直觀想象、邏輯推理、數(shù)學(xué)運算的協(xié)同路徑

立體幾何中的空間位置關(guān)系探究、空間角的度量及其綜合問題，能提供考查學(xué)生空間想象能力、邏輯推理能力、數(shù)學(xué)運算能力的平臺，歷來是高考試題命制的熱點，也是每年高考必考的基本知識板塊，每年的考查情境與設(shè)問角度雖常考常新，但是命題的宗旨具有相當(dāng)?shù)姆€(wěn)定性[1].解決立體幾何中的綜合問題，要結(jié)合問題的條件場景，以及考生自身的知識儲備與思維水平，選擇恰當(dāng)?shù)囊暯沁M行分析，有利于尋求問題的突破與解法的優(yōu)化.

1真題呈現(xiàn)

（2025年新高考I卷第17題）如圖1，在四棱錐P-ABCD中，PA⊥ 平面 ABCD ， AB⊥AD ，BC//AD ：

圖1

（1）證明：平面PAB ⊥ 平面PAD ：

?C，D 在同一個球面上，設(shè)該球面的球心為 O

（i）證明：點 o 在平面ABCD內(nèi)；

（ii）求直線 AC 與直線 PO 所成角的余弦值.

2探究解析

2.1第（1）問的證明

（1）因為 PA 上平面 ABCD AB? 平面 ABCD ，所 以 PA⊥AB

又 AB⊥AD，AD∩PA=A，AD PA? 平面PAD ，所以 ∣AB 上平面 PAD

而 AB? 平面 PAB ，所以平面PAB」平面 PAD

2.2第（2）（i）問5個視角的分析與證明

2.2.1幾何視角（降維）

欲確定一點到 P，A，B，C，D 五個點距離相等，先設(shè)法確定一個點到 四個點距離相等，關(guān)注到 這一有些“獨特”的數(shù)值，將底面直角梯形的具體情形弄清、弄透，不難發(fā)現(xiàn)到 A，B，C，D 四個點距離相等的點能很快確定，而該點恰巧到點 P 的距離也相等.那么在此視角的透視下，本題就可順利化歸為平面幾何問題，實現(xiàn)了空間問題平面化、復(fù)雜問題簡單化.

如圖2，在線段 AD 上取一點 O ，使得 OA=1 ，取線段 BC 的中點 Q ，連接 OQ ，則可得 OB=

圖2

所以 OB=OC=OD=OP ，則 o 是球心，所以點O 在平面 ABCD 內(nèi).

2.2.2代數(shù)視角1（圓心位置坐標(biāo)化）

先求底面ABCD的外接圓圓心坐標(biāo)，探求出該點在底面何處，球心應(yīng)該在經(jīng)過該點與底面垂直的直線上.由于本題為證明題，因此可以知曉，圓心即球心.

如圖3，因為 AB，AD ，|AP| 兩兩垂直，以點 A 為坐標(biāo)原點，分別以 AB，AD -AP 所在直線為 x 軸、 y 軸 ?z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

圖3

于是點

在平面 _xAy 中，設(shè) ΔBCD 的外接圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0. （204號

將 B，C，D 三點的坐標(biāo)代人圓的方程，可得 ，

解得 D=0，E=-2 （20號

F=-2 ，則 x²+y²-2y-2=0 ，即 x²+（y-1）²=3 所以 ΔBCD 的外接圓圓心為 O（0，1，0） ，半徑為 R= .而 ，所

以 OB=OC=OD=OP ，即點 P，B，C，D 均在以 O 為球心，半徑為 的球面上.所以點 o 在平面 AB CD 內(nèi).

2.2.3代數(shù)視角2（球心位置坐標(biāo)化）

直接求出球心坐標(biāo)，通過坐標(biāo)化，尋求關(guān)于 x，y z 的方程組，并求解.

如圖3所示建系，則點 .設(shè)球心 O 的 坐標(biāo)為 （x，y，z） ，半徑為 R ，則有

解得 ，則球心 O（0，1，0） ，所以 O∈ 平面 ABCD

2.2.4代數(shù)視角3（中垂線方程化）

如圖3所示建系，設(shè) ΔBCD 外接圓的圓心為 O₁ 直線 BC 的中垂線方程為 ，直線 BD 的中垂線方程為 聯(lián)立方程組，得點 O₁（0，1，0） .因為 所以 PO₁=BO₁ ，此時球心 o 即為 O₁ ，所以點 o 在平面 ABCD 內(nèi).

2.2.5代數(shù)視角4（球面方程化）

2.3.2綜合法求空間角，“作、證、求”

如圖4所示，以 OA OP 為鄰邊，作 ?AOPQ ，則 AC= .延長 CB 到點 K ，使得 BK=1 ，連接

圖4

QK ，則知 PB//QK ，且 QK=PB=2 ，則知 QK⊥BK ：所以

在△AQC中，由余弦定理，可得cos ∠CAQ= ，所求角余弦值為

3教學(xué)啟示

如圖3所示建系，設(shè)球面 o 的方程為 x²+y²+

z²+Dx+Ey+Hz+F=0 ，將 P，B，C，D 四點的坐2+√2D+F=0，

標(biāo)代入，得 解得 D= ，2+√2H+F=0，

幾何法，是基于空間幾何體及其結(jié)構(gòu)特征，依托直觀想象素養(yǎng)，合理進行邏輯推理與分析，由因至果，側(cè)重定性分析；向量法，是基于空間直角坐標(biāo)系的構(gòu)建，依托數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)，合理進行坐標(biāo)運算與探究，以算代證，側(cè)重定量分析.兩種視角各有千秋，各有利弊，只有素養(yǎng)全面，方法才能信手括來，選用得當(dāng).而如今的高考創(chuàng)建了面向全體學(xué)生的學(xué)科素養(yǎng)考查框架，包括邏輯思維能力、運算求解能力、空間想象能力、數(shù)學(xué)建模能力和創(chuàng)新能力五種能力，因此素養(yǎng)的融合是能力提升的必由之路.而高考數(shù)學(xué)命題的原則，是在知識網(wǎng)絡(luò)的交匯點處設(shè)計試題，淡化了解題技巧，因此學(xué)科核心素養(yǎng)的融合是考生在知識交匯點處駕馭思想方法的宏觀保障[2].

所以球面 o 的方程為 x²+y²+z²-2y-2=0 即 x²+（y-1）²+z²=3 ，球心 O（0，1，0） ，所以點 O 在平面ABCD內(nèi).

2.3第（2）（ii）問主要視角及解析

2.3.1坐標(biāo)化視角，將幾何問題代數(shù)化

因為球心 O（0，1，0） ，則 .設(shè) 與 的夾角為 θ ，則cos θ= 所以直線 AC 與直線 PO 所成角的余弦值為

立體幾何問題的綜合應(yīng)用中，幾何法與向量法是比較常用的兩種基本方法.單博教授認(rèn)為解法“好\"的標(biāo)準(zhǔn)之一是“簡單自然”“簡單\"就是好算，“自然”就是好想.以該標(biāo)準(zhǔn)來衡量，向量法比較好想，但計算量較大；幾何法需要作輔助線，不好想，但是計算較為簡便而所謂的“好想與不好想”“好算與不好算”也不是一成不變的，要具體情況具體分析.高考數(shù)學(xué)強調(diào)數(shù)學(xué)的通用性和工具性，關(guān)注學(xué)生未來工作、學(xué)習(xí)必須具備的知識基礎(chǔ)和學(xué)科主干內(nèi)容，高考數(shù)學(xué)也強調(diào)綜合性，會甄別學(xué)生是否融會貫通，強調(diào)各分支內(nèi)容的聯(lián)系，會甄別學(xué)生是否從整體上建構(gòu)知識框架，形成合理的認(rèn)知結(jié)構(gòu).因此，探究路徑的協(xié)同是考生在整體知識框架中提升認(rèn)知水準(zhǔn)的具體落實.

參考文獻：

[1]章建躍.章建躍數(shù)學(xué)教育隨想錄：下卷[M].杭州：浙江教育出版社，2017：760-771.

[2]黃翔，童莉，李明振，等.從“四基”“四能”到“三會”條培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的主線[J].數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2019（5）：37-40.Z