對數均值不等式在導數解答題中的妙用

對數均值不等式對于求解導數極值點偏移問題極為友好，解題時可以根據題設條件配湊出 ln x₁- 及 x₁-x₂ ，從而構造出對數平均數，再利用對數均值不等式進行證明.本文中結合典型例題進行剖析，旨在幫助學生熟悉常見?？碱}型，掌握運用對數均值不等式的基本解題思路.

1對數均值不等式的證明

設 αgt;0，bgt;0 ，且 a≠b ，則 （204號 ，其中 被稱為對數平均數

證明：不妨設 agt;bgt;0

要證 0即證 1 ，且 （mgt;1） 求導得 所以 φ（m） 在 （1，+∞ ）上單調遞減，則 φ（m）lt; φ（1）=0 所以 即 所以 0要證 則即證 即證 ，且 （mgt;1） ：

求導，得 ，所以 g（m） 在 （1，+∞） 上單調遞增，則 g（m）gt;g（1）=0 所以 即 綜上所述，

對數均值不等式是一個非常實用的不等式，可以省去對稱化構造，有效證明極值點偏移問題，解法既簡潔又巧妙，也是破解高考導數大題的利器.下面我們通過幾道典型例題來分析一下，如何有效利用對數均值不等式來靈活證明有關導數的雙變量問題，

2典型例題剖析

例1已知函數 ，若f（x）=a 有兩個不等實數根 x₁，x₂ ，求證 Φ_;x1+x₂gt;2

（204號

證明：不妨設 _X1gt;_X2gt;0 ，易知

于是可得

變形整理，得

因為 x₁gt;0，x₂gt;0 ，且 x₁≠x₂ ，所以由對數均值

所以 ，則 x₁x₂gt;1

又 ，所以 x₁+x₂gt;2

題后感想：運用對數均值不等式，可以簡化計算.但是要注意在做解答題的時候，必須要先證明該不等式再應用.由于上文中是呈現對數均值不等式的證明，因此例1中省略了證明過程；若是選擇題和填空題，就可以直接利用對數均值不等式進行秒殺.

例2已知函數 f（x）=x²-ae^x-1 有兩個不同的極值點 x₁，x₂ ，求證：

證明：對 f（x）=x²-ae^x-1 求導，得

因為函數 f（x） 有兩個不同的極值點，所以f^′（x）=0 有兩個不同的變號零點.

令 f^′（x）=0 ，得 2x=ae^x

所以

，則

所以，函數 φ（x） 在區間 （-∞，1） 上單調遞增，在區間 （1，+∞） 上單調遞減.

又 ，當 x+∞ 時， 0，所以

解得

由函數 f（x） 有兩個不同的極值點 x₁，x₂ ，可得

上述 ① 中兩等式兩邊同時取對數，得

②-③，得ln-lnx=x-.

所以Inx-lnx2

由對數均值不等式 1+x2（證明省略），可得1lt;+x2

所以 x₁+x₂gt;2

又 ，所以 故

題后感想：利用對數均值不等式解題，要注意看等量關系中是否含有參數，若含有，則需要先消參；如果等式中含有指數式，則需要考慮將兩邊先取對數，取對數之前對范圍進行必要說明，再恒等轉化為可利用均值不等式的形式.

例3已知函數 存在兩個極值點 x₁，x₂ ，求證 證明：對 求導，得

因為函數 f（x） 存在兩個極值點，所以 x₁?x₂ 是方程 x²-ax+1=0 的兩個正根.

于是可得 司 agt;2

根據 ln x₂） ，結合 x₁x₂=1 ，可得

由對數均值不等式 （證明省略），知

所以

又 agt;2 ，所以

證畢.

題后感想：對數均值不等式是雙變量的對稱結構式，因此對稱的雙變量問題可以利用對數均值不等式來解決.同時，也要學會根據題干已知條件或目標結構特點，建立等量關系.

通過以上幾道例題，我們可以感受到利用對數均值不等式解題的神奇之處.雖然新教材未曾提及這個不等式，但是在諸多試題中，以這個不等式為背景的壓軸題已屢見不鮮.這也提醒我們在研究具體試題的同時，更應該探究和發掘隱藏在試題背后的能力素養，從而避免就題論題，達到舉一反三、觸類旁通的學習效果.