核心素養(yǎng)視角下的高中數(shù)學建模起始課

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版）》以下簡稱《標準》）明確提出高中數(shù)學六大核心素養(yǎng)[1，分別為“數(shù)學抽象\"\"邏輯推理\"\"數(shù)學建模”\"直觀想象\"\"數(shù)學運算”“數(shù)據(jù)分析”，其中數(shù)學建模素養(yǎng)的引入是此次數(shù)學教育改革的突破性成果，成為貫穿高中數(shù)學課程內(nèi)容的主線.鑒于數(shù)學建模在高中數(shù)學課程中的特殊地位，上海新教材首次將數(shù)學建模內(nèi)容單獨成冊，出版了普通高中教科書《數(shù)學》必修第四冊和選擇性必修第三冊.建模教材上提供了豐富的適合普通高中學生開展的數(shù)學建模案例，《數(shù)學》必修第四冊由11個數(shù)學建模活動組成，選擇性必修第三冊由9個數(shù)學建模活動組成.

教材的編訂者徐斌艷教授認為，數(shù)學建模的學習與訓練，主要不是靠知識的灌輸，而是靠深入的感悟與體驗，只有通過組織學生參加數(shù)學建模的實踐和活動，使他們親口嘗一嘗“梨子”的滋味，體驗通過數(shù)學建模將數(shù)學應(yīng)用于現(xiàn)實生活的全過程，才能有效地提高他們解決現(xiàn)實問題的能力，學到數(shù)學建模的方法，從心底里重視數(shù)學建模、熱愛數(shù)學建模.筆者曾經(jīng)結(jié)合學情及學生的興趣選用了必修第四冊上的“削菠蘿”問題進行首次數(shù)學建模活動的嘗試，學生興趣高漲，但是在解模的過程中，困難還是不小，需要教師的不斷引導.課后筆者反思在建模起始課中是不是應(yīng)該選取一個更容易的案例，這樣更能激發(fā)學生的學習興趣，同時打消學生的畏難情緒.于是筆者再次嘗試用學生熟悉的生活案例“披薩換不換問題”進行建模教學，此案例不是選自建模教材，但是筆者實踐中發(fā)現(xiàn)這個案例作為建模起始課教學效果更好.

建模起始課是非常重要的，對學生今后數(shù)學建模學習的主動性和積極性起到關(guān)鍵性的作用.趙玉娟[2]對積極心理學應(yīng)用于數(shù)學建模教學進行了可行性研究，并提出對第一次接觸數(shù)學建模的學生來講，首先應(yīng)該做的是提高學生的學習興趣，從積極的方面激發(fā)他們的學習熱情.因此如何選擇簡單易懂的教學案例，從教學案例中提取問題，如何引導學生經(jīng)歷數(shù)學建模的一般過程，使更多的學生積極主動參與模型建設(shè)與求解，激發(fā)學生的研究興趣，提高課程的有效性，成了一線數(shù)學教師亟待解決的問題.帶著一系列思考，筆者以生活中常見的“披薩換不換\"案例為契機，與學生一起進行數(shù)學建模的嘗試.

1教學內(nèi)容與學情分析

本節(jié)課是高中數(shù)學建模起始課，課堂以“披薩換不換\"案例為載體，引領(lǐng)學生相對完整地經(jīng)歷和體驗數(shù)學建模過程.由于學生缺乏生活經(jīng)驗，因此在課前設(shè)計了市場調(diào)查環(huán)節(jié)，讓學生提前調(diào)查了解披薩的價格以及類型.吃披薩是學生日常經(jīng)歷的生活情境，通過這個數(shù)學建模活動，培養(yǎng)學生從數(shù)學角度發(fā)現(xiàn)問題、提出問題的意識和能力.

本節(jié)課的教學對象為高一學生，他們思維活躍，積極性高，具備一定的數(shù)學抽象思維和分析問題、解決問題的能力，但是從未接觸過完整的數(shù)學建模活動.

2教學目標及重難點

數(shù)學建模核心素養(yǎng)指出要培養(yǎng)學生從實際情景中抽象出數(shù)學問題的能力，然后建立數(shù)學模型以及在不同條件下求解，這對于初次接觸數(shù)學建模的學生來說是較為復雜的，學生較難把握，如何將日常生活問題抽象成數(shù)學模型以及求解是需要教師的引導和幫助的，也是教學重點和難點.筆者制定了以下教學目標和教學重難點：

教學目標：（1）運用數(shù)學知識解決“披薩換不換”問題，經(jīng)歷并了解數(shù)學建模的一般過程，體會數(shù)學建模在實際生活中的作用；

（2）綜合運用生活經(jīng)驗及數(shù)學知識進行嚴謹?shù)恼撟C說明，提升數(shù)學抽象、數(shù)學運算、邏輯推理等素養(yǎng)；

（3）增強團隊合作意識，增強運用數(shù)學知識解釋 現(xiàn)實問題的意識.

教學重難點：從實際情景中抽象出數(shù)學問題并進行合理假設(shè)；能進行嚴謹?shù)耐评砑皩δＰ偷母倪M.

3數(shù)學建模活動教學實踐

3.1情景再現(xiàn)，引入問題

期末考試結(jié)束后的一天，咱們班的班長和團支書去某店吃披薩，不同大小的披薩價格不同.他們商量好點一個十英寸的培根芝士.可是點完餐后，服務(wù)員走過來說：很抱歉，我們十英寸的披薩賣完了，但是有六英寸的披薩，能不能在費用不變的情況下用兩個六英寸的披薩來替換一下呢？班長立刻同意，而且還帶點幸運色彩的興奮.如果是你，你怎么想？

問題分析：目標是什么？求什么？有哪些相關(guān)的因素？

教學說明：學者們將“數(shù)學情境”定義為從事數(shù)學活動的環(huán)境，是產(chǎn)生數(shù)學行為的條件，是數(shù)學知識產(chǎn)生的背景.從學生比較熟悉的案例入手，旨在減少學生的畏難情緒，激發(fā)學生的學習激情，增強學生觀察生活、發(fā)現(xiàn)問題、引發(fā)思考的意識.

模型假設(shè)：（1）吃飯者不考慮時間問題；（2）披薩是厚度均勻的圓面分布，不考慮配料多少.設(shè)十英寸披薩對應(yīng)的半徑為 R ，六英寸披薩對應(yīng)的半徑為 r

教學說明：在此過程中，要充分理解問題情境，關(guān)鍵是要考慮換與不換的影響因素.對現(xiàn)實情境下問題的理解，做出某些假設(shè)，是對現(xiàn)實情境的簡化、理想化以及結(jié)構(gòu)化的過程，是現(xiàn)實世界到數(shù)學世界的必經(jīng)之路.平常的數(shù)學應(yīng)用題都是經(jīng)過加工、提煉、簡化了的數(shù)學模型，通常有唯一答案，學生習慣于思考和求解已經(jīng)“數(shù)學化了”的問題，數(shù)學建模與數(shù)學應(yīng)用題的區(qū)別在于，建模活動需要先明確影響問題的因素，確定好研究目標，進行合理假設(shè)，再進行解答，這是剛接觸建模活動的學生所考慮不到的.因此，通過教師的逐步引導以及學生試錯的過程，學生能夠深刻地體會建模與應(yīng)用題的不同之處.

3.2模型建立與求解

通過實際觀察并作一定的數(shù)學抽象與近似，將披薩看成一個圓，圓的面積大小與披薩用料具有正相關(guān)性，建立披薩直徑與披薩面積的函數(shù)關(guān)系，然后比較面積大小.

教學說明：基于之前思考的量與關(guān)系、假設(shè)所提供的條件進行進一步思考，構(gòu)建合適的數(shù)學模型.教師對學生活動進行梳理總結(jié)，及時鼓勵，緩解學生對數(shù)學建模的畏難情緒，讓學生感受到他們是可以進行數(shù)學建模活動的，從而激發(fā)學生對數(shù)學建模的興趣.在建模活動中數(shù)學模型的建立和求解過程是比較難的，本節(jié)課是建模起始課，重點在于介紹建模的全過程，并沒有在此設(shè)置難點，主要目的是在教學中讓學生體驗建模過程.

計算出圓的面積 0.785×d² ，其中 d 為披薩的直徑.畫出面積與直徑之間的函數(shù)關(guān)系圖象，如圖1所示.

模型求解：10英寸披薩直徑 d=25.4cm ，面積為 英寸披薩直徑為 d^′=15.24cm ，兩個6英寸披薩的面積為 S^′= ，則 sgt;s^′ ，故不能換.

既然2個6英寸披薩不能換，那么多少個6英寸的披薩可換，多少個4英寸的披薩可以換呢？于是，可以引領(lǐng)學生進行深入思考，探究相同披薩面積下對應(yīng)換多少個何種尺寸的披薩.

設(shè)披薩面積為 s ，可換對應(yīng)直徑為 d 的披薩數(shù)量為 k 個，則根據(jù)面積相等建立關(guān)系式：

變換公式推導出 k 與 d 的函數(shù)關(guān)系：

其中，

可見，當面積 s 為常數(shù)時， Σ_m 為常數(shù)，可以看出可換披薩數(shù)量與直徑滿足函數(shù)關(guān)系，通過excel，直觀感受二者之間的對應(yīng)關(guān)系，如圖2所示.

圖2中，有4條曲線，分別對應(yīng)8英寸、10英寸、12英寸、14英寸披薩，每條曲線上的披薩面積是相同的.橫軸表示披薩直徑，縱軸表示可換等面積的披薩數(shù)量.以10英寸披薩的曲線為例，從圖中可以直觀地看出，10英寸披薩可以約換1.6個8英寸披薩，2.8個6英寸披薩，6個4英寸的披薩.通過找出本質(zhì)規(guī)律，畫出函數(shù)圖象，學生可以直觀觀察函數(shù)圖象的形狀和趨勢，根據(jù)情況找出相應(yīng)的最優(yōu)決策.這也是工程化問題的常用解決方法.

3.3誤差分析與模型校正

誤差分析：師傅在制作過程中操作上的誤差；測量披薩直徑時的誤差；計算過程中取的是近似值；假設(shè)與實際問題之間的誤差，披薩是立體的，且厚度不是均勻分布的.

教學說明：在現(xiàn)實問題的解決過程中結(jié)果出現(xiàn)偏差是常見而又正常的現(xiàn)象，不應(yīng)被規(guī)避，需要對最初問題的思考進行調(diào)整.在實際生活中，披薩的類型多種多樣，像有同學提到的還有卷邊披薩的問題，那么所建立的模型是否都適用呢？學生進行深入全面的思考，如果顧客更喜歡吃卷邊的話，之前的假設(shè)與卷邊披薩的情形誤差比較大，所以還需要改進模型，以更貼近實際生活.經(jīng)歷模型分析及檢驗環(huán)節(jié)，學生體會到數(shù)學模型不一定是唯一的，考慮的因素越多，越貼近實際生活，讓學生體會為了減少誤差和更廣泛地應(yīng)用模型，需要對模型進行修正.

修正模型：一般情況下，披薩不是圓，而是具有厚度的，根據(jù)實際情況分析，對模型進行修正，假設(shè)披薩為圓柱體，設(shè)披薩的體積為 V ，直徑為 d ，高度（厚度）為，根據(jù)所學圓柱的體積公式得

一般情況下，披薩厚度設(shè)置為1.18英寸，畫出體積與直徑的關(guān)系圖，如圖3所示.圖3顯示的披薩體積與直徑的關(guān)系，與圖1相比，都是呈現(xiàn)開口向上的拋物線關(guān)系.

同理，可以建立相同披薩體積下對應(yīng)換多少個尺寸的披薩的數(shù)量關(guān)系式.設(shè)披薩體積為 V ，可換對應(yīng)直徑為 d 的披薩數(shù)量為 k 個，則根據(jù)體積相等，建立關(guān)系式：

變換公式推導出 k 與 d 的函數(shù)關(guān)系：

（202其中，.

根據(jù)上述，設(shè) h=1.18 英寸，畫出等體積下可換披薩數(shù)量與直徑的關(guān)系圖，如圖4所示.對比圖2和圖4，等體積下與等面積下可換披薩數(shù)量都是相同的，為什么呢？這里引導學生進行思考與互動，讓學生回答，然后從數(shù)學面積推導出為什么等體積與等面積的模型假設(shè)下可換披薩數(shù)量的相同的，推導過程參見表1.根據(jù)表1可知，等面積下與等體積下可換披薩數(shù)量的表達式相同，進一步從原理上解釋為什么圖2和圖4是相同的.

表1

3.4課堂小結(jié)與預留作業(yè)

小結(jié)部分重點是對“披薩換不換”問題的建模過程進行回顧，梳理總結(jié)建模的一般過程及其內(nèi)涵.

預留課后作業(yè)分兩部分，一是進一步思考并解決卷邊披薩的問題，二是課后將建模過程整理成文（格式參照建模教程必修四后面的附錄）.

4總結(jié)

數(shù)學建模是一種思維方式，面對實際問題，首先應(yīng)明確：目標是什么？求什么？有哪些相關(guān)的因素？對于第一次接觸建模活動的學生來說，受所學知識的影響及缺乏經(jīng)驗，需要教師慢慢引導和梳理，

? 在高中數(shù)學建模活動中，模型可以是前人用過的，也可以是自己創(chuàng)作的，無需強調(diào)所運用模型的規(guī)范性或某種專業(yè)性.運用數(shù)學模型得到答案的過程稱為解數(shù)學問題，是必不可少的數(shù)學建模內(nèi)容的構(gòu)成要素之一.在此過程中能夠培育學生的數(shù)學運算、邏輯推理素養(yǎng).

? 建模起始課選取學生熟悉且易解決的案例，在課堂40分鐘內(nèi)完成整個建模活動，能很好地激發(fā)學生對數(shù)學建模學習的熱情.通過跟學生的交流發(fā)現(xiàn)，全體學生對數(shù)學建模一般過程的認識比較深刻，覺得自己可以進行數(shù)學建模活動，畏難情緒大有降低，課堂體驗感和成就感很強烈.

數(shù)學建模不同于應(yīng)用題.應(yīng)用題通常有唯一解，而建模可能得到多個模型，即不一定唯一.教學中應(yīng)讓學生體會這一點，從生活情境中抽象實際問題，選擇合適工具建模、求解并改進，在建模過程中提升數(shù)學運用意識，培養(yǎng)建模核心素養(yǎng).

參考文獻：

[1]史寧中，王尚志.普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）解讀[M].北京：高等教育出版社，2020.

[2]趙玉娟.基于積極心理學的高中數(shù)學建模教學研究[D]哈爾濱：哈爾濱師范大學，2022.Z