以滿足解題需求；其二，運用導(dǎo)數(shù)研究復(fù)雜函數(shù)的單調(diào)性、零點，并結(jié)合極限知識畫出函數(shù)圖象.

x-2=0 ，解得 x₁=-2 （舍去）， x₂=1. 易得點 M（1，1） 則點 M 到直線 l 的距離 d= =2√5，則d2=20.所以 的最小值為20.

圖1

2破解三角函數(shù)難題

三角函數(shù)是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，包括正弦函數(shù)、余弦函數(shù)、正切函數(shù)及其對應(yīng)的圖象、性質(zhì)等1.其中三角函數(shù)圖象較為特殊，呈現(xiàn)一定的周期性，是對稱圖形.正確把握三角函數(shù)圖象的特點，掌握畫三角函數(shù)圖象的方法，通過“數(shù)”與“形”的對照，可以有效解決三角函數(shù)諸多難題.

例1已知 agt;0，b∈R ，則 的最小值為

解析：設(shè)點 ） 連接 PQ ，易得到 （20|PQ|² ：

易得點 Q 在直線 l：2x+y+7=0 上，點 P 在函數(shù) 的圖象上 2（x2-2）.令f‘（x）=0，則x=-√2（舍去），x2=√2.

當(dāng) 時， f^′（x）lt;0 ，函數(shù) f（x）=x²- 單調(diào)遞減；當(dāng) 時， f^′（x）gt;0 ，函數(shù) f（x）= 單調(diào)遞增；當(dāng) 時， f（x）+∞ ，當(dāng) 時， f（x）+∞ ：

問題轉(zhuǎn)化為求直線 ξ_l 上一點到函數(shù) f（x） 圖象上一點的距離平方的最小值.畫出對應(yīng)的圖象，如圖1所示.

設(shè)與直線 ξ_l 平行且與函數(shù)圖象 f（x） 切于點 M 的直線為 l₀ .令 ，整理得到 x²+

例2 已知點 是函數(shù) f（x）=asinx+ bcos x 圖象上的最低點.將該圖象左移平移 個單位長度得到函數(shù) y=g（ρ_x） 的圖象.函數(shù) g（x） 的圖象在 處的切線和 g（x） 的圖象剛好有三個交點，則tan x₀-x₀ 的值為

解析： 又該圖象上的最低點為 ，則 ，即 ，則 φ= k∈Z ，則

由函數(shù) f（x） 的圖象左移平移 個單位長度得到函數(shù) g（x） 的圖象，則 g（x）=2sinx .由題意及函數(shù)g（x）=2sinx 圖象的對稱性，畫出對應(yīng)的圖象，如圖2所示.

圖2

由圖可知切線過點 （3π，0） ，而 ，切 （2點為 （x₀，2sinx₀） ，則2cos ，則tan x₀= x₀-3π 即tan x₀-x₀=-3π

3破解圓錐曲線難題

圓錐曲線是高中數(shù)學(xué)的難點.解答圓錐曲線相關(guān)習(xí)題往往需要進行復(fù)雜的計算，對計算能力要求較高.但是對于部分習(xí)題，僅僅進行計算反而會走彎路，甚至半途而廢，無法求出最終結(jié)果，為此，解題時應(yīng)頭腦靈活，擺脫定式思維的影響，另辟蹊徑，通過“數(shù)”與“形\"的結(jié)合，運用圓錐曲線的性質(zhì)、幾何圖形的性質(zhì)，高效、正確解題.

例3已知橢圓C：5 上存在一動點 M 圓 C^′ 的圓心為橢圓的右焦點，其半徑為1.過點 M 引直線 l₁，l₂ 和圓 C^′ 相切，切點分別為 P，Q ，則 ∣PQ∣ 的取值范圍為

解析：由橢圓C：5+161，可得其右焦點的坐標(biāo)為（3，0）.根據(jù)已知條件不難得知圓 C^′ 的方程為 （x-3）²+y²=1 ，如圖3所示.

圖3

設(shè) ∣MC^′∣=d ，由圓及其切 線性質(zhì)可得 ∣PC^′∣=∣C^′Q∣=1 ，則

在四邊形 MPC^′Q 中，C'P⊥MP， C^′Q⊥MQ ，則其面積 ，則

設(shè)點 M（x₀，y₀）（-5?x₀?5） ，則 ∣MC^′∣=d= .由點 M 在橢圓 c 上，得 y₀²=16- ，所以 對于二次函數(shù) 25，其對稱軸為直線 由二次函數(shù)性質(zhì)可得，當(dāng) x₀=-5 時，取得最大值64；當(dāng) x₀=5 時，取得最小值4.所以 2?d?8

又 ，則當(dāng) d=2 時， ∣PQ∣ 取得最小值 ；當(dāng) d=8 時， ∣PQ∣ 最大值 （204號 4所以|PQI的取值范圍為

4破解向量難題

向量是高中數(shù)學(xué)中非常重要的內(nèi)容，不僅包含諸多的概念，而且遵循自身的運算法則2.向量與幾何圖形聯(lián)系緊密，解答向量問題時，根據(jù)所給的向量關(guān)系，構(gòu)造幾何圖形，借助幾何圖形的性質(zhì)作答，可以事半功倍.

例4已知 ^a，b 為非零平面向量， e 為單位向量.若 ^a，e 的夾角為 和 的夾角為 ，則0|a-b| 的最小值為

解析：依題意可得

設(shè) a， ，如圖4所示.于是可得 .由 ?b-3e，b-5e?= ，得 e 向量，得 ∣MN∣=2

圖4

在△BMN中，由正弦定理可得 則 ，則點 B 的軌跡是以點 P 為圓心，半徑為 的圓.

顯然當(dāng) AB 過圓心 P 且和直線 ξ_l 垂直時， 最小.過點 P 向 MN 作垂線，垂足為 Q .過點 Q 向直線 ξ_l 作垂線，垂足為 H .過點 P 向 HQ 作垂線，垂足為 K ，則 AP//HQ

由 |QO∣=4，a，e 的夾角為 ，可得 ∣HQ∣= .由 ，得 ，則丨BA|=丨HQ丨- ，即 的最小值為

參考文獻：

[1游艷艷.基于數(shù)形結(jié)合思想的高中數(shù)學(xué)解題探究[J].數(shù)學(xué)之友，2024（17）：57-60.

[2]胡海俠.數(shù)形結(jié)合思想在高中數(shù)學(xué)中的應(yīng)用[J.數(shù)理化解題研究，2024（24）：8-10.Z