類型與方法對應，技巧共素養一色：一道解三角形題的探究
2025-09-28 00:00:00姜國生
中學數學·高中版 2025年9期
涉及解三角形中有關邊、角或相關要素的最值（或取值范圍）問題，是解三角形綜合應用中最常見的問題類型，其是立足解三角形、平面幾何、不等式及三角函數等基礎知識綜合的一個基本考查點.此類問題依托初中平面幾何圖形的應用場景，聯系高中的解三角形、三角函數、函數與方程、不等式、平面解析幾何等知識，合理構建初、高中階段知識的聯系與應用，充分落實新課標中“在知識交匯點處命題”的高考基本指導思想，備受各方關注.
1問題呈現
（2025屆湖北省武漢市江岸區高三元月調考數學試卷·14）在△ABC中， BC=8，D 是 BC 上的點， AD 平分 ∠BAC，ΔABD 的面積是 ΔADC 的面積的3倍，當△ABC的面積最大時， sin∠BAC= （20
2問題破解
2.1不等式思維
方法1：三角形面積十基本不等式法.
設 AC=x ，則 AB=3x .結合三角形的基本性質，可得 x+3xgt;8 且 3x-xlt;8 ，則 2
在 ΔABC 中，利用余弦定理，可得 64=9x2+ x2-6x2cos∠BAC ，則 
于是，可知 
2 
，當且僅當 x2-4=16-x2 ，即 
時， ΔABC 的面積取得最大值12.
由 
，可得 
故 
為所求.
點評：依托題設條件，結合三角形中角平分線的基本性質，以及三角形面積之間的關系，建立對應邊長之間的比例關系，合理引入參數，并利用三角形的面積計算公式，構建三角形面積的關系式，利用關系式的恒等變形與巧妙轉化，結合基本不等式的應用合理放縮，確定對應的最值問題，給問題的突破與求解創造條件.
方法2：海倫公式十基本不等式法.
設 AC=x ，則 AB=3x .結合三角形的基本性質，可得 x+3xgt;8 且 3x-xlt;8 ，則 2
根據三角形面積的海倫公式，可得
當且僅當 x2-4=16-x2 ，即 
時， ΔABC 的面積取得最大值12.
根據 
，可得 
，則
（2
故 
為所求.
點評：根據題中條件構建三角形的邊長之間的比例關系，依托海倫公式，快捷地確定三角形面積的關系式，為進一步的分析與求解奠定基礎.
2.2三角函數思維
方法3：輔助角公式法.
設 BC 邊上的高為 h ，則 
（204號利用三角形的角平分線定理，有 
設 AC=x ，則 AB=3x .結合三角形的基本性質，可得 x+3xgt;8 且 3x-xlt;8 ，則 2
設 ∠BAC=α ，在 ΔABC 中，利用余弦定理可得64=9x2+x2-6x2cosα ，則 
1
故 
，當且僅當5-3cos α=4sinα ，即sin α= 
時， ΔABC 的面積取得最大值12.
故 
為所求.
點評：巧妙引入角參，利用三角形的面積計算公式構建關于對應角的關系式，借助三角恒等變換及對應的輔助角公式合理轉化，結合三角函數的有界性來確定對應的最值，可以巧妙達到“一箭雙雕”的目的.
2.3解析幾何思維
方法4：坐標法.
設 BC 邊上的高為 h ，貝 
利用三角形的角平分線定理，有 
以點 D 為坐標原點， BC 所在直線為 x 軸，建立平面直角坐標系，如圖1所示.設點 A（x，y） ，根據對稱性，不妨設ygt;0 ，此時點B（-6，0），C（2，0）
圖1
由 AB=3AC ，可得 AB2=9AC2"，則 （x+6）2+y2=9[（x-2）2+y2] ，整理可得 （x-3）2+y2=9 ，其是以 E（3，0） 為圓心，半徑為3的圓.
數形結合可知，當點 A 位于 Ao（3，3） 時， ΔABC 的面積最大，此時 
利用余弦定理，可得到 
（204
故 
為所求.
點評：依托平面直角坐標系的構建，合理設點，將平面幾何圖形的結構特征轉化為解析幾何中的曲線與方程問題，借助代數運算與數形結合思維來綜合應用，
3變式拓展
3.1同類變式
變式1在△ABC中， BC=8，D 是 BC 上的點，AD 平分 ∠BAC，ΔABD 的面積是 ΔADC 的面積的3倍，則 ΔABC 面積的最大值為
3.2深化變式
變式2〔2025屆廣東八校高三第四次聯合教學質量檢測（2024年11月）數學試卷]在△ABC中， AD 為 ∠BAC 的平分線（ D 在線段 BC 上）， CD=1，AD= 2，當 AB+AC 取最小值時， BD=（γ） ：
1 
B.3 
2
4教學啟示
在實際解決解三角形及其綜合應用問題時，主要是從代數思維、幾何思維、不等式思維等層面加以合理突破與應用：
其一是代數思維，通過邊與角之間的合理轉化，通過所求結果的代數屬性，與對應的題設條件加以對比與轉化.
其二是幾何思維，通過所求結果的結構特征，合理構建起對應的平面幾何圖形，或構建對應的平面直角坐標系，借助平面幾何思維、坐標思維等進行直觀想象與推理.
其三是不等式思維，利用代數式的結構特征的挖掘及三角形的幾何性質，對應建立相應的代數式，結合關系式的合理配湊與巧妙轉化，通過重要不等式進行合理的放縮與應用.Z
