指向深度學習的橢圓概念教學

深度學習是一種基于學生理解的學習，強調學習者以高階思維的發(fā)展和實際問題的解決為目標，以整合的知識為學習內容，積極主動地、批判性地學習新的知識和思想，將它們融人已有的認知結構中去，并能將已有的知識遷移到新情境解決問題的一種學習[1].

數學深度學習是學習者主動構建知識系統(tǒng)的過程，也是一個不斷探索知識關系的建構過程[2].

概念教學的基本目標是幫助學生形成概念，而形成概念的關鍵是發(fā)現概念的來源和概念間的關系，關注概念間生成關系的探究與邏輯關系論證，重視知識關系建構，以便更好地理解所學概念，運用所學概念解決相關問題，這也是數學深度學習的重要內涵.

在數學學習中，要理解一個數學知識或問題，發(fā)揮其在新知識探索與問題解決中的作用，需要將其置于與之相關的已知知識與問題系統(tǒng)中，用聯系與變化的辯證觀點，從系統(tǒng)整體的角度把握其意義和價值.

直線、圓、橢圓、雙曲線、拋物線是解析幾何的核心概念，在橢圓的概念教學中，若能關注相關概念的內在關系，關注其幾何形狀特征之間的內在聯系，引導學生恰到好處地將已有的知識遷移到新的情境中，進行合理的變化與猜想，將會“潤物無聲”地發(fā)現橢圓的幾何特征，歸納、辨析橢圓的定義，探究橢圓的標準方程.

橢圓概念的學習，是在學生學習了“直線和圓的方程\"的基礎上展開的，學生已經具有探究幾何概念的學習體驗，也儲備了一些幾何圖形的概念.基于此，筆者在橢圓的概念的探究教學中做了如下嘗試.

1教學過程簡錄

1.1強調定義的關鍵詞，為學生深度思考做準備

目的：通過復習圓的定義，強調定義中的關鍵詞，探索確定橢圓的幾何條件，提升直觀想象和邏輯推理素養(yǎng).

教學片段：圍繞以下問題，引導學生深度思考，組織教學活動.

師：我們已經系統(tǒng)地學習了圓的定義和標準方程，你能完整地敘述圓的定義嗎.

生：圓是平面上到定點的距離等于定長的點的集合.師：能否用符號語言表示上述概念？

生：若設動點為 M ，定點為 A ，定長為 r ，則圓的定義可以表示為 ∣MA∣=_r 師：你覺得圓的定義中的關鍵詞有哪些？

生：“定點”“定長”

分析：學生已經具有了圓的定義及圓的標準方程的學習體驗，教學活動中，通過復習圓的定義，以舊引新，在新知的生長點設問.教師板書過程中特別關注定義中的關鍵詞，暗示學生深度思考方向，為課堂有效交流做了鋪墊，同時，通過組織學生進行三種數學語言的轉化，提升學生數學抽象素養(yǎng).

1.2關注概念間的聯系，類比遷移

目的：在前面探究活動的基礎上，進一步引導學生對定義中的關鍵詞進行遷移變化，提升學生的數學抽象素養(yǎng)和歸納能力.

教學片段：立足圓的定義中的關鍵詞，引導類比遷移變化，重建知識結構.

師：若將概念中的關鍵詞進行遷移變化，你覺得變動哪個關鍵詞最有可能產生新的曲線？

生：“定點”.

師：如果變動“定點”，最先想到怎么變化？

生：變一個“定點\"為兩個“定點”

師：如果變一個“定點”為兩個“定點”，那么定義中的“定長\"將如何變化？

生：變“定長\"為到兩個“定點\"距離相等.

師：請將變化后的概念完整地敘述出來.

生：平面上到兩個定點的距離相等的點的集合.

師：該定義表示的軌跡是怎樣的曲線？

生：若設兩定點分別為 A，B ，則上述定義表示動點 P 的軌跡就是線段 AB 的垂直平分線.

分析：繼續(xù)圍繞圓定義中的關鍵詞，引導學生遷移變化，明確深度思考方向，強調“最先想法”，暗示學生深度思考的范圍，助推課堂有效交流.

探究過程中，適時組織學生進行歸納總結，不斷展現深度思考的成果，自然而然地將已有知識不斷納入新的知識體系中，提升學生數學抽象素養(yǎng).

1.3深化類比遷移，啟發(fā)學生深度思考

目的：在類比遷移得到線段垂直平分線定義并將其納入新的知識體系的基礎上，進一步啟發(fā)學生深度思考，提升學生數學歸納和數學抽象素養(yǎng).

教學片段：深化類比遷移，進一步提升學生的數學抽象素養(yǎng)，增強學生深度思考能力.

師：將圓定義中的關鍵詞\"定點\"變?yōu)椤皟蓚€定點”后，還可將“定長\"進行怎樣的變化？

生：變?yōu)榈絻蓚€“定點\"距離之和為“定值”

師：能否將變化后的定義完整敘述出來？

生：進一步變化后可得到“平面上到兩定點的距離之和等于定長的點的集合\"這樣一個定義.

師：如果設兩定點分別為 F₁，F₂ ，定長為2a，能否把上述定義用一個式子表示出來？

生： ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a ， agt;0

分析：將圓定義中的“定點”，“定長”都作進一步的類比遷移，圍繞以上問題開展課堂探究活動，歸納定義的過程中，教師適當點撥，強調定義中的關鍵詞，明確深度思考方向，進一步提升學生的數學抽象素養(yǎng).

1.4開放性設問，提升學生思維的嚴謹性

目的：類比歸納出橢圓的初步定義后，在將定義圖形化的過程中，通過開放性設問，提升學生思維的嚴謹性，增強學生對橢圓概念全面、深度的理解.

教學片段：開放性設問，使學生在比較自由的范圍內開展深度思考，實現對橢圓定義的深度理解.

師：若將 P ?_F1，F₂ 三點畫在平面上，你會怎樣放置這三個點？

生1：（1）當點 P 在線段 F₁F₂ （2 上，如圖1，即 ∣F₁F₂∣=2a 時，滿 圖1足 ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a ， agt;0 的動點 P 的軌跡是線段F₁F₂ （含端點）.

（2）當點 P 不在線段 F₁F₂ 上，即 ∣F₁F₂∣lt;2a 時，滿足 ∣PF₁∣+ |PF₂|=2a . agt;0 ，如圖2所示.

師：能否運用幾何方法畫出滿 圖2足圖2條件的點 P 的軌跡？在點 P 移動的過程中，怎樣確保 ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a 始終不變？

（引導學生用準備好的紙板、圖釘、細繩、鉛筆探究畫出滿足圖2條件的動點 P 的軌跡.）

師：根據剛才的探究實驗，發(fā)現滿足條件 ∣PF₁∣+∣PF₂∣=2a 0agt;0 ，且 ∣F₁F₂∣lt;2a 的點 P 的軌跡是一條封閉的曲線，如圖3.如果給這條曲線命名，你會給它起一個什么樣的名字？

圖3

生：橢圓.

師：能否根據我們的探究歸納出橢圓的嚴格定義？

生：我們把平面內與兩個定點 F_i，F₂ 的距離的和等于常數（大于 ∣F₁F₂∣ ）的點的軌跡叫做橢圓，這兩個定點叫做橢圓的焦點，兩焦點間的距離叫做橢圓的焦距，焦距的一半稱為半焦距.

分析：通過開放性的設問，引導學生深度思考所探究的概念，結合畫圖得出橢圓的圖形，培養(yǎng)思維的嚴謹性、完備性以及三種語言的轉換能力.

2設計分析

數學抽象是六大數學學科核心素養(yǎng)之一《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》中指出：

數學抽象是指通過對數量關系與空間形式的抽象，得到數學研究對象的素養(yǎng).主要包括：從數量與數量關系、圖形與圖形關系中抽象出數學概念及概念之間的關系，從事物的具體背景中抽象出一般規(guī)律和結構，并用數學語言予以表征[3].

該設計從學生熟知的圓的概念和圖形人手，引導學生通過對定義關鍵詞的不斷變化，關注圖形間的關系，著重培養(yǎng)學生數學抽象能力，以及對于概念的深度思考、深度理解能力.在這一過程中不僅抽象出了橢圓的定義，同時在深度思考過程中也加深了對概念的理解和辨析.

皮亞杰認為：隨著學習者學習的知識越來越多，就應該讓他們認清所學知識之間的聯系，主動構建認知圖式.深度學習意味著聯系與建構，從學生已有認知結構出發(fā)，在最近發(fā)展區(qū)提出新問題，將學生已有認知結構中的知識、方法或活動經驗作為新知識學習的先行組織材料，并能夠通過一些判斷準則與邏輯依據將信息組織成一個結構化的體系，形成一種批判性的認知建構方式與思維方式.在新知教學中，我們要努力找到與學生原有認知結構中相關知識的關聯，促進學生的思維走向縱深.

高考數學全國卷積極貫徹《深化新時代教育評價改革總體方案》要求，全面深化基礎性考查，要求學生基于探究的數學教學活動，深刻理解數學的基本概念和基本思想方法，重視數學的內在聯系；要求學生深刻理解數學問題的本質，深化概念，內化方法[4].

基于此，在設計該教學時，從復習圓的定義引入，簡單板書圓的定義，分析、關注定義中的關鍵詞，將圓的概念作為引發(fā)與催生探究、感知、歸納橢圓概念的出發(fā)點，引導學生對定義中的關鍵詞進行變化，深度挖掘教材基本概念的聯系，追溯知識的本質和內核，在知識本質處提問，注重知識關系建構，關注知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯合理性，逐步設置指向學生深度思考學習的數學問題，引導學生在感悟思想的連續(xù)性的過程中培養(yǎng)探究性、創(chuàng)造性，深刻理解圓和橢圓的概念間的內在聯系，深度理解兩個概念的本質.

參考文獻：

[1陳國良.指向深度學習的高中數學課堂教學提問策略LJ].中學數學月刊，2022（9）：13-16.

[2]王欽敏，余明芳.《課程.教材.教法》（京），2022.7.118-124.

[3]中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[S].北京：人民教育出版社，2020.

[4]教育部教育考試院.創(chuàng)設情境發(fā)揮育人作用深化基礎考查核心素養(yǎng)—2022年高考數學全國卷試題評析[J].中國考試，2022（7）：14-19.Z